徐 偉， 張志飛， 庾魯思， 徐中明

(1.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400030； 2.重慶自主品牌汽車協(xié)同創(chuàng)新中心，重慶 400044)

附加自由阻尼板阻尼材料降噪拓撲優(yōu)化

徐 偉1，2， 張志飛1，2， 庾魯思1，2， 徐中明1，2

(1.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400030； 2.重慶自主品牌汽車協(xié)同創(chuàng)新中心，重慶 400044)

對附加自由阻尼的板件結(jié)構(gòu)，考慮粘貼阻尼材料前后，中性面位置的變化，利用Matlab編程建立自由阻尼板有限元模型，并利用Rayleigh積分法推導了薄板結(jié)構(gòu)的輻射聲壓表達式；以輻射聲場內(nèi)某點的聲壓最小為目標，阻尼材料的體積為約束條件，建立拓撲優(yōu)化模型。以懸臂板結(jié)構(gòu)為例，編寫了拓撲優(yōu)化程序，利用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法，獲得了阻尼材料的最優(yōu)布局，并與以模態(tài)損耗因子最大為目標的拓撲優(yōu)化結(jié)果進行了對比。結(jié)果表明：在主要關注目標是結(jié)構(gòu)的聲學性能時，直接以聲壓為目標的優(yōu)化方法比以模態(tài)損耗因子最大為目標的優(yōu)化方法更有針對性，效果更好。利用實驗對仿真結(jié)果進行了實驗驗證。

自由阻尼板；輻射聲壓；模態(tài)阻尼損耗因子；漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化；拓撲優(yōu)化

目前，應用較為廣泛的被動噪聲控制方法主要包括自由阻尼(Free Layer Damping，F(xiàn)LD)和約束阻尼(Constrained Layer Damping，CLD)兩種。其中，自由阻尼結(jié)構(gòu)主要依靠阻尼材料的拉伸與壓縮變形耗能，而約束阻尼主要依靠阻尼材料的剪切變形耗能，比自由阻尼的方法效果更好。但自由阻尼結(jié)構(gòu)由于具有結(jié)構(gòu)簡單、成本更低，缺少約束層因此附加質(zhì)量更小，在復雜結(jié)構(gòu)表面更好布置等優(yōu)點，所以應用依然很廣。

對約束阻尼結(jié)構(gòu)研究的文獻已經(jīng)很多，但對自由阻尼結(jié)構(gòu)研究的文獻卻并不多見。自由阻尼結(jié)構(gòu)的研究主要涉及有限元的建模以及阻尼材料的布局優(yōu)化等。楊德慶[1]提出了阻尼胞單元和阻尼拓撲敏度等概念，建立了基于阻尼拓撲敏度綜合評價的阻尼材料拓撲優(yōu)化準則，并用于頻率和動響應約束下自由阻尼層結(jié)構(gòu)阻尼材料的配置優(yōu)化；楊莉等[2]提出了一種自由阻尼板件的建模方法并且利用該方法分析了自由阻尼板的聲輻射特性；呂毅寧等[3]利用Nastran軟件給出了對附加自由阻尼復雜系統(tǒng)的有限元建模方法。

為了提高阻尼材料在減振降噪方面的利用率，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化，多對阻尼材料的布局進行拓撲優(yōu)化，且優(yōu)化目標多選擇為模態(tài)阻尼損耗因子最大。例如，張志飛等[4]利用Nastran軟件基于各向正交懲罰材料密度法，建立了以自由阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼損耗因子最大為目標的拓撲優(yōu)化模型，對一鋁板一聲腔耦合系統(tǒng)的阻尼材料進行了優(yōu)化布置；李偉[5]利用有限元軟件以自由阻尼復合結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子作為結(jié)構(gòu)阻尼的表征，對某轎車車身結(jié)構(gòu)的阻尼材料布置進行了評價；El-Sabbagh等[6]提出一種自由阻尼板件結(jié)構(gòu)的建模方法并且以各階的模態(tài)阻尼損耗因子最大為目標對阻尼材料的布局進行了拓撲優(yōu)化；吳晴晴等[7]針對基底阻尼不可忽略的自由阻尼結(jié)構(gòu)修正了結(jié)構(gòu)損耗因子的預測表達式；張安付等[8]推導了不同自由阻尼結(jié)構(gòu)之間的損耗因子換算關系。

