華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

許 文●

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高考物理解題中常用的數(shù)學(xué)方法例析

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)(430074)

許 文●

物理科《考試說明》明確指出考生應(yīng)具有理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力與實驗?zāi)芰Γ渲袑?yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力的要求是“能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并能根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，必要時能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析.”本文通過近兩年物理高考實例的分析，談?wù)勔恍?shù)學(xué)方法在高考物理解題中的應(yīng)用，幫助同學(xué)們提高應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力.

一、比例法

比例法可經(jīng)避開與解題無關(guān)的量，直接列出已知量與未知量的比例式進(jìn)行計算，可使解題過程簡化.應(yīng)用比例法解物理題，要注意物理公式中變量之間的比例關(guān)系及成立條件.

例1 (2016浙江)如圖1所示，a、b兩個閉合正方形線圈用同樣的導(dǎo)線制成，匝數(shù)均為n=10匝，邊長la=3lb，圖示區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的均強(qiáng)磁場，且磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間均勻增大，不考慮線圈之間的相互影響，則( )

A．兩線圈內(nèi)產(chǎn)生順時針方向的感應(yīng)電流

B．a(chǎn)、b線圈中感應(yīng)電動勢之比為9∶1

C．a(chǎn)、b線圈中感應(yīng)電流之比為3∶4

D．a(chǎn)、b線圈中電功率之比為3∶1

點(diǎn)評 本題中兩正方形線圈的邊長l不同，但要求兩線圈中E、I、P的比值，因此可以分別推導(dǎo)出E、I、P與其他物理量之間的關(guān)系的表達(dá)式，再根據(jù)其表達(dá)式求比值.

二、取整法

在一些物理規(guī)律的表達(dá)式中，由于某些量(如車廂的節(jié)數(shù)、碰撞的次數(shù)等)只能取整數(shù)，往往會對其它量的取值有種制約關(guān)系.解題時要結(jié)合實際進(jìn)行分類討論.

例2 (2015全國Ⅱ) 在一東西方向的水平直鐵軌上，停放著一列已用掛鉤鏈接好的車廂.當(dāng)機(jī)車在東邊拉著這列車廂以大小為a的加速度向東行駛時，鏈接某兩相鄰車廂的掛鉤P和Q間的拉力大小為F；當(dāng)機(jī)車在西邊拉著這列車廂以大小為2a/3的加速度向西行駛時，鏈接某兩相鄰車廂的掛鉤P和Q間的拉力大小仍為F.不計車廂與鐵軌間的摩擦，每節(jié)車廂質(zhì)量相同，則這列車廂的節(jié)數(shù)可能為( )

A．8 B．10 C．15 D．18

三、幾何法

物理問題求解中常用到的幾何法有：對稱點(diǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的直線距離最短、三角形、圓的性質(zhì)、立體幾何與解析幾何相關(guān)知識等.

(1)作幾何圖

例3 (2016全國I)利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線通訊.目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍.假設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值為( ).

A．1h B．4h C．8h D．16h

點(diǎn)評 本題通過推理分析，作出如圖2所示的能實現(xiàn)題目中通訊要求、且地球自轉(zhuǎn)有最小周期時衛(wèi)星間的空間位置關(guān)系圖，由幾何知識可求出此時衛(wèi)星的最小軌道半徑rmin=2R，為問題的最終求解邁出了最關(guān)鍵的一步.

(2)作矢量圖

例4 (2016全國卷Ⅰ)如圖3所示，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點(diǎn)，另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉物塊b，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則( ).

A．繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化

B．物塊b受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化

C．接a和b的繩上的張力也在一定范圍內(nèi)變化

D．物塊b與桌面的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化

解法1 由于系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則連接a和b的繩上的張力大小FT=mag，繩OO′的張力FO不變；設(shè)b物上的細(xì)繩與水平方向夾角為α，力F與水平方向夾角為θ，b物受到桌面的支持力為FN，靜摩擦力為Ff.對b物的平衡有：Fsinθ+magsinαFN=mbg，F(xiàn)cosθ±Ff=magcosα；可知當(dāng)F在一定范圍內(nèi)變化時FN與Ff應(yīng)在一定范圍內(nèi)變化.本題正確選項為BD.

