江蘇省淮陰中學(223002)

盧連偉●

?

由一道題的多種解法引出對一類題型的通法研究

江蘇省淮陰中學(223002)

盧連偉●

∴F(x)在(0,3)單調遞增，(3，+∞)單調遞減.

∴03.要證a+b>6只要證b>6-a>3,

即證F(b)>F(6-a).∵F(a)=F(b)，即證F(a)

令P(x)=F(x)-F(6-x),0

即證3(t+1)lnt<6(t-1),t∈(0,1).

令p(t)=3(t+1)lnt-6(t-1),t∈(0,1),

∴p′(t)在(0，1)單調遞減，∴p′(t)

∴p(t)在(0，1)單調遞減，∴p(t)

題后反思 上述方法中的前兩種方法的本質實際上是一樣的，都是把零點通過單調性偏移到極值的同一側，便于構造函數(shù)證明，只不過第一種方法是直接偏移，第二種方法是通過取對數(shù)后再偏移，第三種方法是構造零點比值作為新的變量.這兩類方法對于這種零點不等式問題的證明非常有效，希望讀者深刻體會.

牛刀小試 設函數(shù)f(x)=ex-ax,a為常數(shù).(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有兩個相異零點x1、x2，求證x1+x2>2.

分析 (1)f′(x)=ex-a.①a≤0時，f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)單調遞增；②a>0時，f(x)在(-∞,lna)單調遞減，(lna,+∞)單調遞增.(2)∵f(x)在(-∞,lna)單調遞減，(lna,+∞)單調遞增,

∴fmin(x)=f(lna)=a-alna<0,∴l(xiāng)na>1,∴a>e.

方法一 由f(x1)=ex1-ax1=0及f(x2)=ex2-ax2=0,

G632

B

1008-0333(2017)13-0048-01