趙勝

摘 要 函數(shù)思想是最基本的數(shù)學思想之一，函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，它貫穿整個中學階段。了解與掌握函數(shù)思想，能讓學習者領悟數(shù)學的真諦，增強學習者學習數(shù)學的積極性，幫助數(shù)學學習；同時也是新一輪課程改革的基本要求。文章通過對函數(shù)思想的重要性進行了分析，從函數(shù)思想在中學數(shù)學中的應用、數(shù)學教學中如何滲透函數(shù)思想進行論述，從而達到對函數(shù)思想在中學數(shù)學中的全面認識。

關鍵詞 中學數(shù)學 函數(shù) 函數(shù)思想

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.04.052

An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School

ZHAO Sheng

（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）

Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.

Key words middle school mathematics； function； function thought

函數(shù)思想是在數(shù)學的發(fā)展史中形成的，它是人們對函數(shù)知識的本質(zhì)性認識，來源于函數(shù)的基礎知識，它在中學數(shù)學教學中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學數(shù)學函數(shù)教學中，加強函數(shù)思想教學可以幫助學生更好地理解函數(shù)知識、形成正確的教學觀念和優(yōu)秀的數(shù)學精神；它是落實素質(zhì)教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學質(zhì)量與教學水平；有利于培養(yǎng)學生的辯證唯物主義能力與函數(shù)應用能力。隨著數(shù)學教育的改革與發(fā)展，中學數(shù)學函數(shù)思想日趨凸顯，從事數(shù)學教育以及一些數(shù)學學習者越來越認識到函數(shù)思想的重要性。函數(shù)是支撐中學數(shù)學的骨架，是中學數(shù)學最重要的內(nèi)容之一，貫穿整個中學階段。從歷年中考、高考的情況來看，以函數(shù)為核心編制的題目立意新穎，知識覆蓋面廣，靈活性較強，有比較理想的選拔功能。所以函數(shù)思想有極高的研究價值。作為數(shù)學教育工作者了解函數(shù)思想的產(chǎn)生、發(fā)展和特點，掌握函數(shù)運動的發(fā)展規(guī)律，形成正確的教學觀，從而提高對數(shù)學知識的駕馭能力。本文通過對中學數(shù)學函數(shù)思想的研究來指導教育工作者更加有效地進行教學，同時也為新課改提供有力依據(jù)，給學生的學習指引正確的方向。

1 函數(shù)思想在中學數(shù)學中的應用

函數(shù)是數(shù)集之間的特殊映射，反映事物的內(nèi)部聯(lián)系，縱觀整個中學階段，函數(shù)將大部分數(shù)學知識緊扣在一起，形成一個以函數(shù)為中心向四周擴散的知識網(wǎng)絡，而函數(shù)思想則是形成這個知識網(wǎng)絡的靈魂。函數(shù)思想的應用就是對于一些實際問題、數(shù)學問題構(gòu)建一個函數(shù)模型，應用函數(shù)的基本性質(zhì)更快更好地解決問題，而構(gòu)造函數(shù)模型是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)。接下來筆者將從以下幾個方面闡述函數(shù)思想在中學數(shù)學中的應用。

1.1 函數(shù)思想在中學數(shù)學中的宏觀應用

函數(shù)思想的宏觀應用也就是函數(shù)性質(zhì)的直接應用，即應用初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值領、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、連續(xù)性、對稱性、圖像等）求解有關的值、討論參數(shù)的取值等問題，只要掌握函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，直接對其加以簡單應用就行，直觀明了，同樣也是函數(shù)思想的簡單體現(xiàn)。

例1 函數(shù) （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點分別為、，若線段（不含端點）與曲線交于點（1，0），求的值。

分析：首先弄清已知條件，已知①一個含參數(shù)的三次函數(shù)；②函數(shù)有極值；③有極大和極小點，；④線段（不含端點）與曲線交于點（1，0）。解題目標是求的值。

由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。

（0，），（， + ）

再由點（1，0）在曲線上以及三點共線，解得

這個結(jié)果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點容易被忽略，這就是點應在線段的內(nèi)部，因此應滿足0<1<，<，于是第二組解應舍去?；蛘哒f，若 = ，則點的坐標為（1，0）與（1，0）重合，這時候，成為線段的端點，與題意不符。

1.2 函數(shù)思想在中學數(shù)學中的微觀應用

函數(shù)與方程、不等式、角、數(shù)列等均有不同程度的內(nèi)在聯(lián)系，將一些非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題、構(gòu)建函數(shù)模型就是函數(shù)思想的微觀應用，也就是函數(shù)的間接應用，此類題型可以鍛煉學習者的發(fā)散思維和邏輯推理能力。接下來將以幾個實例加以說明。

1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數(shù)思想

函數(shù)與方程、不等式有著千絲萬縷的關系，絕大多數(shù)方程與不等式的研究需要依靠函數(shù)來實現(xiàn)，而函數(shù)性質(zhì)的研究則又需要依賴方程與不等式來完成，所以他們是相輔相成的。比若說求定義域、函數(shù)單調(diào)性證明都需要借助不等式來完成；而解方程又是求函數(shù)的零點。所以在解關于方程與不等式這類題的過程中應該考慮以函數(shù)為工具，加強函數(shù)、方程、不等式的綜合應用能力，系統(tǒng)掌握數(shù)學各個模塊的知識。

