易強(qiáng)　呂希元

摘 要 泰勒公式能將較復(fù)雜的函數(shù)近似轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式的處理，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可以來(lái)求解未定式的極限、特殊形式的極限和利用它作函數(shù)的證明。

關(guān)鍵詞 泰勒公式 極限 導(dǎo)數(shù) 皮亞諾余項(xiàng)

中圖分類(lèi)號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.021

1 定理

設(shè)在=0處存在+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：

=++2+…++（），

其中（）=，上式為函數(shù)在=0點(diǎn)處的關(guān)于的展開(kāi)式，稱(chēng)為泰勒公式，其中（）叫皮亞諾余項(xiàng)（Peano）。

證明：作輔助函數(shù)：

=2…，易知，在[0，]或者[，0]上是連續(xù)的，并且有：=，=0，=。

又引入一個(gè)輔助函數(shù)：（）=，利用柯西定理可得： = ，而應(yīng)在0到之間，則有：

=，=0，=（）

=，=0，=（）

將這些結(jié)論都代入到由柯西定理得到的等式中得：

=，又由于

==0，

∴（）=

2 常見(jiàn)的初等函數(shù)的泰勒公式

當(dāng)→0時(shí)，有：

（1）=1+++…++

（2）=+…++

（3）=1+…++

（4）（1+）=1+++…++

（5）1n+（1+）=+…++

利用如上的一些常用公式可以將一些較復(fù)雜的極限變得簡(jiǎn)單易求。

3 利用泰勒公式求解未定式及特殊的極限

若在=0處存在階可導(dǎo)，且有帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，即：

=++2+…++

當(dāng)有：=0時(shí)，且有：=+，=+，則有：

==（≠0）。

例1：求=

解：由于+1=，+1（1+24）+，

=（12）（1+2）+=2+

又因?yàn)?，?dāng)→0時(shí)，～，從而

==.

例2：求

解：當(dāng)時(shí)，由于1～～，又由1n（1+）=+，從而，

原式==。

利用泰勒公式還可以求解極限中的參數(shù)。

例3.確定常數(shù)，使：（）=0

解：因?yàn)?2= 2++€%^，其中€%^=0，所以=（2）（+）++€%^，由此可知，欲使：

（）=[（2）（+）++€%^]=0，

則有：=2，=。

由此易知，當(dāng)x→+∞時(shí)，曲線=以直線=2為斜漸近線。

4 利用泰勒公式證明函數(shù)或?qū)?shù)存在特殊點(diǎn)

有時(shí)要證某點(diǎn)滿足某等式時(shí)，常常利用泰勒公式，而所要找的點(diǎn)一般為式中的中間值點(diǎn)。

例4：已知在[a，b]滿足三次可導(dǎo)，試證：€HR∈（a，b），有：

=+（）+（）3·（）。

證明：將在=處展開(kāi)成二階的泰勒公式，再分別取和代入得：

=+（）+（）2+

（）（）3

=+（）+（）2+

（）（）3

滿足，∈（，）從而可得：

=（）+[（）+（）]（）3，

由于[（）+（）]介于（）和（）之間，從而€HR∈（a，b），滿足

（）=，

故：=+（）+（）3（）。

例5.試確定，使極限存在，其中=++…+，≠0，為自然數(shù)。

解：令（）=+…+，則有：

==+（）+，其中：=0，由于存在，而

=

=（），

故有=0，所以=。

5 利用泰勒公式證明不等式

通過(guò)估計(jì)泰勒公式的余項(xiàng)來(lái)證明不等式，在近n年的考研數(shù)學(xué)中常有如下考點(diǎn)，已知有拉格朗日余項(xiàng)型的泰勒公式，例如三階的泰勒公式：

=++2+[+]3，其中∈（0，1）。當(dāng)對(duì)余項(xiàng)作適當(dāng)估計(jì)時(shí)就可得相應(yīng)不等式。

例6：已知在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)存在二階的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)==0，且有=2，試證：€HR∈（1，1），使≤。

證：由==0，且=2可知存在最大值點(diǎn)，滿足∈（0，1），當(dāng)在此點(diǎn)展開(kāi)可得：=+（）+（）2，其中∈（，）。將=0，=1及=2，且=0代入可得：=+（）+（）2，即：

0=2+a2，∈（0，1）。

同理有：=+（）+（）2，

則0=2+（）2，∈（0，1）。

當(dāng)0<<時(shí)，有=<；當(dāng)≤≤1時(shí)，=≤。綜上可得：∈（0，1），滿足≤。

利用泰勒公式建立了一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

例7.若在[0，1]二階可微，且有||≤，||≤，，均為非負(fù)數(shù)，€HO∈（0，1），試證：||≤2a+。

證明：利用二階泰勒公式，€HO∈[0，1]，€HO∈（0，1），有：

=+（）+（）2，其中∈（），

當(dāng)時(shí)，得：=+（）+，∈（），

再令，得：=+（）+，∈（），將上面兩式相減得：

=（）+[]，

即：（）=[]，

從而：|（）|≤||+||+[||+||]≤2+[（1）2+]≤2+[1+]=2+。

所以，|（）|≤2+成立。

例8.已知在（，）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且（）<0，試證：對(duì)于（，）內(nèi)的任意兩個(gè)不同的與，且滿足+=1，0<<1的兩個(gè)數(shù)和，均有>（）+（）。

證明：將在某點(diǎn)利用泰勒公式展開(kāi)至=1得：

=+（）+（）2，其中∈（a，b），

當(dāng)=時(shí)代入得：=+（）+（）2，∈（，），當(dāng)令=時(shí)代入得：=+（）+（）2，∈（，），將第一式兩邊乘以，然后將第二式兩邊乘以再相加得：

（）+（）=+（+）+（）2+（）2， 令+=代入得：

（）+（）=（+）+[n（）]2+

[m（）]2，

又因?yàn)?lt;0恒成立，從而（）+（）<成立。

6 小結(jié)

泰勒公式的作用非常巨大，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，本文只是從幾個(gè)方面介紹了泰勒公式的應(yīng)用，實(shí)際上，泰勒公式在作近似計(jì)算方面也是非常實(shí)用，而且計(jì)算精確度比較高。

參考文獻(xiàn)

[1] 詹婉容，于海.對(duì)一道習(xí)題的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008.11（1）：105-106.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（2版）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3] 毛綱源.高等數(shù)學(xué)解題方法歸納[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001：86-89.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 陳傳璋等.數(shù)學(xué)分析：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] 李永樂(lè)等.考研復(fù)習(xí)全書(shū).數(shù)學(xué)一[M].北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2014.