胡永斌

【摘要】數(shù)學(xué)離不開解題，解題應(yīng)追求解法自然，然而，對于同一道題，往往因?yàn)橐粋€(gè)人的知識結(jié)構(gòu)、思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的不同，會形成不同的解法，但無論哪一種解法，都是人的一種思維自然生成的過程.在數(shù)學(xué)例題、習(xí)題教學(xué)中，我們要重視解題過程中數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】解題；自然；思維能力；培養(yǎng)

一、題目再現(xiàn)

在學(xué)習(xí)人教版“24.1.4圓周角”后，對教材安排的例4的教學(xué)進(jìn)行了反思，題目及教材解答摘錄如下：

例 如圖1，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC，AD，BD的長.

圖1

圖2

解 如圖2，連接OD.

∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=102-62=8（cm）.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=22AB=22×10=52（cm）.

二、解法研究——對求AD，BD的長的方法做一探討

解法1 利用圓周角定理，同圓中圓心角、弦之間的關(guān)系定理以及勾股定理求解.

反思 這是教材中給出的解法.此方法為求AD，BD的長，作了輔助線（連接OD）.其意圖是構(gòu)造圓心角∠AOD和∠BOD，利用圓周角定理證明∠AOD=∠BOD，進(jìn)而利用同圓中圓心角、弦之間的關(guān)系定理得出AD=BD，最后在Rt△ADB中利用勾股定理求解AD，BD的長.教材意圖是為運(yùn)用圓周角定理，因而添加輔助線，在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，幾何的證明和計(jì)算難點(diǎn)就在輔助線，加之運(yùn)用定理多，綜合性強(qiáng)，增加了難度.我在教學(xué)中幫助學(xué)生小結(jié)了圓中添加輔助線的一般規(guī)律，克服學(xué)生添加輔助線的盲目性.

解法2 利用圓周角定理及推論、勾股定理求解，如圖2，連接OD（過程略）.

反思 在學(xué)完教材解法之后，我提出有無其他解法時(shí)，學(xué)生經(jīng)過小組合作交流，小組展示時(shí)的解法與教材解法相比，運(yùn)用了圓周角定理的推論，而沒有用同圓中圓心角、弦之間的關(guān)系定理，求解AD，BD的長是在Rt△AOD和Rt△BOD中，學(xué)生是發(fā)現(xiàn)了∠ACB=90°，∠BAD=∠BCD=45°，所以AD=BD=2OA=2×5=52（cm）.學(xué)生雖然沒有綜合運(yùn)用以前學(xué)過的知識，但較熟練地運(yùn)用了本節(jié)重點(diǎn).由于教材中作出了輔助線，學(xué)生思考的空間被限制了.

解法3 利用圓周角定理的推論及勾股定理求解.

如圖1，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.又∵∠ACD=∠ABD，∠BCD=∠BAD，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD.∵AB是直徑，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=22AB=22×10=52（cm）.

反思 在解法2之后，學(xué)生沉思片刻，面無表情之時(shí)，我突然發(fā)問：“求解AD，BD的長不作輔助線能行嗎？”一語驚醒夢中人.教室里“嘩”的一聲，小組又開始忙活了，兩分鐘左右，各組踴躍發(fā)言.解法3就是學(xué)生想到的解法.相比之下，解法3簡潔、自然，更貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，更容易讓學(xué)生接受，也沒有讓學(xué)生頭疼的輔助線.

三、解后反思

（一）解法力求自然

筆者以為，所謂自然解法即指不勉強(qiáng)、不呆板的方法.解法1雖然學(xué)生可以接受，但給人勉強(qiáng)、呆板之感；解法2麻煩；解法3很自然.學(xué)生一拿到題，其實(shí)并不該急忙去找輔助線，何況作輔助線是幾何學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，對能力差的學(xué)生來說更難，因?yàn)檫@對概念、定理的掌握程度，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)要求較高.

（二）通過小結(jié)與反思學(xué)習(xí)解題

美國教育心理學(xué)家波斯納說：“沒有反思的經(jīng)驗(yàn)是狹隘的經(jīng)驗(yàn)，至多只能是膚淺的知識.”因此，他提出了教師成長的公式：成長=經(jīng)驗(yàn)+反思.這節(jié)課中例題的教學(xué)，筆者就是根據(jù)以前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，重新解讀教材，設(shè)計(jì)學(xué)生自主探索、合作交流、教師引導(dǎo)點(diǎn)撥的教學(xué)方式，教學(xué)過程中進(jìn)行反思，達(dá)到了預(yù)設(shè)與生成共有的效果.

反思是一種有益的思維活動和再學(xué)習(xí)方式，課堂中教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)與反思，使學(xué)生既鞏固了基礎(chǔ)知識與技能，又熟悉了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而開拓思路，提高自己的分析問題、解決問題的能力，掌握一般的解題規(guī)律.

（三）注重一題多解，切忌貪多求快

一題多解就是針對一道題目，能夠有多種解決的方法.它不但能夠開拓思維的廣度和深度，而且能夠鍛煉思維的敏捷性，使學(xué)生能夠找到多方面知識的內(nèi)在聯(lián)系，在提高解題能力的同時(shí)，又能讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)的整體性，幫助學(xué)生整合所學(xué)知識，達(dá)到觸類旁通.

在教學(xué)交流中，常聽到有教師抱怨，這個(gè)知識點(diǎn)或這道題都講過幾遍了，學(xué)生還是不會.造成教學(xué)低效的根本原因是教學(xué)過程沒有觸動學(xué)生的思維，沒有讓學(xué)生參與到解題思維的過程中去，學(xué)生缺少基本活動經(jīng)驗(yàn)和缺乏基本數(shù)學(xué)思想，缺少對題目多種解法的探究與反思.當(dāng)然，與許多教師熱衷追求課堂的高密度、大容量、快節(jié)奏有一定關(guān)系.其實(shí)，教師應(yīng)給學(xué)生足夠的時(shí)間理解題目和自主思考，給學(xué)生充分的時(shí)間總結(jié)和反思，看似耽誤一些時(shí)間，其實(shí)能夠提高解題效率.