☉江蘇南通市通州區(qū)平潮實驗初中 叢遠林

基于反思的旋轉復習課教學設計與思考

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本節(jié)內容是教師復習人教版課標教材九年級上冊旋轉知識的一節(jié)內容，教學設計如下.

一、練習

先請同學們解兩道題：

（1）如圖1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）.以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A（點C與點A重合，點E到點E′處），連接DE′.求證：DE′=DE.

圖1

圖2

（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D、E是 AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜ 45°）.求證：DE2=AD2+EC2.

師：第（1）題怎么解？

生1：由旋轉和已知條件，易證△BED≌△BE′D，得到DE=DE′.

師：第（2）題呢？

生2：將△BEC繞點B逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖3）.由第一題可知DE=DE′，由旋轉可知CE=AE′，∠E′AD= 90°，所以DE′2=AD2+AE′2，所以DE2=AD2+EC2.

圖3

二、比較法反思1——比較條件和解法的共同處

師：兩問中條件有什么共同處？生3：都有BA=BC，∠DBE=∠ABC.

師：兩問中解法有什么共同處？

生4：都將△BEC繞點B逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A.

【設計意圖】掌握比較法反思策略中方法之一，比較條件和解法的共同處.

三、拓展法反思1——研究所有情形

師：第（2）題怎么拓展呢？請小組討論，再全班交流.

生5：當∠ABC為銳角時（其他條件不變），AD、DE、EC三邊中存在兩邊的平方和等于另一邊的平方嗎？

生6：不存在.將△BEC繞點B逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖4）.由于∠ABC是銳角，所以∠E′AD是鈍角，AD、DE′、AE′中不存在兩邊的平方和等于另一邊的平方，所以AD、DE、EC中不存在兩邊的平方和等于另一邊的平方.

圖4

生7：當∠ABC為鈍角時（其他條件不變），存在DE2= AD2+EC2嗎？

生8：不存在.將△BEC繞點B逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖5）.由于∠ABC是鈍角，所以∠E′AD是銳角，不存在DE′2=AD2+E′A2，所以不存在DE2= AD2+EC2.

生9：當∠ABC為鈍角時（其他條件不變），如存在EC2=AD2+DE2，∠EBC等于多少度？

生10：∠EBC=45°.將△BEC繞點B逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A，連接DE′（如圖5）.如存在EC2=AD2+DE2，則E′A2=AD2+DE′2，所以∠ADE′=90°，所以∠BDE=45°，所以∠DEB+∠DBE=135°.因為∠DEB=∠C+∠EBC，∠DBE=，所以135°，所以，所以∠EBC=45°.

生11：同樣，當∠ABC為鈍角時（其他條件不變），如存在AD2= EC2+DE2，則∠ABD=45°.將△ABD繞點B順時針旋轉∠ABC，得到△BCF，連接EF（如圖6）.如存在AD2=EC2+DE2，則CF2=EF2+CE2，所以∠CEF=90°，所以∠DEB=45°，所以∠BDE+∠DBE=135°.因為2∠A），所以，所以∠A+，所以∠ABD=45°.

圖6

師：拓展法反思，研究所有情形.

【設計意圖】掌握拓展法反思策略中方法之一，研究所有情形.

四、拓展法反思2——特殊情形到一般情形

（3）如圖7，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

師：請同學們先解一下.

圖7

圖8

生12：將△EBC繞點C順時針旋轉90°，得到△FDC（如圖8），A、D、F共線，易證△CGE≌△CGF，所以EG=GF，所以GE=BE+GD.

師：這一題怎么拓展呢？

生13：對于一般的四邊形ABCD，E是AB上一點，G在AD上，如果∠GCE=∠BCD（如圖9），四邊形ABCD還需滿足什么條件，GE=BE+GD仍成立？

師：拓展得好，從特殊情形拓展到一般情形.

圖9

圖10

生14：受第（3）題解法的啟發(fā)，只要將△CBE繞點C順時針旋轉∠BCD（如圖10），所得的三角形與△CDG拼成的△CGH與△CGE全等，則GE=BE+GD仍成立，所以必須CB=CD，∠B+∠ADC=180°.

【設計意圖】掌握拓展法反思策略中方法之二，從特殊情形到一般情形.

五、比較法反思2——比較圖形的本質聯系

生15：回到圖7，如果截掉△CDG，所得的圖形大小和形狀不變.在四邊形ABCG中（如圖11），AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠GCE=45°.如果AB、BC的長確定，BE確定，或者AB、BC的長確定，AG確定，那整個圖形就確定了，可以求出其余所有線段的長.

圖11

圖12

師：太好了，他還是運用比較法反思，比較圖形的聯系.在圖11中，如果已知AB=BC=a，AG=b，那怎么求GE的長？

生16：如圖12，補全截掉的△CDG，利用圖7的結論GE=BE+GD，設GE=x，則GD=a-b，BE=x-（a-b）=x-a+b，AE=a-（x-a+b）=2a-x-b，在直角三角形AGE中，由勾股定理構建方程就可求出GE.

師：同學們再請看圖4、圖8、圖10，它們看上去差別非常大，本質上有什么共性？能用一個模型來說明嗎？

生17：它們本質上都是將一個三角形繞頂點旋轉一個等腰三角形的頂角，得到一個三角形.模型如圖13所示.

【設計意圖】掌握比較法反思策略中方法之二，比較圖形的本質聯系.

圖13

師（總結）：比較法反思：條件、解法、圖形上本質的聯系.拓展法反思：研究所有情形，特殊情形到一般情形.

教學反思：

目前的復習課，還主要停留在認知層面上，還沒有進入元認知領域.元認知包括元認知計劃、元認知監(jiān)控、元認知調節(jié)、反思等.它教學生如何制定計劃，如何監(jiān)控自己的思維，思維遇阻時如何調節(jié)自己的思維，如何反思.心理學家對思維過程中主要是認知能力與元認知能力共同起作用已達成共識，元認知能力實質上是思維能力的內在組織形式.不培養(yǎng)學生的元認知能力，學生的思維能力發(fā)展是不全面的，是不能有本質提升的.國際著名的數學家弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力.在數學活動中及時、多角度地反思，能促使從新的角度，多層次、多側面地對問題進行全面考察、分析與思考……對思維能力的提高大有裨益.”因此，本節(jié)復習課以反思為載體，深入學生元認知領域，培養(yǎng)學生元認知能力，提升學生思維能力，創(chuàng)新復習課教學.反思不僅僅是對所學知識一般性的回顧或重復，而且是深究學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，是對學習活動的總結、提煉、再探索、再發(fā)現、再創(chuàng)造.本節(jié)復習課就是讓學生對旋轉學習的再探索、再發(fā)現、再提煉，也從中掌握比較法、拓展法的反思策略.

1.陳琦，劉儒德.當代教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2004.

2.叢遠林.解題后怎樣反思［J］.中學數學（下），2013（4）.

3.叢遠林.淺談如何培養(yǎng)學生的元認知技能［J］.中國數學教育（初中版），2012（9）.

4.劉東升，符永平.關注“后半段”：以“有理數復習（1）”研討課為例——兼談對復習課的教學思考［J］.中學數學（下），2013（4）.

5.章民.基于數學核心素養(yǎng)的課堂教學實踐與反思——以課題“一次函數的概念”課堂教學為例［J］.中學數學（下），2017（3）.

圖5