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        三角形的認(rèn)識(shí)與證明

        2017-06-23 08:40:20姚萬(wàn)里
        關(guān)鍵詞:平分線等腰三角度數(shù)

        姚萬(wàn)里

        一、選擇題

        1. 下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度,能用它們擺成三角形的是( )

        A.3 cm、4 cm、8 cm

        B.8 cm、7 cm、15 cm

        C.5 cm、5 cm、11 cm

        D.13 cm、12 cm、20 cm

        2.到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的( )

        A.三條高的交點(diǎn)

        B.三條角平分線的交點(diǎn)

        C.三條中線的交點(diǎn)

        D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

        3.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4,8,則它的周長(zhǎng)為( )

        A.12 B.16

        C.20 D.16或20

        4.如圖1,直線m∥n,∠1=70°,∠2=30°,則∠A等于( )

        A.30° B.35°

        C.40° D.50° [A][B][C][D][m][n][1][2][3] [E][A][B][C][D][圖1 圖2]

        5.如圖2,AD是∠EAC的平分線,AD∥BC,∠B=30°,則∠C的度數(shù)為( )

        A.50° B.40°

        C.30° D.20°

        6.如圖3,線段AC的垂直平分線交線段AB于點(diǎn)D,∠A=50°,則∠BDC=( )

        A.50° B.100°

        C.120° D.130° [A][B][C][D][E][A][B][C][D][圖3 圖4]

        7.如圖4,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線.已知AB=5,AD=3,則BC的長(zhǎng)為( )

        A.5 B.6

        C.8 D.10

        8.如圖5,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)為( )

        A.6 B.5

        C.4 D.3 [A][B][C][D][E][A][B][C][D][O] [圖5 圖6]

        9.將一副三角板如圖6放置,若∠AOD=20°,則∠BOC的大小為( )

        A.140° B.160°

        C.170° D.150°

        10.如圖7,在Rt△ABC中,∠C=90°,以頂點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于

        [12]MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP交邊BC于點(diǎn)D,若CD=4,AB=15,則△ABD的面積是( )

        A.15 B.30

        C.45 D.60 [A][B][C][D] [A][B][C][D][M][N][P][圖7 圖8]

        11.如圖8,已知∠ABC=∠DCB,下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是( )

        A.∠A=∠D B.AB=DC

        C.∠ACB=∠DBC D.AC=BD

        12.如圖9,小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD,其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合,調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩邊上,過(guò)點(diǎn)A,C畫(huà)一條射線AE,AE就是∠PRQ的平分線.此角平分儀的畫(huà)圖原理是:根據(jù)儀器結(jié)構(gòu),可得△ABC≌△ADC,這樣就有∠QAE=∠PAE,則說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是( )

        A. SAS B. ASA

        C. AAS D. SSS [圖9 圖10][A(R)][B][C][D][E][A][B][C][D][E][P][Q]

        13.如圖10,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜邊AC,交AB于D,E是垂足,連接CD.若BD=1,則AC的長(zhǎng)是( )

        A.[23] B.2

        C.[43] D.4

        14.如圖11,在△ABC中,D為AB上一點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,則∠CDE的度數(shù)為( ) [A][B][C][D][E][圖11]

        A.50° B.51°

        C.51.5° D.52.5°

        15.如圖12,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分別是PA,PB,AB上的點(diǎn),且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,則∠P的度數(shù)為( )[A][B][P][M][N][K][圖12]

        A.44° B.66°

        C.88° D.92°

        16.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到三角形三邊的距離之和為( )

        A.[32] B.[332]

        C.[32] D.不能確定

        17.如圖13,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形,面積分別為S1,S2,S3;如圖14,分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,三邊長(zhǎng)為半徑向三角形外作圓心角相等的扇形,面積分別為S4,S5,S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則S3+S4=( )

        A.86 B.64

        C.54 D.48 [S1][S2][S3] [S4][S5][S6][圖13 圖14][A][B][C]

        二、填空題

        18.如圖15,O為數(shù)軸的原點(diǎn),A,B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)-3,3,作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC,連接OC,以O(shè)為圓心,CO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為 . [-3 -2 -1 O 1 2 3][A][B][C][M][A][B][C][D][F][E][圖15 圖16]

        19.如圖16,在△ABC中,AB=AC,BC=12 cm,點(diǎn)D在AC上,DC=4 cm,將線段DC沿CB方向平移7 cm得到線段EF,點(diǎn)E,F(xiàn)分別落在邊AB,BC上,則△EBF的周長(zhǎng)是 cm.

