于瀟雁， 陳 力

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350116)

飄浮基兩桿柔性空間機械臂基于速度觀測器的增廣自適應(yīng)控制

于瀟雁， 陳 力

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350116)

討論了載體位置、姿態(tài)均不受控情況下，存在外部擾動漂浮基兩桿柔性空間機械臂的基于速度觀測器的增廣自適應(yīng)運動控制與振動最優(yōu)控制問題。選擇合適的聯(lián)體坐標系，利用Lagrange方法并結(jié)合動量守恒原理建立了飄浮基兩桿柔性空間機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程。利用奇異攝動法，將兩桿柔性空間機械臂系統(tǒng)分解為一個關(guān)于載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)與一個描述柔性桿振動的快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，提出了一個包含慢變控制項與快變控制項的復(fù)合控制器。利用自適應(yīng)滑模觀測器得到慢變子系統(tǒng)的觀測速度向量，基于這個觀測速度向量設(shè)計得到系統(tǒng)的增廣自適應(yīng)慢變控制律來實現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡的跟蹤。利用線性觀測器得到快變子系統(tǒng)的觀測速度向量，基于這個觀測速度向量并運用線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論得到了系統(tǒng)的快變控制律來實現(xiàn)柔性桿振動最優(yōu)控制。系統(tǒng)的數(shù)值仿真證實了方法的有效性。該控制方案不需直接測量關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度與柔性振動模態(tài)坐標導(dǎo)數(shù)以及漂浮基的位置、移動速度、移動加速度。

飄浮基兩桿柔性空間機械臂；奇異攝動法；自適應(yīng)控制；增廣法；速度觀測器；振動最優(yōu)控制

在未來的空間操作作業(yè)中，空間機器人將扮演越來越重要的角色，其應(yīng)用將減少宇航員艙外活動的危險與載人航天的費用，因此空間機器人引起了各國研究人員的廣泛關(guān)注[1-4]?？紤]到空間機械臂具有質(zhì)量輕、臂長、重載等特點，為了獲得空間機械臂的高控制精度與良好的性能，必須考慮機械臂的柔性。

對于柔性空間機械臂系統(tǒng),蘇文敬等[5]利用假設(shè)模態(tài)法進行動力學(xué)建模并用PD控制器來進行關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤控制；Yoshisada等[6]實現(xiàn)了柔性機械臂的快速抑制振動的自適應(yīng)控制；戈新生等[7]利用機械臂逆動力學(xué)方法和線性二次型(LQ)最優(yōu)控制方法討論剛?cè)嵝择詈蠙C械臂的軌跡跟蹤控制問題和消除殘余振動的控制問題；洪昭斌等[8]設(shè)計了關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的擬增廣自適應(yīng)控制方案，并根據(jù)柔性子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，設(shè)計了另一個自適應(yīng)控制方案對柔性桿的振動進行實時抑制；于瀟雁等[9]利用奇異攝動法設(shè)計了既能實現(xiàn)載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)軌跡跟蹤又能對多個柔性桿的柔性振動同時進行抑制的自適應(yīng)控制器；Carusone等[10]對柔性空間機械臂的末端軌跡跟蹤的控制方法進行了實驗研究。于瀟雁等[11]對單桿柔性的空間機械臂進行研究，提出了一種基于動態(tài)滑模觀測的奇異攝動魯棒控制器。

