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(單縣第一中學(xué) 山東單縣 274300)

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一題一惑一探一獲
——利用曲線的公切線研究函數(shù)不等式

●衛(wèi)小國

(單縣第一中學(xué) 山東單縣 274300)

將函數(shù)不等式的求參與證明問題，利用分離函數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為兩條曲線的公切線進(jìn)行解答.文章給出一種新的解題思路，在減少運(yùn)算的同時，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的靈活運(yùn)用.

不等式；公切線；數(shù)形結(jié)合

含參函數(shù)不等式問題，因其是考查學(xué)生問題轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和創(chuàng)新解題意識的好載體，而成為各地考試命題的熱點(diǎn).筆者結(jié)合一次教學(xué)中學(xué)生對所提供解法的釋疑，提出一種利用曲線的公切線解函數(shù)不等式的方法，與大家共研.

例1已知函數(shù)f(x)=ax2-lnx(其中a>0)有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

學(xué)生在課堂上提供了兩種解法，解題切入點(diǎn)不同，但都屬于常規(guī)方法.

1 一題多解

解法1求得導(dǎo)函數(shù)

故

評注解法1從導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用入手，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，研究函數(shù)的性態(tài)，掌控解題的關(guān)鍵(函數(shù)的最小值決定零點(diǎn)的個數(shù))，整個解題過程自然[1]；解法2借助輔助函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，是典型的數(shù)形結(jié)合思想,相比解法1似乎更巧妙，但本質(zhì)上與解法1異曲同工.

2 一解有惑

有學(xué)生也獲得正確的結(jié)論，但是給出了不同的解答，過程如下：

圖1

設(shè)g(x)=ax2，h(x)=lnx,可知兩個函數(shù)圖像只有1個公共點(diǎn).設(shè)該公共點(diǎn)為(x0,y0)，則滿足

圖2 圖3

筆者針對這種“公切線分隔法”，提煉出一般解題思路為：證明或求解f(x)

3 一探有獲

筆者運(yùn)用“公切線分隔法”研究近幾年數(shù)學(xué)高考試題中的類似問題,發(fā)現(xiàn)此類問題可進(jìn)一步分為“公切線共切點(diǎn)”和“不共切點(diǎn)”兩種情況，或者曲線分別處于切線同側(cè)和異側(cè)兩種位置關(guān)系.近幾年考查此類問題的高考題有：2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科第21題、2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科第11題、2014年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科第11題、2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科第21題第2)小題.筆者以前兩道高考試題為例，簡單闡述不共點(diǎn)同側(cè)與共點(diǎn)同側(cè)這兩類題型的解法.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)，當(dāng)m≤2時，證明：f(x)>0.

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第21題)

分析當(dāng)m≤2時，

f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2),

只需證

ex-ln(x+2)>0.

易知y=ex與y=ln(x+2)的圖像沒有公共點(diǎn)，如圖4，結(jié)合函數(shù)不等式知ex≥x+1(其中y=ex與y=x+1僅相切于點(diǎn)(0,1)，且除公共點(diǎn)外，前者在后者的上方).另外，函數(shù)不等式x+1≥ln(x+2)類似的幾何特征為：y=ln(x+2)與y=x+1僅相切于點(diǎn)(-1,0)，此外前者在后者的下方.即y=ex與y=ln(x+2)分別處于公切線y=x+1的兩側(cè)，由圖4知f(x)>0顯然成立.

圖4 圖5

例3已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍為

( )

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

(2014年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第11題)

x1=-1，a=-2,

進(jìn)而求得公切線為6x+y+4=0.當(dāng)a=-2時，

F(x)=g(x)-h(x)=-2x3-3x2+1=

(1-2x)(x+1)2,

評注將不等式轉(zhuǎn)化、設(shè)計成兩個函數(shù)的不等關(guān)系；輔以簡圖分析，直觀呈現(xiàn)對應(yīng)曲線間的位置，為數(shù)形結(jié)合解決不等式問題提供依據(jù).選取特殊情形(曲線的相切)為突破，巧妙獲取參數(shù)的范圍,并推理論證，使得該不等式求參問題獲得合理解決.從以上試題的解答中，可見關(guān)鍵是將不等式拆分為兩個常規(guī)的基本函數(shù)的不等關(guān)系.從函數(shù)圖像上易于發(fā)現(xiàn)兩者位置上的關(guān)系，進(jìn)而確定化歸的可能與類型；輔以數(shù)形分析，會使得解答相對簡捷[3].

4 解后有疑

以上例題中在切點(diǎn)附近，其中一條曲線始終在另一曲線的上方，而2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科第21題的第2)小題卻略有不同.

例4設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R．

1)略.

2)若對任意x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍．

(2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

圖6

分析令g(x)=ln(x+1),h(x)=-a(x2-x)，如圖6，當(dāng)a≥0時才有

ln(x+1)+a(x2-x)>0.

易知g(x)與h(x)相交于點(diǎn)(0,0)，由g′(0)=1,h′(0)=a知g(x)與h(x)存在共點(diǎn)的公切線,此時a=1且公切線為y+x=0.

當(dāng)a=1時，

F(x)=g(x)-h(x)=ln(x+1)+x2-x,

當(dāng)x>0時，F(xiàn)′(x)>0，則F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即F(x)>F(0)=0恒成立.

綜上所述，當(dāng)a=1時，在y軸的右側(cè)兩條曲線的位置關(guān)系為:g(x)的圖像恒在h(x)的上方.由圖6知a<1也滿足，故a∈[0,1].

將復(fù)雜的不等式問題簡化為函數(shù)的大小問題，水到渠成地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將其化歸為曲線位置關(guān)系的研究.解題過程簡潔，運(yùn)算難度降低，解法略顯簡捷，以特殊化解決問題，展示了較高的創(chuàng)新意識和辨析能力.

有興趣的讀者，可繼續(xù)研究下面兩道高考試題：

例5當(dāng)x∈[-2,1]時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

( )

C.[-6,-2] D.[-4,-3]

(2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第11題)

(2010年天津市數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

反思導(dǎo)數(shù)解不等式問題的基本方法是構(gòu)造函數(shù)模型，如何構(gòu)造、怎樣運(yùn)算、何時分類討論都是難點(diǎn).通過此類題可以考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此參考答案更多的是構(gòu)造函數(shù)解決，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性知識求最值.若考生熟練掌握常見曲線的幾何特征，則能“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，運(yùn)用直觀的方式呈現(xiàn)不等關(guān)系，從而在模式化的解法基礎(chǔ)之上，又提供了一種新的思路.如此是試題的巧解還是解答的巧合，亦或是命題人的有心，值得品味！

[1] 霍福策，曹軍.轉(zhuǎn)化與化歸在不等式恒成立中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2014(1)：45-48.

[2] 李金興,許興銘．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(2)：33-38．

[3] 陳曉明.問題到底出在哪兒呢——對一道導(dǎo)數(shù)試題解法的探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2017(1)：12-13.

2017-02-25；

2017-03-26

衛(wèi)小國(1979-)，男，湖北武漢人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

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：1003-6407(2017)07-21-03