實數(shù)完備性定理之間的一個循環(huán)推導(dǎo)
2017-07-01 23:28:48周偉松李小柳
科技視界 2017年6期
周偉松 李小柳
【摘 要】極限理論是數(shù)學(xué)分析的基石，而實數(shù)完備性定理又是極限理論的基本理論[1-2]。本文給出了實數(shù)完備性六個基本定理的一個循環(huán)證明，通過對這六個基本定理的推導(dǎo)可以啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)分析的理解和提高學(xué)習(xí)興趣。
【關(guān)鍵詞】實數(shù)；確界；完備性；柯西收斂
1 實數(shù)完備性定理[1-2]
實數(shù)完備性的表述通常有六個定理，本文將給出這六個定理之間的一個循環(huán)推導(dǎo)。六個命題表述如下：
命題1（確界存在定理）設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上（下）界，則S必有上（下）確界。
命題2（單調(diào)有界定理）在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。
命題3（區(qū)間套定理）若{[an，bn]}是一區(qū)間套，則存在唯一點ξ，使得
ξ∈[an，bn]，n=1，2，…
命題4（有限覆蓋定理）設(shè)H為閉區(qū)間[a，b]的一個開覆蓋， 則在H中必存在有限個開區(qū)間來覆蓋[a，b]。
命題5（聚點定理）實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點。
命題6（柯西收斂準則）數(shù)列{an}收斂的充要條件是：對任給的ε>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m>N時有|an-am|<ε。
2 一個循環(huán)證明[3]
命題1
證明：詳見文獻[1]中第二章定理2.9（第35頁）。
命題2？圯命題3
證明：由于a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1而且{an}為單調(diào)遞增的有界數(shù)列，依據(jù)命題2，{an}有極限ξ，且有
an≤ξ，n=1，2，….（1）
同理，單調(diào)遞減的有界數(shù)列{bn}也有極限，并且根據(jù)區(qū)間套的條件 （bn-an）=0有 b = a =ξ，且
bn≥ξ，n=1，2，….（2）
聯(lián)合（1-2）式，即得an≤ξ≤bn，n=1，2，….
最后證明ξ是唯一的。不妨設(shè)ξ'也滿足
an≤ξ≤bn，n=1，2，….
則有
|ξ-ξ'|≤bn-an，n=1，2，….
由區(qū)間套的定義得
|ξ-ξ'|≤ （bn-an）=0，
故有ξ'=ξ。
命題3
證明：可參見文獻[1]中第七章定理7.3（第165頁）。
命題4
證明：設(shè)E為有界無窮點集，因此存在M>0，使得E？奐[-M，+M]。由閉區(qū)間的聚點均含于該閉區(qū)間，故若有聚點，必含于[-M，+M]。
反證法：若E無聚點，即[-M，+M]中任何一點都不是E的聚點，則對于？坌x∈[-M，+M]，必有相應(yīng)的δx>0，使得U（x；δx）內(nèi)至少只有點x∈E（若x？埸E，則U（x；δx）中不含E中之點）。所有這些領(lǐng)域的全體形成[-M，+M]的一個無限開覆蓋：
H={（x-δx，x+δx）|x∈[-M，+M]}.
由命題4知，H中可以找到有限個開區(qū)間來覆蓋[-M，+M]。記
為[-M，+M]的一個有限開覆蓋，則 也能覆蓋E。由U（x；δx）的構(gòu)造含意知， 中N個領(lǐng)域至多有N個點屬于E，這與E為無窮點集相矛盾。因此，在[-M，+M]內(nèi)一定有E的聚點。證畢。
命題5
證明：必要性：若數(shù)列{an}收斂，則對任給的ε>0，存在N>0，使得對m，n>N有|am-an|<ε。
設(shè) an=A，由數(shù)列極限定義知，對？坌ε>0，？堝N>0，當(dāng)m，n>N時，有
|am-A|< ，|an-A|< ，
因而|am-an|≤|am-A|+|an-A|< + =ε。
充分性：若對任給的ε>0，存在N>0，使得對m，n>N有|am-an|<ε，則 an=A。
（i）對于ε0=1，存在N0>0，使得對m，n>N0時，有