值得一提的是，以上大部分控制方案均需要實時測量柔性空間機械臂系統(tǒng)載體姿態(tài)角速度或(與)姿態(tài)加速度、機械臂關(guān)節(jié)鉸的轉(zhuǎn)動速度或(與)轉(zhuǎn)動加速度、柔性振動模態(tài)坐標導(dǎo)數(shù)，甚至包括載體的位置、移動速度與移動加速度，使得系統(tǒng)成本增加而且測量的速度可能包含大量的噪聲信息，會影響控制性能。本文討論了載體位置、姿態(tài)均不受控情況下漂浮基兩桿柔性空間機械臂的基于速度觀測器的增廣自適應(yīng)運動控制與振動最優(yōu)控制問題。與單桿柔性空間機械臂系統(tǒng)相比，兩桿柔性空間機械臂不但關(guān)節(jié)運動與柔性桿振動相互耦合，而且兩個柔性桿的振動也相互耦合。首先選擇合適的聯(lián)體坐標系，利用Lagrange方法并結(jié)合動量守恒原理建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。與載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)鉸的運動相比，柔性桿的振動為高頻振動，所以關(guān)節(jié)軌跡跟蹤與振動控制問題可以借助于奇異攝動理論在不同的時間尺度上進行考慮。利用奇異攝動法，將兩桿柔性空間機械臂系統(tǒng)分解為一個關(guān)于載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)軌跡的慢變子系統(tǒng)與一個描述柔性桿振動的快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，針對僅有精確載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置反饋的情況下，提出采用一個自適應(yīng)滑模觀測器生成載體姿態(tài)角速度、機械臂關(guān)節(jié)角速度估計向量，基于這個速度估計向量設(shè)計了系統(tǒng)的增廣自適應(yīng)慢變運動控制方案。同時對快變子系統(tǒng)設(shè)計了基于線性觀測器的線性全局最優(yōu)控制律來對柔性桿的振動進行控制。

1 動力學(xué)模型的奇異攝動分解

做平面運動的飄浮基兩桿柔性空間機械臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)可看成由自由飄浮的載體B0、柔性臂B1與B2組成。建立各分體Bi(i=0,1,2)的聯(lián)體坐標系Oixiyi，其中O0與B0的質(zhì)心OC0重合，Oi(i=1,2)為聯(lián)結(jié)Bi-1與Bi的轉(zhuǎn)動鉸中心，x1軸與O1O2在同一條直線上，x2軸與柔性臂B2始終相切于O2。設(shè)O1在x0軸上與O0的距離為l0，Bi沿xi(i=1,2)軸的長度為li，載體的質(zhì)量與中心轉(zhuǎn)動慣量分別為m0、I0。機械臂端部載荷的質(zhì)量與中心轉(zhuǎn)動慣量為mE、IE。OC為系統(tǒng)的總質(zhì)心。

圖1 飄浮基兩桿柔性空間機械臂

建立平動的慣性坐標系(O-xy)，設(shè)各分體在(x,y)平面上運動，θ0、θ1與θ2分別為系統(tǒng)載體姿態(tài)與機械臂關(guān)節(jié)鉸的相對轉(zhuǎn)角。

柔性臂B1與B2為均質(zhì)、細長桿件，線密度分別為ρ1與ρ2，截面抗彎剛度為(EI)1與(EI)2。忽略其軸向與剪切變形，柔性臂可視為Euler-Bernoulli梁，其彈性變形基于假設(shè)模態(tài)法[12-13]描述為

式中:wi(xi,t)為柔性臂Bi在截面xi(0≤xi≤li)處的變形，φij(xi)為柔性臂Bi的第j階的模態(tài)函數(shù)，δij(t)為φij(xi)的時變振幅；ni為柔性臂Bi截斷項數(shù)，本文取ni=2(i=1,2)分析。

忽略微弱的重力梯度，由拉格朗日第二類方程與動量守恒原理可得圖1所示載體位置、姿態(tài)均不受控漂浮基兩桿柔性空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程[14]：

(1)

(2)

式中：Mrr∈R3×3，Mrδ∈R3×4，Mδr∈R4×3，Mδδ∈R4×4是矩陣M的對應(yīng)子矩陣;hrr∈R3×3，hrδ∈R3×4，hδr∈R4×3，hδδ∈R4×4是矩陣h的對應(yīng)子矩陣。

由于系統(tǒng)慣性矩陣M是對稱、正定的，因此其逆矩陣可定義為N，即

(3)

式中：Nrr∈R3×3，Nrδ∈R3×4，Nδr∈R4×3，Nδδ∈R4×4是矩陣N的對應(yīng)子矩陣。

利用奇異攝動法[15]，將整個系統(tǒng)分解為一個描述載體姿態(tài)與機械臂關(guān)節(jié)運動的慢變子系統(tǒng)，以及一個描述兩柔性桿彈性振動快變子系統(tǒng)。則基于奇異攝動理論整個柔性空間機械臂的控制輸入τ可由兩個部分組成