雖然楊莉和Adel El-Sabbagh在對自由阻尼結(jié)構(gòu)進行研究時都提出了相應的有限元建模方法，但其中都忽略了在板件結(jié)構(gòu)粘貼阻尼材料前后中性面位置的變化，這在板件結(jié)構(gòu)厚度較大或者阻尼材料彈性模量較大時會造成很大誤差。本文改進了自由阻尼板件結(jié)構(gòu)的建模方法，并且直接以其受到簡諧激勵時對某點的輻射聲壓最小作為優(yōu)化目標編寫了拓撲優(yōu)化程序，以懸臂板結(jié)構(gòu)為例，獲得了阻尼材料的最優(yōu)布局，將之與以模態(tài)損耗因子最大為目標的優(yōu)化結(jié)果進行了對比，結(jié)果表明，前者的優(yōu)化結(jié)果對板件聲輻射性能的改進更有針對性，效果更好，最后利用實驗對仿真結(jié)果進行了驗證。

1 自由阻尼板件建模與聲輻射分析

1.1 自由阻尼板件建模

自由阻尼板件結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。采用4節(jié)點平面矩形單元，單個單元內(nèi)節(jié)點編號如圖2所示。該單元為復合單元，由基板層和阻尼層組成，厚度分別為hp、hv(如無特殊說明，下文中下標為p和v的變量均分別表示與基板層和阻尼層相關的變量)，自由阻尼復合層單元的長、寬分別為2(a)、2(b)。

圖1 自由阻尼板件模型

圖2 自由阻尼板件單元模型

為了簡化復合層結(jié)構(gòu)變形時的復雜性，在自由阻尼結(jié)構(gòu)的建模過程中做出如下假設：

(1) 各層材料滿足材料力學的基本假設；

(2) 基板層與阻尼層的剪切變形忽略不計；

(3) 阻尼層變形滿足線彈性假設；

(4) 阻尼耗能主要由阻尼層的拉伸和壓縮變形引起；

(5) 各層同一坐標點在z方向的橫向位移相等；

(6) 各層材料之間無相對滑動；

(7) 各層材料的轉(zhuǎn)動慣量忽略不計；

在自由阻尼結(jié)構(gòu)模型中，每個單元節(jié)點有5個自由度，分別為復合層單元中性面內(nèi)x方向的位移ui、復合層單元中性面內(nèi)y方向的位移vi、復合層單元中性面的橫向位移wi以及繞x軸方向的轉(zhuǎn)角θxi和y軸方向的轉(zhuǎn)角θyi。

單元節(jié)點位移向量可以表示為

(1)

單元自由度向量可以表示為

(2)

則單元內(nèi)任意一點的位移可以表示為

(3)

式中，N為形函數(shù)矩陣，表達式為

(4)

Nu、Nv、Nw、Nwx、Nwy分別為單元節(jié)點自由度u,v,w,θx,θy對應的形函數(shù)。

根據(jù)有限元的位移模式，可以聯(lián)立方程求解，將各個形函數(shù)表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

中性面的位置決定了各層結(jié)構(gòu)的變形關系。由于在基板層上粘貼阻尼材料后，板件變形時中性面的位置將發(fā)生改變，所以，首先需要確定板件中性面的位置,如圖3，圖4所示。

圖3 中性面位置

圖4 板件變形示意圖

在發(fā)生彎曲振動時，假設x軸為中性面，距離基板層與阻尼層界面距離為m。確定中性面的位置就是求m。截取結(jié)構(gòu)中一微段dx進行分析。在產(chǎn)生彎曲振動時，中性面上沒有縱向位移，但在距中性面z處的某一點卻由于截面繞中性軸(中性面與該截面的交線)的轉(zhuǎn)角θ而產(chǎn)生縱向位移，

(15)

應變?yōu)?/p>

(16)

根據(jù)胡克定律，截面上各點的應力為

(17)

(18)

(19)

(20)

當發(fā)生彎曲振動時，截面上的縱向合力為零，因此有(注意到應力沿梁寬度方向均布)：

(21)

將式(17)和式(19)代入上式并化簡即可得到中性面的位置參數(shù)m：

(22)

根據(jù)自由阻尼板件變形時各層的關系，可以得到基板層中性面的位移up和vp對應的形函數(shù)向量為

(23)

Nupi=

i=1,2,3,4

(24)

(25)

Nvpi=

i=1,2,3,4

(26)

阻尼層中性面的位移uv和vv對應的形函數(shù)向量為

(27)

Nuvi=

i=1,2,3,4

(28)

(29)

Nvvi=

i=1,2,3,4

(30)

