劉頓

函數(shù)知識(shí)在中考中所占比重較大，筆者針對(duì)中考數(shù)學(xué)函數(shù)型試題的題型特點(diǎn)進(jìn)行分析與探究，希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所幫助！

一、注重函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的演練

（一）函數(shù)的概念

例1 （2016·南寧）下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（ ） [][O][x][y] [O][x][y][D] [B] [O][x][y][C] [A][O][x][y]

分析：根據(jù)函數(shù)的意義即可求出答案.

解：根據(jù)函數(shù)的意義可知，對(duì)于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，只有選項(xiàng)D正確.故選D.

評(píng)注：本題主要考查了函數(shù)的定義.求解時(shí)要注意函數(shù)的意義，反映在圖象上簡(jiǎn)單的判斷方法是過圖象上任意一點(diǎn)作垂直于x軸的直線與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

（二）函數(shù)的圖象

例2 （2016·荊門）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x （cm），在下列圖象中，能表示△ADP的面積y （cm2）關(guān)于x （cm）的函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）[C D][O][x][y] [2][2][4][O][x][y] [2][2][4] [O][x][y] [2][2][4] [A B

][O][x][y] [2][2][4]

分析：根據(jù)點(diǎn)P在AB和BC上運(yùn)動(dòng)，確定y 與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行選擇.

解：根據(jù)題意，得△ADP的面積y 與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程x 的關(guān)系式是[y=x（0≤x≤2），2（2≤x≤4）.]故選A.

評(píng)注：解答分段函數(shù)圖象的問題，要抓住其不同變化階段的特征，對(duì)函數(shù)圖象變化趨勢(shì)做出正確的判斷.

（三）函數(shù)自變量的取值范圍

例3 （2016·青海）函數(shù)[y=x+3x-2]中，自變量x的取值范圍是 .

分析：由分式和二次根式有意義的條件，得①x+3是二次根式的被開方數(shù)，因此x+3≥0；②x-2是分式的分母，因此x-2≠0.

解：由題意，得[x+3≥0，x-2≠ 0.]

解得x≥-3且x≠2.

評(píng)注：求解此類問題時(shí)應(yīng)明確相關(guān)表達(dá)式的存在條件，進(jìn)而列出不等式或不等式組，從而解得答案.

（四）函數(shù)的運(yùn)用

例4 （2016·北京）已知y是x 的函數(shù)，自變量x的取值范圍是x>0，下表是y與x 的幾組對(duì)應(yīng)值.[x＼&…＼&1＼&2＼&3＼&5＼&7＼&9＼&…＼&y＼&…＼&1.98＼&3.95＼&2.63＼&1.58＼&1.13＼&0.88＼&…＼&]

小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，利用上述表格所反映出的y與x之間的變化規(guī)律，對(duì)該函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.

下面是小騰的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象.

（2）根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出①x=4時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y約為 ；②該函數(shù)的一條性質(zhì)： . [O][y][1][2][3][4][5][-1][x][1][2][3][4][5][6][7][8][9] [-1][10][圖2] [·][·][·][·][·][][·][A][B]

分析：依題意，順次連接各點(diǎn)，得到函數(shù)的圖象；根據(jù)函數(shù)的圖象，找到當(dāng)x=4時(shí)y的對(duì)應(yīng)值；根據(jù)函數(shù)的圖象特征，可寫出一條性質(zhì).

解：（1）如圖2，順次連接各點(diǎn)，所得圖象即為所求.

（2）①如圖2，過x軸上的點(diǎn)（4，0）作x軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)B，從圖中觀察可知，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)約為2.故填2（1.8到2.2之間都正確）.

②答案不唯一.如當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小.

評(píng)注：畫函數(shù)圖象的步驟為：列表、描點(diǎn)、連線；描述函數(shù)的性質(zhì)，初中階段主要側(cè)重以下幾個(gè)方面：最值（最大值或最小值）、增減性（y隨x的增大而增大或y隨x的增大而減?。?、對(duì)稱性（軸對(duì)稱或中心對(duì)稱）.

二、注意理解函數(shù)的性質(zhì)

（一）一次函數(shù)的性質(zhì)

例5 （2016·貴陽）已知點(diǎn)M（1，a）和點(diǎn)N（2，b）是一次函數(shù)y=-2x+1的圖象上的兩點(diǎn)，則a與b的大小關(guān)系是 .

分析：由一次函數(shù)的增減性與比例系數(shù)k值的關(guān)系即可比較大小.