(4)

(5)

(6)

其中，

I1為4階單位陣。

3 慢變控制器的設(shè)計

考慮外部擾動，慢變子系統(tǒng)模型可寫成

(7)

式中，τd=[τd1τd2τd3]T為外部擾動向量。假設(shè)隨機干擾τd滿足‖τdi‖≤Cdi(i=1,2,3)，Cdi是已知正常數(shù)。

特性2 對任意向量z∈R3有

式中，Ch max,Ch min為正常數(shù)。

慢變子系統(tǒng)式(5)相應(yīng)的狀態(tài)空間方程為

(8)

定義慢變子系統(tǒng)的增廣誤差輸出向量

(9)

(10)

定義輔助向量s=[s1s2s3]T

(11)

(12)

(13)

(14)

進而有如下控制規(guī)律[19]：

(15)

(16)

(17)

(18)

適當選擇χ2來保證式(18)第一行恒成立。利用式(16)與(17)、特性3與特性4所以有：

(19)

將式(19)代入動力學(xué)方程式(8)

(20)

3.1 自適應(yīng)滑模觀測器的設(shè)計

設(shè)計自適應(yīng)滑模觀測器為[20]

(21)

將式(8)、(21)相減得觀測器誤差方程

(22)

(23)

3.2 滑模面上的動力學(xué)方程

(24)

(25)

在滑模面上有

(26)

(27)

(28)

定義

(29)

假設(shè)初始條件

由式(23)，特性1與特性4可以得到，存在常數(shù)σ0,σ1使得

利用式(27)上式可寫成

(30)

3.3 滑模面上的穩(wěn)定性分析

設(shè)計系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(31)

式中：Γ是常正定矩陣。V對時間t求導(dǎo)并利用特性2與式(25)得：

(32)

(33)

(34)

在P上利用式(26)、(27)與(28)，式(33)與(34)表示為

(35)

(36)

(37)

式中，λ0=(Λ0)min。

(38)

下面來證明當初始點在P上時，所有的軌跡跟蹤始終位于滑模面上。

(39)

從而有

(40)

所以r(0)應(yīng)該滿足

(41)

使得‖r(t)‖2≤λ1，從而r(t)始終位于滑模面上。

則系統(tǒng)的初始狀態(tài)位于P上。于是有

進一步我們得到[19]

4 快變子系統(tǒng)控制器設(shè)計

忽略快變子系統(tǒng)的不確定部分，則快變子系統(tǒng)是一線性系統(tǒng)，且完全可控?？刹捎米顑?yōu)控制方法抑制柔性臂的柔性振動。最優(yōu)控制的性能泛函取為

式中：Qf與Rf分別用來對狀態(tài)向量ζ與控制向量τf引起的性能度量的相對重要性進行加權(quán)。則快變子系統(tǒng)的最優(yōu)控制為

(42)

Pf為下列Ricatti方程的解。

(43)

(44)

5 數(shù)值仿真算例

設(shè)圖1所示漂浮基兩桿柔性空間機械臂的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：l0=l2=1.0 m，l1=2.0 m，載體質(zhì)量m0=200 kg，柔性臂1、2單位長度線密度為ρ1=4 kg/m、ρ2=1.6 kg/m，載體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量I0=100 kg·m2，端部載荷的質(zhì)量和中心轉(zhuǎn)動慣量分別為mE=1 kg和IE=1.25 kg·m2。

設(shè)空間機械臂系統(tǒng)兩個關(guān)節(jié)鉸的期望運動軌跡分別為(單位：rad)

外部擾動為

仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。圖2為載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)鉸的觀測速度圖；圖3為關(guān)節(jié)鉸的角度跟蹤圖。圖4為柔性桿1的振動模態(tài)；圖5為柔性桿2的振動模態(tài)。圖6為載體姿態(tài)角度的實際變化規(guī)律。

圖2 載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)的觀測速度比較

Fig.2 The comparison between the observed angular velocity and the actual one for the base and joints

