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(象賢中學(xué) 廣東廣州 511483)

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例題的選取、變式及拓展
——以“解三角形”和“空間幾何體的表面積及體積”為例

●李偉

(象賢中學(xué) 廣東廣州 511483)

好的例題教學(xué)要教會(huì)學(xué)生“以不變應(yīng)萬變”“以少馭多”，這就需要選擇的例題、變式及拓展是恰當(dāng)?shù)?、有效?在此，以“解三角形”及“空間幾何體的表面積及體積”為例，具體闡述了例題、變式及拓展的小單元整體設(shè)計(jì)過程，為好的例題教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

例題教學(xué)；微專題；解三角形；空間幾何體

1 問題背景

數(shù)學(xué)高考備考是一個(gè)永恒的話題，從市、區(qū)、校各級(jí)教育行政部門到一線教師，都在想辦法、找抓手，盡最大可能提升備考效果.如廣東省廣州市教育研究院提出了“抓基礎(chǔ)、抓重點(diǎn)、抓落實(shí)”“精選材料、分層落實(shí)、有效訓(xùn)練、及時(shí)反饋”的高考備考策略，廣州市番禺區(qū)教研室提出“強(qiáng)化例題教學(xué)”，把廣州市的備考策略落到實(shí)處.對于例題教學(xué)，首要條件是選好題，這是“好的例題教學(xué)”的保障.

2 觀點(diǎn)及方式

“好的例題教學(xué)”要教會(huì)學(xué)生“以不變應(yīng)萬變”“以少馭多”，這就需要所選擇的例題、變式及拓展是恰當(dāng)?shù)?、有效?筆者認(rèn)為：例題、變式及拓展是相輔相成的整體，都是為實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)的目標(biāo)服務(wù)的,不要刻意去區(qū)分它們，但需要了解一些基本的原則及方法，而且這些變式、拓展還可以作為一種策略性知識(shí)讓學(xué)生學(xué)習(xí)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

對于例題的選取，要注意以下兩個(gè)原則：

1)目標(biāo)定位，分層落實(shí).實(shí)質(zhì)上，在高考備考階段，由于知識(shí)的綜合性，例題已不再是單個(gè)的例題，更應(yīng)是一個(gè)例題組，或者說是一個(gè)微專題.

2)入口寬泛，思維發(fā)散，按需拓展.這也是例題教學(xué)能夠達(dá)到“以少馭多”功效的一個(gè)根本原因.

例題的變式可以對問題的條件、結(jié)論進(jìn)行不同的表征，也可以把問題的條件、結(jié)論交換位置等；例題的拓展有多種方式，如將靜態(tài)問題拓展為動(dòng)態(tài)問題，將數(shù)學(xué)問題拓展為應(yīng)用類問題，將封閉型問題拓展為開放型問題.

例題、變式及拓展的題目選取恰當(dāng)，能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)，更快地形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1]，從而提升學(xué)生的解題能力.

3 案例及解讀

案例1“解三角形”的求值問題

用正、余弦定理求三角形邊和角的值，實(shí)質(zhì)上是已知3個(gè)量求另外3個(gè)量的問題.問題的核心在于這3個(gè)量能否明確、能否分層落實(shí).此類問題可設(shè)計(jì)3層目標(biāo)：1)已知3個(gè)量，直接運(yùn)用；2)已知兩個(gè)量，第3個(gè)量從外界獲得；3)已知兩個(gè)量，求取值范圍.此3層目標(biāo)有一定的遞進(jìn)關(guān)系，現(xiàn)分別給以具體論述.

1)已知3個(gè)量，直接運(yùn)用.

拓展在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______.

圖1

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第16題)

分析如圖1，隨著點(diǎn)A的變化(在BE上運(yùn)動(dòng))，平面四邊形ABCD存在兩個(gè)臨界狀態(tài)[2]，△FBC為最小臨界，△EBC為最大臨界.

設(shè)計(jì)意圖例1是正弦定理的直接應(yīng)用；變式把邊c用S△ABC=2這種形式來表征；拓展把兩個(gè)臨界狀態(tài)的確定三角形與動(dòng)態(tài)的平面四邊形做了無縫連接，在體會(huì)高考試題設(shè)計(jì)精妙的同時(shí)，深刻理解問題的本質(zhì).

2)已知兩個(gè)量，第3個(gè)量從外界獲得.