解：∵k=-2<0，

∴y隨x的增大而減小.

∵1<2，

∴a>b.

評(píng)注：求解這類問題要注意一次函數(shù)的增減性與比例系數(shù)k的關(guān)系：①當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.

（二）反比例函數(shù)的性質(zhì)

例6 （2016·常德）已知反比例函數(shù)y=[kx]的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的反比例函數(shù)的解析式 .

分析：由反比例函數(shù)的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出k<0，從而得到答案.

解：∵反比例函數(shù)[y=kx]的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

∴k<0.答案不唯一.如[y=- 2x]等.

評(píng)注：求解時(shí)注意明確反比例函數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。虎诋?dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

（三）二次函數(shù)的性質(zhì)

例7 （2016·天水）如圖3，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，給出下列結(jié)論：①abc<0；②[b2-4ac4a]>0；③ac-b+1=0；[④OA·OB=-ca].其中正確的結(jié)論是 （只填寫序號(hào)）. [O][x][y] [A][B][C][圖3]

分析：①由拋物線開口向下，得a<0.由拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，知a，b異號(hào)，從而b>0；由拋物線與y軸交于正半軸，得c>0，再由有理數(shù)乘法法則即可判斷出abc的符號(hào).

②由拋物線與x軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，得b2-4ac>0，而a<0，所以[b2-4ac4a<0].

③由OA=OC，得A（-c，0），代入二次函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)后可得a，b，c的數(shù)量關(guān)系.

④將OA·OB轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積，然后運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解判斷.

解：①觀察拋物線，分別根據(jù)其開口方向向下，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)及拋物線與y軸交于正半軸，知a<0，b>0，c>0，所以abc<0.結(jié)論①正確.

②∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b2-4ac>0.

又∵4a<0，

∴[b2-4ac4a<0].結(jié)論②錯(cuò)誤.

③在y=ax2+bx+c中，令x=0，得y=c.

∴OC=|c|=c.

∴ OA=OC=c.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-c，0）.

將A（-c，0）代入y=ax2+bx+c，得ac2-bc+c=0.

又c>0，

∴兩邊同時(shí)除以c，得ac-b+1=0.結(jié)論③正確.

④設(shè)A（x1，0），B（x2，0）（x1<0

∴x1·x2[=ca].

∴OA·OB=|x1|·|x2|[=-]x1·x2[=-ca]，即OA·OB[=-ca].結(jié)論④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論是①③④.

評(píng)注：由拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置，確定a，b，c的符號(hào)以及a，b，c之間的關(guān)系是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，屬于壓軸題，同學(xué)們要認(rèn)真分析這類題目的解法.

三、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

（一）數(shù)形結(jié)合思想

例8 （2016·甘孜）如圖4，已知一次函數(shù)y=kx+3和y=-x+b的圖象交于點(diǎn)P（2，4），則關(guān)于x的方程kx+3=-x+b的解是 . [O][x][y][圖4][2][4][P][y=-x+b][y=kx+3]

分析：函數(shù)y=kx+3和y =-x+b的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即是方程kx+3=-x+b的解.

解：∵一次函數(shù)y=kx+3和y=-x+b的圖象交于點(diǎn)P（2，4），

∴關(guān)于x的方程kx+3=-x+b的解是x=2.

評(píng)注：本題考查了一次函數(shù)和一元一次方程的知識(shí)，求解的關(guān)鍵是明確函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，及時(shí)地從圖中獲取信息.

（二）轉(zhuǎn)化思想

例9 （2016·濱州）如圖5，已知點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)[y=ax]的圖象上，點(diǎn)B，D在反比例函數(shù)[y=bx]的圖象上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側(cè)，AB[=34]，CD[=32]，AB與CD間的距離為6，則a-b的值是 . [O][x][y] [A][B][C][D][E][圖5]

分析：設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為y1，點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)為y2，分別表示出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線段AB，CD的長(zhǎng)度結(jié)合AB與CD之間的距離，即可得出y1，y2的值，連接OA，OB，延長(zhǎng)AB交y軸于點(diǎn)E，通過計(jì)算三角形的面積結(jié)合反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)論.

解：設(shè)點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)為y1，點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)為y2，則點(diǎn)A（[ay1]，y1），點(diǎn)B（[by1]，y1），點(diǎn)C（[ay2]，y2），點(diǎn)D（[by2]，y2）.

∵AB=[34]，CD=[32]，

∴2 [a-by1]=[a-by2].

∴|y1|=2|y2|.