根據(jù)能量法，列出自由阻尼板件結(jié)構(gòu)各層的動能與應變勢能方程：

(31)

從城市防災角度，葫蘆嶺位城市高地，博羅古城位于葫蘆嶺西側(cè)的背水面，以葫蘆嶺為古城防洪的天然屏障。嶺上小南海位于葫蘆嶺半山，由天后宮、南海觀音、文昌宮、呂祖、財神等五個小型的民間信仰宮觀組成，“以口定向”[18]28面向東江來水，呈一字排開，形成一水橫抱之勢，與程建軍教授的《三水胥江祖廟》所論述的“門要對水，座要對龍”[18]28之說對應。 可見，葫蘆嶺民間祭祀場所的選址是糅合了羅浮山的道教堪輿與民間信仰的治水的風水觀，并在博羅老城的山水城市格局中的形成具象。

(32)

(33)

(34)

式中，Tp、Hp、Tv、Hv分別表示基板層的動能、應變勢能、阻尼層的動能和應變勢能。運用Hamilton原理，組集自由阻尼板件單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：

m=mp+mv

(35)

k=kp+kv

(36)

式中，mp、mv、kp和kp分別表示基板層和阻尼層的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

將自由阻尼板的單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣按照位置關系組集成總體質(zhì)量矩陣M和總體剛度矩陣K。

根據(jù)邊界元思想，將平板表面離散成N個面積相等的小單元，每個單元面積為Δs。由于每個單元面積都很小，假設每個單元內(nèi)的速度處處相等，這樣就可以利用單元內(nèi)某一點的振動速度代表整個小單元的振動速度。

平板輻射聲場內(nèi)某點d的輻射聲壓[9]可以表示為

(37)

考慮到速度矢量與位移矢量的夾角βn的影響，式(37)可以改寫為

(38)

(39)

2 自由阻尼板件聲輻射優(yōu)化模型

以簡諧激勵下自由阻尼板件對聲場內(nèi)某點的輻射聲壓最小為優(yōu)化目標，阻尼材料的體積為約束條件，建立拓撲優(yōu)化模型：

(40)

3 場點聲壓靈敏度分析

自由阻尼板件結(jié)構(gòu)的有限元動力學方程可以表示為

(41)

式中，K=Kp(1+ηpi)+Kv(1+ηvi)，ηp和ηv分別表示基板層材料與阻尼層材料的阻尼損耗因子。

自由阻尼板受到的激勵為簡諧激勵，表達式為f(t)=Feiωt，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，則位移響應可以表示為x(t)=Xeiωt。將上述兩式代入自由阻尼板的有限元動力學方程可以化簡得：

(42)

則：

(43)

{U}=iω{X}=iω(-ω2[M]+[K])-1{F}

(44)

式中，{U}表示節(jié)點的速度向量。

對式(44)求導并整理得：

(45)

(46)

4 算例分析

以懸臂板結(jié)構(gòu)為例，進行有限元建模、聲輻射分析及阻尼材料布局優(yōu)化。懸臂板結(jié)構(gòu)如圖5,6所示。

懸臂板長L=0.4 m，寬B=0.24 m，長度方向的一端全部固定。阻尼材料選用美國3M公司生產(chǎn)的NV7520L型阻尼材料。基板層與阻尼層的材料參數(shù),如表1所示。

有限元網(wǎng)格數(shù)為6×10，節(jié)點編號如圖7所示，在40號節(jié)點位置施加一個垂直于板面的激勵力，響應點取為垂直于板面方向且與61號節(jié)點相距0.4 m的d點?？諝饷芏热棣?1.225 kg/m3，空氣中聲速為c=343 m/s。

圖5 自由阻尼懸臂板結(jié)構(gòu)實物

圖6 懸臂板輻射噪聲測量

圖7 懸臂板節(jié)點編號

彈性模量/Pa密度/(kg·m-3)泊松比厚度/m損耗因子基板層2．0E+00779000．30．00150．016阻尼層1．2E+00715500．4950．00210

4.1 自由阻尼板件結(jié)構(gòu)有限元模型實驗驗證

運用前文所述的有限元建模方法對該懸臂板進行建模和模態(tài)分析，得到前六階的模態(tài)信息仿真與實驗對比,如表2所示。

表2 懸臂板模態(tài)分析結(jié)果對比

Tab.2 Modal analysis results comparison between simulation and experiment

階數(shù)一二三四五六仿真/Hz6．9825．7243．5485．56120．64136．35實驗/Hz6．4725．7242．3186．12119．49139．11誤差/%7．8802．91-0．650．96-1．98模態(tài)損耗因子0．0330．0290．0320．0300．0320．033