例2 證明不等式<，（>0）。

分析：證明不等式有很多種方法，可以通過作差、作商、反證、放縮、構(gòu)造等不同方法來實現(xiàn)，根據(jù)不同題目選擇合理方法可以達到事半功倍的效果。通過觀察，本題通過構(gòu)造函數(shù)的方法來證明，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性來實現(xiàn)不等式大小，既方便又快捷。

證明：要證<（>0），即證<0。

令 = ，（>0）

當>0時， = 1 / （1 + ）即<0

∴ = 在（0，）上為單調(diào)遞減函數(shù)

那么就有<（0）=0，（>0）

即 = <0，<恒成立。

小結(jié)：本題通過構(gòu)造函數(shù)證明該不等式，是應用函數(shù)單調(diào)性求解問題的典型例題，通過導函數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性，進而證明不等式，思路清楚，方法簡單易懂。

1.2.2 三角函數(shù)思想的呈現(xiàn)

例3 已知為銳角，且，求的值。

分析：由的構(gòu)成特點，本題的化簡變形，不宜按常規(guī)對的三角函數(shù)都采用降次的作法，而需把已知表達式中的含的三角函數(shù)升次，含的三角函數(shù)降次，即湊出和的表達式出來。

解：由（1），得3 = 2 （3）

由（2），得3 = 2 （4）

（3）€鰨？），得 = （） = 0，

因為為銳角，所以0<<，故知 = 。

1.2.3 實際問題中的函數(shù)模型

在數(shù)學學習中，我們會遇到很多抽象的數(shù)學問題，如果直接求解會非常困難或者是直接解不出來，這是我們應該充分應用所學知識，試著應用函數(shù)的思想去考慮，試著建立函數(shù)關系式，讓抽象、復雜的實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題，再應用函數(shù)的基本性質(zhì)將它求解出來，這就是應用函數(shù)思想求解數(shù)學實際問題的基本套路。

例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據(jù)統(tǒng)計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元。設公司每日租出輛車時，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項支出）

（1）公司每日租出輛車時，每輛車的日租金為_______元（用含的代數(shù)式表示）；

分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數(shù)實際問題，怎樣建立函數(shù)關系式與找等量關系，函數(shù)關系建立好之后結(jié)合實際函數(shù)圖像做出解答。

解析：單輛車日租金為：50（20）+400 = 140050

2 中學數(shù)學教學中滲透函數(shù)思想的途徑

中學數(shù)學函數(shù)教學最重要的目的就是打開學生的函數(shù)思維，提升學生們的函數(shù)素養(yǎng)，新一輪課程改革中，將函數(shù)思想作為必須掌握的教學要求，所以函數(shù)教學過程中不再一味地讓學生吸收理論知識與概念性內(nèi)容，而是讓學生獨立思考，老師引導，建立一定的函數(shù)思想基礎，從根本上提升自己的函數(shù)應用能力。教學過程中滲透函數(shù)思想的途徑很多，接下來介紹三種滲透方式。

2.1 應用函數(shù)思想探究數(shù)學知識

新的教育背景下，數(shù)學教學過程中應該注重對學生培養(yǎng)知識形成的過程，在數(shù)學知識的探索過程中（比如說一些公式、定理、性質(zhì)的推導過程）就是數(shù)學思想方法的最佳體現(xiàn)時刻，因此教師在教學中，要重視公式、定理、性質(zhì)的推導過程，盡量凸顯其相關的數(shù)學思想，讓學生掌握基本知識的同時，領悟數(shù)學真諦。下面我們以函數(shù)思想為實例，演示探究數(shù)學知識的過程中滲透函數(shù)思想。

2.2 在數(shù)學解題中滲透函數(shù)思想

在數(shù)學教學過程中，經(jīng)常出現(xiàn)課堂上學生聽懂了，但是課后做同類型的題目是就無從下手，其原因就是在教學過程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來，遇到此類題時照葫蘆畫瓢，機械操作，學生感到厭煩，學生沒有真正認識到題目的出處，沒有領略到數(shù)學思想方法。在數(shù)學解題過程中滲透函數(shù)思想也就是在數(shù)學解題過程中應用函數(shù)的思想方法去求解繁瑣的數(shù)學問題，比如說用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等等基本性質(zhì)將其復雜問題簡單化。

例5 設不等式 + 2 + >0的解集為全體實數(shù)，求的取值范圍。

分析：題設不等式的系數(shù)比較復雜，可通過另設變元的方法，使此題解題過程簡化。

解：設 = ，則 = ， = ，

而原不等式化成（） + 2>0

由題意知，

解得<0，即<0，所以0<<1，從而解得的取值范圍是0<<1。

2.3 及時小結(jié)，逐步內(nèi)化函數(shù)思想

函數(shù)思想是無形的，隱藏在教材體系中函數(shù)知識的靈魂，在數(shù)學的各個領域中都可以見到函數(shù)的影子，特別是解題過程中，函數(shù)思想相當明顯，應用相當廣泛，作為教育工作者，重視函數(shù)思想，落到實處是相當必要的。教師在講完某一道或者某一類型用到函數(shù)思想的題目之后，要揭示其解題思路，涉及的知識點，用到的思想方法等等，也可以讓學生自我反思回顧用到哪些知識點，同時再出同類型的題目讓學生訓練，及時鞏固，強化刺激，讓學生學會歸納總結(jié)，有意識地內(nèi)化函數(shù)思想，促使學生實現(xiàn)從感性到理性的飛躍。