解法2 由于b物塊處于平衡狀態(tài)，平移其受到的各個力的矢量，可組成封閉的多邊形(如圖4所示).從這個矢量圖可以看出：由于其重力與mbg與連接a和b繩上的張力FT=mag一定，當(dāng)拉力較小時(如圖中的F)，桌面對b的支持力FN與靜摩擦力Ff如圖中實線所示；當(dāng)拉力較大時(如圖中的F′)，桌面對b的支持力FN與靜摩擦力Ff如圖中虛線所示，問題的正確答案就很明了.

點(diǎn)評 在以上的兩種解法中，解法1是一般容易相到的通過建立函數(shù)關(guān)系式來進(jìn)行分析，但要考慮到物塊b受桌面的靜摩擦力Ff的方向可能發(fā)生變化，并在函數(shù)關(guān)系式中正確表達(dá)出來，需在有一定的概括能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力；解法2根據(jù)物塊b的合力為零，畫出各力的矢量關(guān)系，在力F發(fā)生動態(tài)變化的過程中，F(xiàn)N與Ff的動態(tài)變化過程就很清晰明了.

四、圖象法

物理問題分析的關(guān)鍵是建立物理情景，而物理情景往往通過適當(dāng)?shù)膱D象來描述.物理圖象是表現(xiàn)物理現(xiàn)象與規(guī)律的一種直觀手段，是數(shù)與形結(jié)合的產(chǎn)物，是具體與抽象相結(jié)合的體現(xiàn).

例5 (2016江蘇9)如圖5所示，一只貓在桌邊猛地將桌布從魚缸下拉出，魚缸最終沒有滑出桌面．若魚缸、桌布、桌面兩兩之間的動摩擦因數(shù)均相等，則在上述過程中( ).

A．桌布對魚缸摩擦力的方向向左

B．魚缸在桌布上的滑動時間和在桌面上的相等

C．若貓增大拉力，魚缸受到的摩擦力將增大

D．若貓減小拉力，魚缸有可能滑出桌面

解析 設(shè)魚缸質(zhì)量為m，魚缸與桌布、桌面間的動摩擦因數(shù)均為μ，魚缸在桌布上滑動過程中所受到的滑動摩擦力大小為Ff=μmg一定，方向水平向右；加速度大小a=Ff/m=μg，歷時t0魚缸滑離桌布時有最大速度v0=at0；魚缸在桌面上滑動做勻減速運(yùn)動的加速度大小也為a=μg，故在桌面上運(yùn)動的時間t=v0/a=t0；在同一坐標(biāo)系中分別作出桌布與魚缸的v-t圖象(如圖6所示)，由于魚缸相對桌布滑動的距離x(圖6中陰影部分)一定，魚缸與桌邊的距離s0一定，若貓減小拉力，桌布的加速度減小，其v-t圖線如圖中的虛線所示，魚缸脫離桌的時間會變長，會導(dǎo)致魚缸在桌面上停止運(yùn)動時的距離變大，則魚缸有可能滑出桌面.綜上所述，本題正確選項為BD.

點(diǎn)評 本題分析的難點(diǎn)是對選項D的判斷.要認(rèn)識到魚缸質(zhì)量m、魚缸與桌布、桌面間的動摩擦因數(shù)μ、魚缸相對桌布滑動的距離x、魚缸與桌邊的距離s0等都是一定的.一般我們可以通過牛頓運(yùn)動定律和勻變速運(yùn)動的相關(guān)規(guī)律，導(dǎo)出魚缸在整個運(yùn)動過程中的距離s與貓對桌布的拉力F的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)貓的拉力F減小時得出s的變化，從而對問題作出判斷，但這種方法較為復(fù)雜.以上求解過程中通過作v-t圖象進(jìn)行分析，問題的答案就直觀明了.

五、解析法

用解析法研究問題時，需要把問題化整為零，然后逐步引向待求量.解析法是一種重要的邏輯推理思維，它往往通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系式對物理狀態(tài)、物理過程進(jìn)行合理的推斷分析，推測在物理問題發(fā)展過程中可能出現(xiàn)某特殊情況，從而對物理模型有正確的理解，對物理情景有全面的認(rèn)識，對研究的結(jié)果、得出的結(jié)論有正確的判斷.

例6 (2016四川)如圖7所示，電阻不計，間距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)軌左端接一定值電阻R.質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上，受到垂直于金屬棒的水平外力F的作用由靜止開始運(yùn)動，外力F與金屬棒速度v的關(guān)系是F=F0+kv(F0、k是常量)，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好.金屬棒中感應(yīng)電流為i，受到的安培力大小為FA，電阻R兩端的電壓為UR，感應(yīng)電流的功率為P，它們隨時間t變化圖像可能正確的有( ).