工程上，考慮基板層阻尼的自由阻尼結(jié)構(gòu)損耗因子的經(jīng)驗表達式[8]為

(47)

將基板層與阻尼層的材料參數(shù)代入式(47)計算得：η=0.030 4。

由表2可知，本文的有限元建模方法得到的模態(tài)頻率與實驗結(jié)果吻合較好，仿真得到的模態(tài)損耗因子與結(jié)構(gòu)損耗因子預測值也很接近，因此本文的有限元建模方法是有效的。

4.2 自由阻尼板件結(jié)構(gòu)聲輻射分析與實驗驗證

運用前文所述的自由阻尼板聲輻射分析方法對該懸臂板在d點的輻射聲壓進行分析，仿真時所加激勵選用幅值為1 N，頻率為20～200 Hz的正弦掃頻激勵，實驗時采用力錘激勵，得到d點聲壓相對激勵點的頻響函數(shù)，仿真與實驗結(jié)果的對比,如圖8,9所示。

圖8 自由阻尼全覆蓋懸臂板與無覆蓋懸臂板輻射聲壓頻響仿真

觀察圖8～圖9，利用本文的自由阻尼板件結(jié)構(gòu)聲輻射分析方法得到的聲壓頻響的仿真結(jié)果與實驗結(jié)果在趨勢上吻合較好，因此本文的聲輻射分析方法是有效的。

圖9 自由阻尼全覆蓋懸臂板與無覆蓋懸臂板輻射聲壓頻響實驗

二者在幅值上有些許差異，分析原因主要是由于邊界約束與測試環(huán)境不夠理想，本文采用的復常數(shù)阻尼模型無法反映材料阻尼隨頻率、溫度變化等無法避免因素的影響。

在仿真結(jié)果與實驗結(jié)果中均出現(xiàn)了兩個峰值，參考前文模態(tài)分析得到的模態(tài)分析結(jié)果可知，兩個峰值分別出現(xiàn)在第三階與第六階的模態(tài)頻率處，且第三階的峰值要明顯高于第六階的峰值。下文將以第三階和第六階頻率處的輻射聲壓最小為優(yōu)化目標，對自由阻尼材料的布局進行優(yōu)化。

4.3 自由阻尼板件阻尼材料布局優(yōu)化與實驗驗證

按照自由阻尼板件的聲輻射優(yōu)化模型，阻尼材料的體積約束取為50%，目標函數(shù)取為

(48)

式中:P(d)3和P(d)6分別表示d點在第三階與第六階頻率處的輻射聲壓；g和l表示兩階各自的權(quán)重系數(shù)。在本文中分為三組考慮,如表3和圖10～12所示。

表3 權(quán)重系數(shù)分組

運用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對模型進行求解，得到的阻尼材料布局以及仿真得到的場點聲壓相對激勵點的頻響函數(shù)與實驗結(jié)果的對比,如圖13、14所示。

仔細觀察圖13～圖14中優(yōu)化前后自由阻尼板在d點聲輻射的仿真與實驗對比結(jié)果，可知二者聲壓曲線的變化趨勢是非常一致的。

圖10 第一組權(quán)重阻尼材料布局

Fig.10 Optimal distribution of damping material using weighting factors in the first group

圖11 第二組權(quán)重阻尼材料布局

Fig.11 Optimal distribution of damping material using weighting factors in the second group

圖12 第三組權(quán)重阻尼材料布局

Fig.12 Optimal distribution of damping material using weighting factors in the third group

圖13 優(yōu)化前后d點輻射聲壓頻響仿真對比結(jié)果

在減少了50%的阻尼材料用量的優(yōu)化結(jié)果中，第三階與第六階頻率處的輻射聲壓仍然得到了顯著抑制，并且，同時考慮第三階與第六階輻射聲壓的優(yōu)化結(jié)果要優(yōu)于僅考慮第三階輻射聲壓的優(yōu)化結(jié)果。第三階與第六階權(quán)重取值分別為(0.7,0.3)和(0.5,0.5)的兩組實驗結(jié)果總的聲學表現(xiàn)差異不大。這些都充分驗證了優(yōu)化方法的有效性以及優(yōu)化程序的正確性。