圖2 圖3

圖4

2)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第17題)

分析1)略；

2)設(shè)∠PBA=θ，則∠PCB=θ，在△PAB中，

在△PCB中，

設(shè)計(jì)意圖例2的△BCD中已知兩個(gè)量BC,BD，從相鄰的△ABD(已知3個(gè)量)中得到第3個(gè)量∠BDC的值.變式與例題方法完全類似，只是所求量AD·sin∠BAD在一定程度上有陌生感，可以分開處理，也可以過點(diǎn)D作AB的垂線，構(gòu)建所對應(yīng)的幾何線段.例2及變式中所需的第3個(gè)量均可以從相鄰的三角形中獲得，但拓展中的第2)小題，發(fā)現(xiàn)無法從外界獲得第3個(gè)量(因?yàn)橥饨缦嚓P(guān)的三角形中均只有兩個(gè)量).仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)：若引入第3個(gè)量，則可確定所需三角形及相關(guān)三角形，于是大膽、自主引入第3個(gè)量，求解第4個(gè)量，用方程的思想來解決問題.

3)已知兩個(gè)量，求取值范圍.

變式1設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

1)求角B；

2)若b=2，求△ABC面積的最大值．

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第17題)

(2011年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第16題)

1)求角B的大??；

2)若a+b=1，求b的取值范圍．

(2013年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

案例2“空間幾何體”的體積、表面積

求“空間幾何體”的體積及表面積，實(shí)質(zhì)是要明確空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能進(jìn)一步度量和計(jì)算長度、表面積、體積等.幾何體結(jié)構(gòu)特征的復(fù)雜程度、陌生程度有效地考查了空間想象能力，依此構(gòu)建3層目標(biāo)，并分層落實(shí)：1)單一的簡單幾何體，以三視圖為載體進(jìn)行考查，并對幾何體作切、挖、轉(zhuǎn)等處理；2)簡單幾何體的組合，并可作一定的開放性探索；3)與球體有關(guān)的組合型幾何體,主要考查球的截面的幾何性質(zhì)、幾何體的外接球半徑等.具體論述如下：

1)單一的簡單幾何體.

圖5

例4如圖5，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為

( )

A．6 B．9

C．12 D．18

(2012年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第7題)

變式1一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為

( )

A. B. C. D.

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第7題)

圖6

變式2一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖6所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

( )

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科試題第6題)

( )

A.17π B.18π C.20π D.28π

(2016年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第6題)

圖7 圖8

變式4如圖8，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為

( )

(2014年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第12題)

分析變式4有兩種解法：一是正方體切割；二是幾何體旋轉(zhuǎn).

方法1用正方體進(jìn)行切割，作線太多，易亂.按三視圖依序簡化圖形處理，具體如圖9所示.

圖9

方法2幾何體的旋轉(zhuǎn)，可以帶來三視圖的旋轉(zhuǎn)及視圖位置的改變，把不熟悉的三視圖轉(zhuǎn)化成熟悉的三視圖結(jié)構(gòu)，容易還原幾何體.此題中，保持幾何體的正視方向不變，把幾何體沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，側(cè)視與俯視交換位置.具體如圖10所示.

圖10

( )

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第6題)

設(shè)計(jì)意圖此類問題的考查主要是以三視圖為載體來進(jìn)行，可以逆向考查(變式1)；也可以對簡單幾何體用平面截(變式2)；挖去一部分(變式3、變式4)，甚至可以把簡單幾何體轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度(變式4)，其中變式4是一個(gè)難點(diǎn)，要多角度給以突破.拓展1則把空間幾何體與數(shù)學(xué)文化(數(shù)學(xué)史知識(shí)及數(shù)學(xué)應(yīng)用)作了一個(gè)很好地融合.

2)簡單幾何體的組合.

例5某幾何體的三視圖如圖11所示，則該幾何體的體積為

( )

A．16+8π B．8+8π

C．16+16π D．8+16π

(2013年全國數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

圖11 圖12

變式1圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖12所示.若該幾何體的表面積為16 + 20π，則r=

( )

A.1 B.2 C.4 D.8

圖13

(2015年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第11題)

拓展1在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖13所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為

( )

A. B. C. D.

(2011年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第6題)

設(shè)計(jì)意圖例5與例4的考查方向、載體都相同，但會(huì)把多個(gè)“殘缺式”簡單幾何體進(jìn)行組合(拼接或消融)處理，要加強(qiáng)對表面積、側(cè)面積等概念的理解；拓展1從正視圖、俯視圖能大概推斷幾何體的形狀，從而得出側(cè)視圖，雖不能確定，但選項(xiàng)可選，有一定的開放性.

