福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100)

蘇藝偉●

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2016年全國(guó)丙卷解幾壓軸試題的解法探析

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100)

蘇藝偉●

試題 (2016年全國(guó)丙卷第20題)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ;(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

試題分析 該題避開(kāi)了高考解幾傳統(tǒng)的命題視角,以直線和拋物線為載體考查兩條直線平行的證明以及求中點(diǎn)軌跡方程.主要考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),探究能力,對(duì)考生的推理論證能力,邏輯思維能力要求較高.考生有沒(méi)有深度的思考,能不能找到轉(zhuǎn)化策略,成為解答本題的分水嶺.多考想,少考算,正是該題的突出特點(diǎn).本題具有一定的探索性和開(kāi)放性,較好地體現(xiàn)了新課改理念.

解法分析

1.對(duì)第一步的分析

化簡(jiǎn)得ab=-1.

除了運(yùn)用高中方法來(lái)證明出AR∥FQ,還可以采用初中平面幾何知識(shí).如圖(2)所示,連接PF,RF.

故∠PFQ=90°,即三角形PFQ是直角三角形,PF⊥FQ.

此時(shí)在四邊形APRF中,AP2+FR2=AF2+PR2,則對(duì)角線PF⊥AR.

因此有AR∥FQ.

簡(jiǎn)評(píng) 上述解法借助了重要的平面幾何知識(shí),如“直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半”,“四邊形對(duì)邊平方和相等等價(jià)于該四邊形的對(duì)角線互相垂直”,“和同一條直線垂直的兩條直線平行”等等.從平面幾何知識(shí)的角度來(lái)闡述本步更能凸顯思維品質(zhì),給人以耳目一新的感覺(jué).

綜合上述分析不難發(fā)現(xiàn),第一小步試題表述平實(shí)質(zhì)樸,入口寬,解法多樣,能夠讓不同的考生都有所收獲,體現(xiàn)了課程理念中的“人人學(xué)有用的數(shù)學(xué),有用的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)為人人所學(xué),不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”.同時(shí)也啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)中要重視初中平面幾何知識(shí)的復(fù)習(xí)以及拓展.

2.對(duì)第二步的分析

第二步的已知條件是△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,要求線段AB中點(diǎn)(設(shè)為E)的軌跡方程.聯(lián)想到高中階段學(xué)過(guò)的求軌跡方程的方法,由于點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)是由線段AB運(yùn)動(dòng)引起的,故可采用相關(guān)點(diǎn)法來(lái)求出點(diǎn)E的軌跡方程.而對(duì)于條件兩個(gè)面積之間的關(guān)系該如何運(yùn)用?關(guān)鍵在于準(zhǔn)確寫(xiě)出面積的表達(dá)式.觀察圖形易知△ABF的面積可以看成兩個(gè)同底的小三角形面積之和.

故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-1.

解得ab=-2.

故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-1.

簡(jiǎn)評(píng) 上述解法的巧妙之處在于運(yùn)用三角形的面積坐標(biāo)公式,將△ABF的面積表示成坐標(biāo)的形式,再結(jié)合兩個(gè)面積關(guān)系得到ab=-2.和上述解法相比,解題過(guò)程一氣呵成,避開(kāi)了較為復(fù)雜的計(jì)算,頗有“柳暗花明又一村”的快感.

綜合上述分析,可以看出第二步較之第一步難度明顯加大,體現(xiàn)了本道試題具有梯度性,層次性.第二步綜合性較強(qiáng),對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有較高的要求,發(fā)揮了很好的選拔區(qū)分功能.這就啟發(fā)我們?cè)趫A錐曲線的復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的講解又要著重培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力,解題能力.

對(duì)本道試題推廣:

化簡(jiǎn)得ab=-p2.

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