        20.如圖17,在3×3的方格中,A,B,C,D,E,F(xiàn)分別位于格點(diǎn)上,從C,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)中任取一點(diǎn),以點(diǎn)A,B為頂點(diǎn)作三角形,則所作三角形為等腰三角形的概率是 .[\&\&\&\&\&\&\&\&\&] [A][B][C][E][D][F][A][B][C][D][E][F][·][·][·][·][·][·][圖17 圖18]

        21.在△ABC中,若∠A=90°,則∠ABC的角平分線和∠ACB的角平分線所構(gòu)成的角的度數(shù)為 .

        22.如圖18,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于線段AB長(zhǎng)度的一半為半徑作弧,相交于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF,交AB于點(diǎn)D,連接CD,則CD的長(zhǎng)是 .

        23.如圖19,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=[33],AD=3,點(diǎn)M,N分別為線段BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn),但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DM,MN的中點(diǎn),則EF長(zhǎng)度的最大值為 . [A][B][C][D][E][F][M][N][A][B][C][D][E][O][圖19 圖20]

        24.如圖20,在△ABC中,分別以AC,BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE,BD交于點(diǎn)O,則∠AOB的度數(shù)為 .

        25.有一個(gè)面積為[53]的等腰三角形,它的一個(gè)內(nèi)角是30°,則以它的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為 .

        26.如圖21,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,連接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,則四邊形APBQ的面積為 . [A][B][C][D][E][F][B][C][P][Q][A][圖21 圖22] 27.如圖22,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線,F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,當(dāng)EF+CF取最小值時(shí),∠ECF的度數(shù)為 .

        28.如圖23,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn),則PC+PQ的最小值是 .[A][B][C][D][P][Q] [圖23]

        三、解答題

        29.如圖24,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,F(xiàn)C∥AB.

        求證:AE=CE.

        30.如圖25,在△ABC中,D為AB的中點(diǎn).

        (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E,并連接DE(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法);

        (2)在(1)的條件下,若DE=4,求BC的長(zhǎng). [A][B][C][D][·][圖25]

        31.如圖26,在△ABC中,AB=6 cm,∠B=∠C,BC=4 cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).若點(diǎn)P在線段BC上以1 cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).

        (1)若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后,△BPD與△CQP是否全等?并說(shuō)明理由.

        (2)若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為多少時(shí),△BPD與△CQP全等? [A][B][C][D][P][Q]

        32.如圖27,點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上,點(diǎn)F在邊AC上,連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,EF=FD.

        求證:AD=CE. [A][B][C][D][E][F][圖27]

        33.問(wèn)題引入:

        (1)如圖28,在△ABC中,點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn),若∠A=α,則∠BOC= (用α表示);如圖29,∠CBO=[13]∠ABC,∠BCO=[13]∠ACB,∠A=α,則∠BOC= (用α表示).

        (2)如圖30,∠CBO=[13]∠DBC,∠BCO=

        [13]∠ECB,∠A=α,請(qǐng)猜想∠BOC= (用α表示),并說(shuō)明理由.

        類(lèi)比探究:

        (3)BO,CO分別是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分線,它們交于點(diǎn)O,∠CBO=[1n]∠DBC,∠BCO=[1n]∠ECB,∠A=α,請(qǐng)猜想∠BOC= . [A][D][E][B][C][O][A][B][C][O][B][C][O][A]

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