∵|y1|+|y2|=6，

∴y1=4，y2=-2.

如圖5，連接OA，OB，延長(zhǎng)AB交y軸于點(diǎn)E.

∴S△OAB[=12]AB·OE[=12][×34×4][=32]，S△OAE[=12]a，S△OBE[=12]b.

∴S△OAB=S△OAE-S△OBE[=12a-12b].

∴[12]（a-b）=[32].

∴a-b=3.

評(píng)注：本題借助圖形面積確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)，求解時(shí)要能利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出a-b=2S△OAB.

（三）分類討論思想

例10 （2016·荊門）如圖6，已知點(diǎn)A（1，2）是反比例函數(shù)[y=kx]圖象上的一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交雙曲線的另一分支于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAB是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .[O][x][y] [A][B][P][2][P][1][P3][P4] [圖6]

分析：依題意可設(shè)點(diǎn)P（t，0），用t表示相應(yīng)的線段，對(duì)等腰三角形的邊進(jìn)行分類討論，用勾股定理求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：設(shè)點(diǎn)P（t，0），容易求出B（-1，-2），AB=2[5]，BP2=（-2）2+（-1-t）2，AP2=22+（t-1）2.

分三種情況：

①當(dāng)BP=AB時(shí)，由勾股定理，得（-2）2+（-1-t）2=（2[5]）2，解得t1=3，t2=-5.

②當(dāng)AP=AB時(shí)，22+（t -1）2=（2[5]）2，解得 t3=-3，t4=5.

③當(dāng)AP=BP時(shí)，22+（t -1）2=（-2）2+（-t -1）2，解得 t=0.點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （0，0），不符合題意.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （3，0），（-5，0），（-3，0），（5，0）.

評(píng)注：本題討論了AB為腰和AB為底邊時(shí)，△PAB是等腰三角形的情況，做到了不重不漏.

（四）建模思想

例11 （2016·鹽城）我市某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長(zhǎng)溫度為15～20 ℃的新品種，圖7是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y （℃）隨時(shí)間x （h）變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC是雙曲線[y=kx]的一部分.請(qǐng)根據(jù)圖7中的信息解答下列問題： [O][x][y][10][20][2][12][圖7][A][B][C][2][4][D]

（1）求k的值；

（2）恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚溫度在15 ℃及15 ℃以上的時(shí)間有多少小時(shí)？

分析：（1）由題意，結(jié)合圖象，直接將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求得.

（2）觀察圖象可知，三段函數(shù)圖象都有y≥15的點(diǎn)，且AB段是恒溫階段y=20，所以計(jì)算AD和BC兩段當(dāng)y=15時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，相減即得結(jié)論.

解：（1）把點(diǎn)B（12，20）代入[y=kx]，得20=[k12].

解得k=240.

（2）設(shè)AD段的解析式為y=mx+n.

把點(diǎn)D（0，10）和A（2，20）代入y=mx+n，得[n=10，2m+n=20.]

解得[m=5，n=10.]

∴AD段的解析式為y=5x+10（0≤x≤2）.

把y=15代入y=5x+10，得15=5x+10.

解得x=1.

把y=15代入y=[240x]，得15[=240x].

解得x=16.

∴16-1=15.

答：恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚溫度在15 ℃及15 ℃以上的時(shí)間有15小時(shí).

評(píng)注：本題既是一道一次函數(shù)的應(yīng)用題，也是一道反比例函數(shù)的應(yīng)用題，兩者的結(jié)合，使問題增加了不少新意，求解時(shí)要注意發(fā)現(xiàn)條件中的等量關(guān)系，并注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、待定系數(shù)法等幾種數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

四、注意體會(huì)生活中函數(shù)的應(yīng)用

（一）一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例12 （2016·臨沂）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的快速發(fā)展.小明計(jì)劃給朋友快遞一部分物品，經(jīng)了解有甲乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示：快遞物品不超過1千克的，按每千克22元收費(fèi)；超過1千克，超過的部分按每千克15元收費(fèi).乙公司表示：按每千克16元收費(fèi)，另加包裝費(fèi)3元.設(shè)小明快遞物品x千克.

（1）請(qǐng)分別寫出甲乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y（元）與x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）小明應(yīng)選擇哪家快遞公司更省錢？

分析：（1）根據(jù)題意，甲公司的費(fèi)用是分段函數(shù)，注意討論，得出y甲關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)“乙公司的費(fèi)用=快件重量×單價(jià)+包裝費(fèi)用”得出y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）分01兩種情況討論，分別令y甲y乙，解關(guān)于x的方程或不等式得出結(jié)論.