3)與球有關(guān)的幾何體.

與球有關(guān)的幾何體主要考查兩個(gè)方面：球的幾何性質(zhì)(球心與截面圓心的連線垂直于截面)及幾何體的外接球.緊扣球的兩個(gè)要素：球心、半徑.

(2011年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第15題)

圖14

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ文科試題第15題)

變式2如圖14，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為

( )

(2013年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科第6題)

拓展1已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為

( )

(2012年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科第11題)

分析若要把球畫出來，則作圖會(huì)存在困難.一個(gè)好的策略是跳出球來畫幾何體，標(biāo)出球心及半徑就好.具體思維過程如圖15所示.

圖15

易得VS-ABC=2VO-ABC=

類比拓展1，嘗試對例6改編，可得：

分析如圖16，易得VS-ABCD=2VO-ABCD.

圖16

設(shè)計(jì)意圖例6及變式1、變式2通過構(gòu)建球心與截面圖形構(gòu)成的幾何體為載體，加強(qiáng)對這一幾何性質(zhì)的考查；拓展1則把這類幾何體的頂點(diǎn)由球心拓展到了球面，若沒有看透本質(zhì)，則問題識(shí)別會(huì)有困難，形成解題障礙.

分析以下3種解法的思維過程如圖17所示：

圖17

解法1補(bǔ)形成長方體，易知四面體的外接球即長方體的外接球.

解法2翻折圖形的對稱性，過△ACD的外心O1作垂線l1，同時(shí)過△ABD的外心O2作垂線l2,且l1∩l2=O,易得點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C，D的距離相等，即點(diǎn)O為外接球心.

解法3先找外心再定球心，屬常規(guī)解法.過△ACD的外心O1作垂線l1，則球心O必在l1上，只要OB=OD即可.

變式1設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

( )

(2010年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科試題第10題)

(2016年江西省南昌市第二次模擬考試試題)

拓展1四面體ABCD的一條棱長為x，其余棱長為3，記四面體ABCD的體積為F(x)，則函數(shù)F(x)的單調(diào)增區(qū)間是______，最大值為______；當(dāng)該四面體體積最大時(shí)，經(jīng)過這個(gè)四面體所有頂點(diǎn)的球的表面積______.

(2015年北京市西城區(qū)第一次模擬考試?yán)砜圃囶}第14題)

設(shè)計(jì)意圖例7的選取很重要，該幾何體不同的結(jié)構(gòu)特征對應(yīng)多種不同的思維方式.如該幾何體可以補(bǔ)形成長方體，轉(zhuǎn)化成長方體的外接球來求；可以根據(jù)翻折幾何圖形的對稱性直接找到球心；還可以用先找外心再定球心的方式來算出半徑.變式1～3對這幾種方法作了一定的鞏固、提升，其中變式1是解法1的基礎(chǔ)鞏固與本質(zhì)提煉，變式2用解法1和解法3都可以解決，變式3是解法2的鞏固和提升.拓展1實(shí)質(zhì)上是對變式3的二面角A-BD-C做了一個(gè)動(dòng)態(tài)處理(體積最大，意味著該二面角為直二面角)，加大了思維量.

4 思考感悟

例題、變式及拓展的設(shè)計(jì)，決定因素在于教師.教師要跳進(jìn)題海，追本溯源，總結(jié)問題的變式及拓展，并加深對問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，重構(gòu)更完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

例題、變式及拓展的設(shè)計(jì)，目標(biāo)意識(shí)是關(guān)鍵，其次要有小單元整體設(shè)計(jì)思路.這樣才能夠引導(dǎo)學(xué)生自覺進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

當(dāng)然，這些都要結(jié)合學(xué)情去思考才有價(jià)值，才能讓學(xué)生的基礎(chǔ)、能力得到同步提升，提高解題能力，提升備考效果.

[1] 李慧娟,傅海倫,權(quán)奎.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的碎片化與整體化[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016(11)：7-9．

[2] 教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明(理科)[M]．北京：高等教育出版社,2016．

[3] 李偉.全國卷形勢下數(shù)學(xué)備考的策略[J].課程教學(xué)研究,2015(12):60-63.

2017-02-20；

2017-03-21

李 偉(1976-)，男，江西臨川人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-13-05