圖14 優(yōu)化前后d點輻射聲壓頻響實驗對比結(jié)果

4.4 場點聲壓最小為目標與模態(tài)損耗因子最大為目標優(yōu)化結(jié)果對比

目前，關于阻尼材料布局優(yōu)化的文獻中多以模態(tài)阻尼損耗因子最大作為優(yōu)化目標，這在一定程度上可以有效抑制結(jié)構(gòu)振動，但是，在主要目標是改善結(jié)構(gòu)聲學性能的時候，本文所述的方法更為有效。為了證明這一點，以前文所述模型在d點第六階頻率處輻射聲壓最小為例進行了仿真分析對比，結(jié)果如圖15，16所示。

圖15 第六階輻射聲壓最小為目標優(yōu)化阻尼材料布局

Fig.15 Optimal distribution of damping material targeting on minimizing the radiation sound pressure of the 6th order

圖16 第六階模態(tài)損耗因子最大為目標優(yōu)化阻尼材料布局

Fig.16 Optimal distribution of damping material targeting on maximizing the damping loss factor of the 6th order

觀察圖15～圖16，以場點聲壓最小為目標的阻尼材料拓撲布局由于場點和激勵點位置相對于板面對稱線的偏置而明顯呈不對稱分布，以模態(tài)損耗因子最大為目標的阻尼材料拓撲布局由于不考慮場點的位置而呈明顯的對稱分布。

觀察圖17，以場點聲壓最小為目標的優(yōu)化過程與以模態(tài)損耗因子最大為目標的優(yōu)化過程相比，場點聲壓頻響波動更平滑且幅值更小。分析原因主要是因為，板件不同部位振動對場點聲壓的貢獻有正負之分，前者迭代時優(yōu)先刪除對場點聲壓負貢獻位置的阻尼材料，之后為了滿足體積約束，逐漸刪除正貢獻位置的阻尼材料，而后者由于設計變量靈敏度沒有正負之分，因此目標函數(shù)的波動更大。

圖17 優(yōu)化迭代過程中d點第六階頻率處輻射聲壓頻響變化曲線

Fig.17 Changing of sound radiation pressure during the iteration

5 結(jié) 論

(1) 考慮到板件粘貼阻尼材料前后中性面位置的變化，利用Matlab軟件編程建立了自由阻尼板的有限元模型，利用Rayleigh積分法分析了薄板結(jié)構(gòu)的聲輻射，并利用實驗驗證了有限元模型及聲輻射分析方法的正確性。

(2) 針對阻尼材料的布局優(yōu)化，建立了以薄板輻射聲場內(nèi)某點聲壓最小為目標，以阻尼材料體積為約束條件的拓撲優(yōu)化模型。以懸臂板結(jié)構(gòu)為例，利用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法求解了優(yōu)化模型，得到了阻尼材料的最優(yōu)布局，并將結(jié)果與以模態(tài)損耗因子最大為目標的優(yōu)化結(jié)果進行了對比，結(jié)果表明：在主要關注目標是結(jié)構(gòu)的聲學性能時，前者的優(yōu)化結(jié)果更好。

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Topology optimization for noise reduction of structures with free damping

XU Wei1,2, ZHANG Zhifei1,2, YU Lusi1,2, XU Zhongming1,2

(1.School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2. Chongqing Automotive Collaborative Innovation Center, Chongqing 400044, China)

Considering position variations of the neutral surface of a plate with or without damping materials, a FE model for a plate structure with free damping was built using Matlab. The sound radiation pressure formula for a thin plate was derived with Rayleigh integral method. A topology optimization model was built taking minimization of the sound radiation pressure of a certain point in the radiation sound field as the objective, and damping material’s volume as the constraint condition. A cantilever plate was taken as an example. With the evolutionary structural optimization method and the topology optimization model, the optimal distribution of damping materials was determined. The results were compared with those when the objective being taken as maximization of modal damping loss factor. It was shown that the method with the objective taken as minimization of the sound radiation pressure is better than that with the objective taken as maximization of modal damping loss factor for noise reduction. Finally, the simulation results were verified with those of tests.

plate structure with free damping; sound radiation pressure; modal damping loss factor; evolutionary structural optimization; topology optimization

重慶市基礎科學與前沿技術(shù)研究專項重點項目(CSTC2015JCYJBX0075)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費科研專項(CDJZR14115501)

2016-01-15 修改稿收到日期：2016-05-05

徐偉 男，碩士，1990年生

張志飛 男，博士，副教授，1983年生

TB53

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10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.031