綜上所述，本題正確選項為BC.

點(diǎn)評 本題中作用在金屬棒上的外力F是隨速度v變化的變力，而棒受到的安培力FA也是與v有關(guān)的變力，關(guān)于棒在這兩個變力作用下運(yùn)動性質(zhì)的分析，是本題分析的一個難點(diǎn)，但本題要求對四個物理量隨時間的變化關(guān)系圖象的可能性作出判斷，在以上解求過程中采取了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法，通過解析法導(dǎo)出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式來作出判斷，其中的關(guān)鍵點(diǎn)是要對表達(dá)式F=F0+kv中k的取值與題給其它條件進(jìn)行分類討論.

六、函數(shù)法

函數(shù)關(guān)系式是定量描述物理量變化關(guān)系的一種重要手段.物體解題中常通過函數(shù)形式討論兩個變量之間的關(guān)系，由函數(shù)關(guān)系式求物理極值等.

例7 (2016上海)如圖8所示，一關(guān)于y軸對稱的導(dǎo)體軌道位于水平面內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場與平面垂直.一足夠長，質(zhì)量為m的直導(dǎo)體棒沿x軸方向置于軌道上，在外力F作用下從原點(diǎn)由靜止開始沿y軸正方向做加速度為a的勻速加速直線運(yùn)動，運(yùn)動時棒與x軸始終平行.棒單位長度的電阻ρ，與電阻不計的軌道接觸良好，運(yùn)動中產(chǎn)生的熱功率隨棒位置的變化規(guī)律為P=ky3/2(SI).求：

(1)導(dǎo)體軌道的軌道方程y=f(x)；

(2)棒在運(yùn)動過程中受到的安培力FA隨y的變化關(guān)系；

(3)棒從y=0運(yùn)動到y(tǒng)=L過程中外力F的功.

點(diǎn)評 本題主要通過函數(shù)形式表達(dá)物理間的變化關(guān)系.導(dǎo)出物理量間的函數(shù)關(guān)系式時，要結(jié)合相應(yīng)的物理規(guī)律，理解函數(shù)關(guān)系式的物理意義.

七、三角函數(shù)

物理量間的關(guān)系有時可通過三角函數(shù)進(jìn)行表達(dá)，這時在對物理量進(jìn)行運(yùn)算時就會涉及到三角函數(shù)的運(yùn)算.

例8 (2016江蘇卷第14題)如圖9所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細(xì)線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上.滑輪左側(cè)的細(xì)線水平，右側(cè)的細(xì)線與斜面平行.A、B的質(zhì)量均為m．撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運(yùn)動.不計一切摩擦，重力加速度為g.求：

(1)A固定不動時，A對B支持力的大小N0；

(2)A滑動的位移為x時，B的位移大小s；

(3)A滑動的位移為x時的速度大小vA.

解析 (1)A不動時，A對B支持力大小N=mgcosα.

(2)A的位移為x，方向水平向左；B的位移為s，方向斜面向左下方；B相對A的位移為xBA，其大小xBA=x，方向沿斜面向下，有矢量關(guān)系式s=x+xBA.作出矢量x、s、xBA的關(guān)系圖(如圖10所示).設(shè)B的水平位移大小為sx，豎直位移大小為sy.

則由圖中的幾何關(guān)系得：sx=x(1-cosα)，sy=xsinα，且s2=sx2+sy2；

或由于矢量x、s、xBA的關(guān)系圖是一個等腰三個形，由三角函數(shù)得：

評析 本題三個問題都涉及到了三角函數(shù)的運(yùn)算.求解的關(guān)鍵是對力、位移、速度、加速度等矢量進(jìn)行合成與分解，通過矢量的運(yùn)算法則作出相關(guān)的矢量圖形，這些矢量圖形的畫出，是利用三角函數(shù)表達(dá)物理量間關(guān)系及運(yùn)算的基礎(chǔ).

八、不等式

利用不等式可以表達(dá)物理量的取值范圍和物理過程進(jìn)行的條件.求解不等式還可以求物理極值問題.