解：（1）由題意，得當(dāng)01時(shí)，y甲=22+15（x-1）=15x+7.

y乙=16x+3.

（2）①當(dāng)0y乙，即22x>16x+3，解得[12]

②當(dāng)x>1時(shí)，令y甲4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得x=4；令y甲>y乙，即15x+7>16x+3，解得1

綜上所述，當(dāng)[12]y乙，選乙快遞公司省錢；當(dāng)x=4或x=[12]時(shí)，y甲=y乙，選甲乙兩家快遞公司快遞費(fèi)一樣多；當(dāng)04時(shí)，y甲

評(píng)注：本題以一次函數(shù)解決實(shí)際問題為背景，綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、解一元一次不等式以及解一元一次方程.

（二）二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例13 （2016·宿遷）某景點(diǎn)試開放期間，團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下：不超過30人時(shí)，人均收費(fèi)120元；超過30人且不超過m（30

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過一定數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加，求m的取值范圍.

分析：（1）根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，分0

（2）由（1）可知當(dāng)0

解：（1）根據(jù)題意，得

y=[120x 0

即y=[120x 0

（2）由（1）可知當(dāng)0

∵a=-1<0，

∴當(dāng)x≤75時(shí)，y隨x的增加而增加.

∴為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加，則30

評(píng)注：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求解時(shí)應(yīng)注意明確分段的意義，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

（三）反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例14 （2016·湖州）湖州市某養(yǎng)魚專業(yè)戶準(zhǔn)備挖一個(gè)面積為2 000平方米的長(zhǎng)方形魚塘.

（1）求魚塘的長(zhǎng)y（米）關(guān)于寬x（米）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）由于受場(chǎng)地的限制，魚塘的寬最多只能挖20米，當(dāng)魚塘的寬是20米時(shí)，魚塘的長(zhǎng)為多少米？

分析：（1）根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬，列出y與x的函數(shù)表達(dá)式即可.

（2）把x=20代入計(jì)算求出y的值，即可得到結(jié)果.

解：（1）由長(zhǎng)方形面積為2 000平方米，得xy=2 000，即[y=2 000x].

（2）當(dāng)x=20時(shí)，[y=2 000x]=100（米）.

所以當(dāng)魚塘的寬是20米時(shí)，魚塘的長(zhǎng)為100米.

評(píng)注：本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用題，用反比例函數(shù)的定義解決問題比較簡(jiǎn)單.

五、強(qiáng)化函數(shù)壓軸題

例15 （2016·寧夏）如圖8，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，仍以每秒1個(gè)單位的速度，沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)，連接QP，QD，PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（0

（1）設(shè)△QPD的面積為S，用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？求出S的最小值.

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說明理由. [A][B][C][D][P][Q][圖8]

分析：（1）用x表示出AQ，BQ，BP，CP的長(zhǎng)，表示出S△ADQ，S△BPQ，S△PCD，從而表示出S，再利用二次函數(shù)的增減性求得S是否有最大值，并能求出其最小值.

（2）用x表示出BQ，BP，PC，當(dāng)QP⊥DP時(shí)，可證明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，求得x的值.

解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=4，CD=AB=3.

當(dāng)Q，P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB-AQ=3-x，CP=BC-BP=4-x.

∴S△ADQ[=12]AD·AQ[=12]×4x=2x，S△BPQ=[12]BQ·BP[=12]（3-x）x[=32]x[-12]x2，S△PCD=[12]PC·CD=[12]×（4-x）×3=6-[32]x.

又S矩形ABCD=AB·BC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=12-2x-（[32]x[-12]x2）-（6-[32]x）=[12]x2-2x+6=

[12]（x-2）2+4，即S[=12]（x-2）2+4.

∴S為開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為直線x=2.

∴當(dāng)0

又x≠0，

∴S不存在最大值.當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值，最小值為4.

（2）存在.

理由如下：

由（1）可知BQ=3-x，BP=x，CP=4-x，當(dāng)QP⊥DP時(shí)，∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC=90°，

∴∠BPQ=∠PDC.

又∠B=∠C，

∴△BPQ∽△CDP.

∴[BQCP][=BPCD]，即[3-x4-x][=x3].

解得x1[=7+132]（舍去），x2[=7-132].

∴當(dāng)x[=7-132]時(shí)，QP⊥DP.

評(píng)注：本題是四邊形的綜合應(yīng)用題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定和性質(zhì)等.