圖3 關(guān)節(jié)的角度跟蹤比較

Fig.3 The comparison between the desired angular displacement and the actual one for joints

從仿真結(jié)果可以看出，在有著較大初始誤差的情況下，所設(shè)計的基于速度觀測器的增廣自適應(yīng)運動控制器能夠使關(guān)節(jié)快速而穩(wěn)定地追蹤上期望運動軌跡。

圖4 柔性桿1振動模態(tài)

圖5 柔性桿2振動模態(tài)

圖6 載體姿態(tài)角度

而由速度觀測器生成的偽速度信號也在t=4 s后進入穩(wěn)態(tài)。柔性桿的一階模態(tài)與二階模態(tài)t=4 s之后也趨向于0。

6 結(jié) 論

通過選擇適當?shù)穆?lián)體坐標系，利用拉格朗日方程并結(jié)合動量守恒原理建立了一個飄浮基兩桿柔性空間機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型。并利用奇異攝動法，將這個柔性空間機械臂系統(tǒng)分解為一個慢變子系統(tǒng)(剛性空間機械臂子系統(tǒng))與一個柔性臂快變子系統(tǒng)。從而實現(xiàn)了剛性運動與柔性振動的解耦以及兩個柔性桿件振動的解耦。

對剛性空間機械臂子系統(tǒng)，針對僅有精確載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)角位置反饋的情況下，利用自適應(yīng)滑模觀測器生成載體姿態(tài)與機械臂關(guān)節(jié)角速度估計向量，設(shè)計了基于這個速度觀測向量的增廣自適應(yīng)運動控制方案。同時對于快變子系統(tǒng)設(shè)計了基于線性觀測器的線性全局最優(yōu)控制方案。該控制方案僅需要精確的載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)角位移與柔性振動模態(tài)坐標反饋，而不需直接測量載體姿態(tài)角速度、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度與柔性振動模態(tài)坐標導(dǎo)數(shù)以及漂浮基的位置、移動速度、移動加速度；同時該控制方案可以適用于系統(tǒng)慣性結(jié)構(gòu)參數(shù)未知及存在有界外部擾動的空間機械臂系統(tǒng)。

參 考 文 獻

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Velocity observers-based augmented adaptive control for a free-floating two-link flexible space manipulator

YU Xiaoyan, CHEN Li

(School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China)

The augmented adaptive kinematic control and vibration optimal control based on velocity observers for a free-floating two-link flexible space manipulator under external disturbances were studied when positions and attitudes of its base were uncontrollable. Firstly, after selecting an appropriate coordinate system, the dynamic equations of the free-floating two-link flexible space manipulator were established with the momentum conservation principle and Lagrange equations. Secondly, using the singular perturbation approach，the manipulator system was divided into two sub-systems including a slowly varying subsystem of base attitudes and joints’ trajectory tracking and a fast varying subsystem to describe flexible-links’ vibration. Then a composite controller consisting of a slowly varying control component and a fast varying control component was proposed. The slowly varying subsystem’s observed velocity vector was obtained with an adaptive sliding model velocity observer. Based on this observed velocity vector, an augmented adaptive slowly varying control law was designed to realize joints’ trajectory tracking. The observed velocity vector of the fast varying subsystem was obtained with a linear velocity observer. Based on this observed velocity vector, the fast varying control law was designed to realize the vibration optimal control of flexible links using the optimal linear quadratic regulator (LQR) method. Finally, the numerical simulation of the system verified the effectiveness of the proposed method. The results showed that this control scheme does not need direct measurement of position, moving velocity, and moving acceleration of base, angular velocities, and angular accelerations of joints as well as derivatives of flexible vibration modal coordinates.

free-floating two-link flexible space manipulator; singular perturbation approach; adaptive control; augmented approach; velocity observer; vibration optimal control

國家自然科學(xué)基金(11372073);福建省工業(yè)機器人基礎(chǔ)部件技術(shù)重大研發(fā)平臺(2014H21010011);福建省自然科學(xué)基金(2016J01228)

2016-01-01 修改稿收到日期：2016-06-29

于瀟雁 女，博士生，副教授，1974年11月

V42;TP241

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.028