胡長(zhǎng)城

(長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校,吉林 長(zhǎng)春 130021)

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·競(jìng)賽園地·

對(duì)一道物理競(jìng)賽題的物理模型的分析

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(長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校,吉林 長(zhǎng)春 130021)

對(duì)一道高中物理競(jìng)賽題目進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)按照常規(guī)的受力分析方法,題目中的物理模型存在固有的矛盾,對(duì)正確理解題意造成困惑. 通過(guò)改變力的作用點(diǎn),可以合理地解釋題目中物理模型的矛盾,進(jìn)一步通過(guò)物理推導(dǎo)說(shuō)明了這種解釋的合理性.

一般物體的平衡;力的作用點(diǎn);力矩

1 原題及解答

圖1

如圖1所示,一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿,細(xì)桿的左端用光滑鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細(xì)桿恰好水平,木板下面是光滑的水平面. 由于金屬球和木板之間有摩擦(已知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)為μ),所以要將木板從球下面向右抽出時(shí),至少需要大小為F的水平拉力.問(wèn):現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些,至少需要多大的水平推力?(用F、R、L、μ表示)

此題的解答如下:設(shè)向外拉出木板時(shí)球體受到木板的摩擦力為f,支持力為N,球的重力為G,輕桿與球組成的系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，有

fR+N(R+L)=G(R+L).

(1)

球和板之間已經(jīng)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，球受摩擦為

f=μN(yùn).

(2)

由方程(1)、(2)式可解得

再由木板平衡,可得拉力為

同理,如果木板向左插入時(shí),輕桿與球組成的系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，有

f′R+G(R+L)=N′(R+L).

(3)

f′=μN(yùn)′.

(4)

由木板平衡,可得推力為

2 深入探究

從上述求得的結(jié)果看,向外拉木板和向里推木板時(shí)拉力和推力大小不同,木板與球在豎直方向的作用力也不同,從而輕桿與球在豎直方向的作用力也不相同.題目中的輕桿是典型的輕質(zhì)模型,則要求輕桿對(duì)轉(zhuǎn)軸O的合力矩為0.[1]輕桿會(huì)受到球施予的豎直方向的一個(gè)作用力,輕桿的合力矩是如何為0的?這個(gè)問(wèn)題在求解本題過(guò)程中經(jīng)常被忽略掉,本文針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論. 輕桿是固定在球上而非鉸接,故在二者連接處需特殊分析. 為了使本題的物理模型合理,對(duì)其進(jìn)行修正如下:輕桿右端插入球中有一段距離,并且輕桿與球在豎直方向的作用力有兩個(gè)等效作用點(diǎn). 在上述修正的基礎(chǔ)上,再去分析輕桿和球的平衡問(wèn)題,來(lái)檢驗(yàn)修正后的物理模型的合理性.

圖2

當(dāng)向右抽出木板時(shí),對(duì)球進(jìn)行受力分析如圖2所示.圖2中所畫出的力均是作用在球上的力,且未畫出輕桿與球在水平方向的作用力.球和桿在豎直方向的作用力不在同一點(diǎn)上,這樣才能保證輕桿對(duì)轉(zhuǎn)軸O的合力矩為0.力N1的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸O的距離小于力N2的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸O的距離,為了保證輕桿處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài)，則要求N1>N2.

由于輕質(zhì)桿可給球提供沿水平方向的任何大小的力的作用,則球在水平方向的平衡一定可以滿足.球在豎直方向的平衡條件為

N1+N=G+N2.

(5)

對(duì)球心C的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡條件為

fR+N2d2=N1d1.

(6)

其中d1、d2分別是球心C到力N1、N2的作用線的距離.由(5)、(6)兩個(gè)方程可解得

向右抽出木板時(shí),由球的平衡條件得到N1>N2,這與輕桿處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡的條件相符合.