(1)求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。?/p>

(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求釋放小球A的時刻tA；

小球A的釋放時刻tA滿足：tA+t3=t1+t2；

由圖14中幾何關(guān)系有：H-y=[hcotα- (s-x2)]tanα，

要使小球P落在斜面上，應(yīng)有：2l≤x2≤4l， 可得：

評析 本題是一道關(guān)于帶電小球在復(fù)合場中運(yùn)動的綜合問題，情景與過程的分析根據(jù)物理事件發(fā)生、發(fā)展的先后順序，采取了程序分析法.第(3)問求解的難點(diǎn)是對相關(guān)隱含條件的尋找.以上求解中通過觀察題目給出的圖形，把“要使小球P落在斜面上”的隱含條件用不等式2l≤x2≤4l進(jìn)行表達(dá)，通過對此不等式的求解，得出場強(qiáng)E的極值，使解題難點(diǎn)得到突破.

九、數(shù)列法

當(dāng)一組不同的物理量有著類似的變化規(guī)律時，可通過數(shù)列的形式對這組物理量進(jìn)行表達(dá).通過結(jié)合數(shù)列的相關(guān)運(yùn)算，實現(xiàn)對物理問題的分析與求解.

例10 (2015天津)現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運(yùn)動.在真空中存在著如圖15所示的多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場和磁場的寬度均為d.電場強(qiáng)度為E，方向水平向右；磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里.電場、磁場的邊界互相平行且與電場方向垂直，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場左側(cè)邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場、磁場中運(yùn)動，不計粒子重力及運(yùn)動時的電磁輻射.

(1)求粒子在第2層磁場中運(yùn)動時速度v2的大小與軌跡半徑r2；

(2)粒子從第n層磁場右側(cè)邊界穿出時，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn；

(3)若粒子恰好不能從第n層磁場右側(cè)邊界穿出，試問在其他條件不變的情況下，也進(jìn)入第n層磁場，但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場右側(cè)邊界，請簡要推理說明之.

由圖16可以得出：rnsinθn-rnsinαn=d；

由以上公式可得：rnsinθn-rn-1sinθn-1=d；

由上式看出：r1sinθ1、r2sinθ2、…、rnsinθn組成一公差為d等數(shù)列，則有：

rnsinθn=r1sinθ1+(n-1)d，

當(dāng)n=1時，由圖17看出：r1sinθ1=d，

(3)若粒子恰好不能從第n層磁場右側(cè)邊界穿出，則θn=π/2，sinθn=1，

點(diǎn)評 本題中帶電粒子通過一層層的加速電場與偏轉(zhuǎn)磁場，在磁場中運(yùn)動軌跡半徑r、速度的偏角θ有著類似的變化規(guī)律.通過運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律得出粒子在每層磁場中運(yùn)動時rnsinθn組成一公差為d等數(shù)列，由數(shù)列的知識得出sinθn的值，這是突破問題求解的關(guān)鍵.

十、數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)一組物理量有著相同的變化規(guī)律時，我們可通過運(yùn)用不完全數(shù)學(xué)歸納法得到這組物理量變化的通式，從而推具有普遍意義的一般性結(jié)論.

例11 (2015江蘇)一臺質(zhì)譜儀的工作原理如圖18所示，電荷量均為 +q、質(zhì)量不同的離子飄入電壓為U0的加速電場，其初速度幾乎為零，這些離子經(jīng)過加速后通過狹縫O沿著與磁場垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，最后打在底片上，已知放置底片區(qū)域已知放置底片的區(qū)域MN=L，且OM=L.某次測量發(fā)現(xiàn)MN中左側(cè)2/3區(qū)域MQ損壞，檢測不到離子，但右側(cè)1/3區(qū)域QN仍能正常檢測到離子. 在適當(dāng)調(diào)節(jié)加速電壓后，原本打在MQ的離子即可在QN檢測到.

(1)求原本打在MN中點(diǎn)P的離子質(zhì)量m；

(2)為使原本打在P的離子能打在QN區(qū)域，求加速電壓U的調(diào)節(jié)范圍；

(3)為了在QN區(qū)域?qū)⒃敬蛟贛Q區(qū)域的所有離子檢測完整，求需要調(diào)節(jié)U的最少次數(shù).(取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699)

點(diǎn)評 歸納法從個別的物理現(xiàn)象或特殊的物理過程出發(fā)，通過推理得出具有普遍意義的結(jié)合或規(guī)律.本題通過運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法得出第n次調(diào)節(jié)電壓時，粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑rnr的通式，為問題最終求解打下了基礎(chǔ).

伽利略說過：“大自然這本書是用數(shù)學(xué)語言寫的.”物理問題的分析與求解離不開數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力是高考物理能力要求之一，高考物理解題中除了本文以上所述的的數(shù)學(xué)方法外，還用放縮法、估算法、近似法、微元法等.

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1008-0333(2017)13-0058-05