筅山東省鄒城市第二中學(xué)陳玉偉

解題中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的模型辨別
——從一道函數(shù)模型問(wèn)題談起

筅山東省鄒城市第二中學(xué)陳玉偉

高中數(shù)學(xué)解題千千萬(wàn)，然而若能培養(yǎng)學(xué)生模型辨別，則可以解決眾多類似問(wèn)題.例如，高中數(shù)學(xué)許多問(wèn)題圍繞函數(shù)展開(kāi).對(duì)于同一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，我們可以有一些相近意思的理解，因此可確定不同的函數(shù)模型進(jìn)行研究，但是由于函數(shù)模型結(jié)構(gòu)的差異、參量個(gè)數(shù)的不同，對(duì)于后續(xù)研究的難易程度會(huì)天差地別.筆者以一道函數(shù)問(wèn)題為例，談?wù)勥@類問(wèn)題的一般步驟.

一、題目呈現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

二、解法分析

解：（1）略（2）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）必為單調(diào)增函數(shù)

當(dāng)a>0時(shí)，令g′（x）=ex-a>0，解得alna

∵g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，∴l(xiāng)na≤-1即0

②當(dāng)a<0時(shí)f（ea）=a-aea=a（1-ea）<0，f（-1）=-a>0，且函數(shù)f（x）在［ea，1］上圖像不間斷∴f（x）在（ea，1）上存在零點(diǎn).另外，當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）=-a>0，故（fx）在（0，+∞）單調(diào)增函數(shù)，∴f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

③0

當(dāng)00；當(dāng)x>a-1時(shí)，f′（x）<0；

∴x=a-1是f（x）的最大值，且最大值為f（a-1）=-lna-1

（i）當(dāng)-lna-1=0，a=e-1時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)

（ii）當(dāng)-lna-1>0，0

三、模型提煉方法引申

本題為典型研究函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域問(wèn)題，筆者進(jìn)行研究歸納出高中階段研究函數(shù)三步驟僅供大家參考.（確定函數(shù)：確定函數(shù)解析式及定義域（研究函數(shù)：研究函數(shù)性質(zhì)及圖像（解決問(wèn)題：根據(jù)性質(zhì)解決函數(shù)問(wèn)題.學(xué)生學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)之后對(duì)于給定不含參量的函數(shù)解析式均能研究，因此三步驟中最關(guān)鍵的應(yīng)是第一步：確定函數(shù).

因此筆者根據(jù)以幾種不同相近的理解，確定幾種相近解析式，通過(guò)比較難易程度進(jìn)行歸納選取何種解析式較好.因此題（2）還可以有其他解法：

方法2：將f（x）=0變形，lnx-ax=0圯lnx=ax，

①確定函數(shù)：確定函數(shù)解析式及定義域：

同時(shí)研究y1=lnx，y2=ax兩個(gè)函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）

②研究函數(shù)：研究函數(shù)性質(zhì)及圖像：

兩個(gè)函數(shù)兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性均較為簡(jiǎn)單，因此我們借助圖像研究

圖1

（1）a≤0時(shí)，由圖像可知兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)（圖1）

（2）a>0時(shí)，由圖像可知兩曲線可能有一個(gè)交點(diǎn)（圖2）可能兩個(gè)交點(diǎn)（圖3），臨界情況為相切，因此先算出相切時(shí)a的值.

圖2

圖3

③解決問(wèn)題：根據(jù)性質(zhì)解決函數(shù)問(wèn)題

綜上所述：當(dāng)a≤0或a=e-1時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，

當(dāng)0

方法3：法2中同時(shí)根據(jù)lnx-ax=0圯lnx=ax，同時(shí)研究y1=lnx，y2=ax

筆者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形lnx-ax=0圯lnx=ax圯a=

同時(shí)研究y1=a

①確定函數(shù)：確定函數(shù)解析式及定義域：

②研究函數(shù)：研究函數(shù)性質(zhì)及圖像：

③解決問(wèn)題：根據(jù)性質(zhì)解決函數(shù)問(wèn)題根據(jù)圖4可知：

當(dāng)a≤0或a=e-1時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0

反思：三種方法均為本題探究零點(diǎn)問(wèn)題的理解，但是后續(xù)研究問(wèn)題的復(fù)雜程度，難易程度差距很大.方法1直接研究f（x）本身，方法2通過(guò)變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化研究?jī)蓚€(gè)較為簡(jiǎn)單的函數(shù)，方法3在方法2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)常數(shù)函數(shù)與一個(gè)不含參量的函數(shù)（俗稱參變分離）大大減少運(yùn)算量.因此我們應(yīng)盡量利用參變構(gòu)造出這兩類函數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算.

圖4

四、鏈接試題，鞏固提升

（2）設(shè)g（x）=x2-2bx+4.當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)任意x1∈（0， 2），存在x2∈［1，2］，使

f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)b的取值范圍

在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)第一步確定函數(shù)往往決定了整題研究的難易程度.按照參變分離確定一個(gè)常數(shù)函數(shù)與一個(gè)不含參量的函數(shù)進(jìn)行研究函數(shù)問(wèn)題可以避免討論參數(shù)與區(qū)間關(guān)系進(jìn)而大大減少運(yùn)算量.

五、思想提煉反思提升

波利亞認(rèn)為，解題后反思是有效解題的一個(gè)重要而有益的階段，反思整個(gè)解題過(guò)程，并再次思考、核實(shí)結(jié)果及獲得結(jié)果的方法，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力.對(duì)于同一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，可確定不同的函數(shù)模型進(jìn)行研究，但是由于函數(shù)模型結(jié)構(gòu)的差異、參量個(gè)數(shù)的不同，對(duì)于后續(xù)研究的難易程度會(huì)天差地別.研究函數(shù)三步驟中第一步非常關(guān)鍵，我們遇到含參量問(wèn)題時(shí)，應(yīng)盡量確定一個(gè)常數(shù)函數(shù)與一個(gè)不含參量的函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，這樣往往有意想不到的簡(jiǎn)化效果.

教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題后反思：這道題主要考查了哪些知識(shí)點(diǎn)？最優(yōu)解法是哪種？對(duì)于相同的題型，要?dú)w納通法通解，對(duì)于不同的題型要熟知解題策略.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要先行深度剖析這類問(wèn)題，才能從容歸納問(wèn)題的普遍性與特殊性，才能有效地指導(dǎo)學(xué)生解題后反思.學(xué)生需要反思：幾個(gè)變式主要涉及到哪些知識(shí)點(diǎn)？解法之間有怎樣的聯(lián)系？一些解法的本質(zhì)是什么？諸多解法中最優(yōu)解法是哪個(gè)？能否歸納通法通解？解決最值問(wèn)題的一般方法有哪些？通過(guò)解題后反思，學(xué)生再次面對(duì)最值問(wèn)題時(shí)不再霧里看花般觸摸不到，并讓他們體悟歸納具體題型的解題方法，養(yǎng)成勤于探究、及時(shí)反思的好習(xí)慣.