筅江蘇省南通市天星湖中學(xué)成倩文

對“圓錐曲線”中化歸思想的探討及教學(xué)反思

筅江蘇省南通市天星湖中學(xué)成倩文

連續(xù)兩年任教高三文理數(shù)學(xué)，都讓我感覺到高三學(xué)生對解析幾何解答題的無助和困惑，要么只會求曲線方程，第2問無從下手；要么解題中途卡住，下面無法解決；要么解題過程煩瑣不知簡化，白白浪費時間.為此筆者專門研究了2015年的幾套高考卷，深有感觸，發(fā)現(xiàn)多個省市在圓錐曲線這部分的試題，不約而同地考查了學(xué)生對條件轉(zhuǎn)化與化歸的能力，而這恰恰是大部分高三學(xué)生比較薄弱的部分.下面請跟隨筆者針對部分真題進(jìn)行探討與賞析.

一、已知角相等問題

例1（全國課標(biāo)卷Ⅰ第20題）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a>0）交于M，N兩點.

（1）略；

（2）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

解：（1）略.

（2）假設(shè)存在符合題意的點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN.

設(shè)點P（0，b），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.

當(dāng)b=-a時，k1+k2=0，則直線PM，PN的傾斜角互補.所以∠OPM=∠OPN.

故在y軸上存在點P（0，-a），使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN.

評注：本題第（2）問對∠OPM=∠OPN分析，再結(jié)合斜率，聯(lián)系到此兩角相等實則等價轉(zhuǎn)化為直線PM，PN的傾斜角互補，從而利用k1+k2=0進(jìn)行解題.

（1）略.

（2）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解：（1）略.

（2）因為點B與點A關(guān)于x軸對稱，

所以B（m，-n）（m≠0）.

設(shè)N（xN，0），則

假設(shè)存在點Q滿足條件，由∠OQM=∠ONQ，∠QOM=∠NOQ，得△QOM∽△NOQ，則，即=|xM||xN|.

評注：本題第（2）問同樣也是兩角相等，但卻與直線斜率無關(guān)，本題應(yīng)該利用相似三角形得線段比相等，從而轉(zhuǎn)化為點M，N，Q坐標(biāo)量的關(guān)系式，再結(jié)合第（1）問及對稱性進(jìn)行求解.

二、與對稱有關(guān)的問題

（1）略；

（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，-b），N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標(biāo)為，求E的方程.

解：（1）略.

評注：此題第（2）問應(yīng)先根據(jù)第（1）問中AB的直線方程求出點N坐標(biāo)，設(shè)出點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標(biāo)，從而得出NS的中點T的坐標(biāo)，考查了中點和對稱點的應(yīng)用，最后轉(zhuǎn)化為兩線斜率乘積為-1進(jìn)行求解，注意在點坐標(biāo)應(yīng)用時盡量減少未知參數(shù).

例4（全國課標(biāo)卷Ⅱ第20題）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

解：（1）證明略.

由（1）得kOM·k=-9，則OM

又9x2+y2=m2，所以得

四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM.

評注：第（2）問看到四邊形OAPB為平行四邊形，學(xué)生就應(yīng)該要想到等價轉(zhuǎn)化成利用中點知識和韋達(dá)定理解決問題，接下來就是考查學(xué)生的計算能力了.

三、利用向量解決問題

例5（湖南卷第20題）已知拋物線C1：x2=4y的焦點F也是橢圓的一個焦點.C1與C2的公共弦長為2

（1）略.

（2）過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且同向.

（i）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率；

（ii）設(shè)C1在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線l繞點F旋轉(zhuǎn)時，△MFD總是鈍角三角形.

解：（1）略.

（2）如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.

（i）因為與同向，且|AC|= |BD|，所以=，從而x3-x1=x4-x2，即x1-x2=x3-x4.于是（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，③

設(shè)直線l：y=kx+1，

（ii）由x2=4y得y′=，則C1在點A處的切線方程為y-向量

所以∠AFM是銳角，從而∠MFD=π-∠AFM是鈍角.

評注：此題第（2）問的第（i）問將|AC|=|BD|轉(zhuǎn)化為，再適當(dāng)進(jìn)行變形，兩次結(jié)合韋達(dá)定理解決問題，計算量偏大；第（ii）問要對△MFD總是鈍角三角形聯(lián)系到直角三角形是如何解決問題的，從而轉(zhuǎn)化為與此角互補的角的向量的數(shù)量積大于0即可.

上述這五道關(guān)于圓錐曲線的高考題并不難解決，第二問求解過程通過充分分析圖形的幾何性質(zhì)，最終都采取了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，轉(zhuǎn)化之后的類型就是高三復(fù)習(xí)時的典型題型，可見高考題并不可怕.接下來的就是計算問題，常規(guī)方法是設(shè)而不求，不解方程，消元利用韋達(dá)定理，算出點的坐標(biāo)進(jìn)行解決問題；也可設(shè)橢圓上主要動點坐標(biāo)（x0，y0），寫出x0與y0滿足橢圓方程再化簡的方法，此方法要求學(xué)生很強的運算能力，而學(xué)生掌握得很薄弱.對于定值定點問題的證明問題，這更加要求強大學(xué)生分析問題能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，推理能力及計算能力和耐力，爭取做到快、準(zhǔn)、狠！

所以在平時的課堂教學(xué)工作中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主地向這些思想靠攏，而不是一味地灌輸式教學(xué)，否則學(xué)生很難做到舉一反三，應(yīng)用自如.筆者認(rèn)為教師在注重基礎(chǔ)教學(xué)的同時，要適當(dāng)強化教學(xué)的趣味性，關(guān)注過程與方法，鼓勵學(xué)生自主探究；貫徹合作的理念，指導(dǎo)學(xué)生合作學(xué)習(xí)；發(fā)揮情感教育功能，滲透人文教育.教師要把握好兩點：一是用好教材，克服“教教材”的落后做法，走向“用教材教”的理想境界；二是優(yōu)化教學(xué)過程，抓住每一章節(jié)的核心問題、重點問題及難點問題，放手讓學(xué)生自主探究，去親歷知識的形成過程，同時還要布置一些開放性和探索性的作業(yè)，讓學(xué)生通過自主實踐去鞏固課堂知識、豐富已做題的經(jīng)驗，重在培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和能力，從而在高考中打一個漂亮仗！