表達(dá)式中f、N的數(shù)值已由(1)、(2)方程求出,d1、d2未定. 只要取d2

圖3

當(dāng)向左插入木板時(shí),對(duì)球進(jìn)行受力分析如圖3所示.圖3中所畫出的力均是作用在球上的力,且未畫出輕桿與球在水平方向的作用力.為了保證輕桿處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài)則要求N1′>N2′.

球在豎直方向的平衡條件為

N1′+G=N+N2′.

(7)

對(duì)球心C的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡條件為

fR+N2′d2′=N1′d1′.

(8)

其中d1′、d2′分別是球心C到力N1′、N2′的作用線的距離.由(7)、(8)兩個(gè)方程可解得

向左插入木板時(shí),由球的平衡條件得到N1′>N2′,這也與輕桿處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡的條件相符合,并且也可得到合理的N1′、N2′的值.

通過(guò)上面的分析可知,修正后的物理模型能很好地符合出題意圖,這個(gè)修正有其合理性. 實(shí)際上,無(wú)論向右抽出木板還是向左插入木板,球和輕桿相互作用后,輕桿都要發(fā)生微小的彎曲形變,彎曲的輕桿與球之間不僅有相互作用力,還有相互作用的力矩,表現(xiàn)在外面的結(jié)果就是輕桿有一段插入球中,與球之間力的作用點(diǎn)不唯一.

通過(guò)改變力的作用點(diǎn),也可以很好地解釋下面一道題目的物理模型中存在的困惑.

圖4

題目.如圖4所示,已知物塊m1、m2通過(guò)輕繩跨在一個(gè)固定在桌邊的定滑輪上,定滑輪是質(zhì)量為m,半徑為R的勻質(zhì)的圓盤.m1放在光滑水平面上,連接m1的輕繩處于水平狀態(tài)且繩連接在m1的中心C的下方,m2處于豎直狀態(tài),忽略定滑輪輪軸處的摩擦.求剛釋放瞬間m1、m2的加速度.

應(yīng)用由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律,很容易得出題目的結(jié)果,在本文不再贅述. 通常的受力分析認(rèn)為,水平桌面施予物體m1的支持力N垂直接觸面且通過(guò)中心C,如圖4所示. 題干中明確說(shuō)明了水平繩與m1的作用點(diǎn)在中心C的下方,則物體m1受到的力對(duì)通過(guò)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的合力矩不為0,那么m1物體是如何做到不轉(zhuǎn)動(dòng)的?這個(gè)疑問(wèn)在求解本題過(guò)程中經(jīng)常給解題者帶來(lái)困惑. 分析物體受到水平桌面支持力時(shí),想當(dāng)然認(rèn)為支持力一定過(guò)C點(diǎn)這是不合理的. 實(shí)際上,m1物體從靜止到被拉動(dòng)的過(guò)程中,水平桌面對(duì)m1物體的支持力N的作用點(diǎn)從C點(diǎn)的正下方轉(zhuǎn)移到了偏左側(cè)的位置上,在作用點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中,支持力的大小不改變,如圖4中的N′所示. 在支持力、重力和拉力共同作用下,m1物體在豎直方向上處于平衡狀態(tài). 對(duì)質(zhì)心C,拉力的力矩和支持力的力矩的矢量和為0,m1物體處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài),所以在m1物體向左加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,可以不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng).

3 小結(jié)

建立合理的物理模型是高中物理競(jìng)賽學(xué)習(xí)中至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié). 對(duì)有些物理競(jìng)賽題目,在構(gòu)建物理模型過(guò)程中,如果按照常規(guī)的分析方法往往發(fā)現(xiàn)物理模型自身存在矛盾,無(wú)法進(jìn)行合理的解釋. 遇到這樣的問(wèn)題,應(yīng)另辟蹊徑,尋找科學(xué)合理的解釋來(lái)說(shuō)明物理模型存在的合理性.

1 鄭永令,賈起民等.力學(xué)(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2002: 283-284.

2017-01-11)