北京市和平街第一中學(xué) 吳 丘

分離變量法在高中導(dǎo)數(shù)題目中占有不可或缺的地位，很多含參導(dǎo)數(shù)題都能利用分離變量法，把參數(shù)的范圍求出來，但是還是有一些題目，是很難直接利用分離變量法做出來，或者說利用分離參數(shù)法做不是那么容易。下面我們就來處理這類問題：

背景不等式：（2010湖南）

已知函數(shù).f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若x>-1，求證：

這是一道高考題，當(dāng)然起證明利用作差法師比較容易證明出來，這里就不再贅述了。我們重點(diǎn)關(guān)注第二問的結(jié)論：當(dāng)x>-1時(shí)恒有不等式下面我們就來應(yīng)用這一結(jié)論處理一些看似復(fù)雜的問題

例一：

已知函數(shù)若x>0時(shí)恒成立，求正整數(shù)k的最大值.

常規(guī)解法：當(dāng)x>0時(shí)，(x>0)恒成立，令x=1有k<2［1+ln2］

又k為正整數(shù)，∴k的最大值不大于3

下面證明當(dāng)k=3時(shí)，恒成立

當(dāng)x>0時(shí)(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x，則g'(x)=ln(x+1)-1,當(dāng)x>e-1時(shí),g'(x)=l n(x+1)-1,x>e-1時(shí),g'(x)>0,當(dāng)0

∴當(dāng)x=e-1時(shí),g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0

當(dāng)x>0時(shí)，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3

現(xiàn)在利用上邊的不等式ln(1+x)≤x來解如下：

原問題中的等價(jià)于

運(yùn)用上邊的不等式：當(dāng)x>-1時(shí)，恒有l(wèi)n(1+x)≤x所以有

，利用均值不等式所以k<4

所以k的最大整數(shù)是3。

從上面的解答過程中可以看出，利用不等式的解答此題相當(dāng)簡潔。

例二：

現(xiàn)在讓我們來回顧2015年北京理科導(dǎo)數(shù)題：

已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，；

（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)k使得對x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.

解析：（1）由題可知函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1)，則從而曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x.

（2）構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)g'(x)>0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，從而g(x)>g(0)=0，

即對任意x∈(0,1)恒成立.

（3）構(gòu)造函數(shù)，若p(x)>0對∨x∈(0,1)恒成立，則p'(0)≥0，又，即p'(0)-2-k≥0，得k≤2，又當(dāng)k=2時(shí)，對x∈(0,1)恒成立，因此k的最大值為2.現(xiàn)在我們利用上邊的不等式來重新研究第三問

即，從而等價(jià)于如下式子

從上邊的兩個(gè)例子中我們可以看出，當(dāng)我們直接應(yīng)用分離變量法無法操作的時(shí)候，我們不妨嘗試把函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形。尤其我們遇到上邊這種含有對數(shù)不等式的時(shí)候，我們常?？梢岳蒙线叺牟坏仁竭M(jìn)行等價(jià)變形從而使問題得到大大簡化。縱觀近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題的設(shè)計(jì)，無不對含有自然對數(shù)的式子中進(jìn)行作文章。