陶兆勝 彭 澎 趙艷芹

(安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 馬鞍山 243032)

Exe-Variant并聯(lián)模塊靜剛度分析

陶兆勝 彭 澎 趙艷芹

(安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 馬鞍山 243032)

由于良好的剛度和動(dòng)力學(xué)性能，Exechon并聯(lián)機(jī)構(gòu)已被應(yīng)用于加工、制造、航空航天等領(lǐng)域，但Exechon并聯(lián)模塊的轉(zhuǎn)動(dòng)能力較弱，導(dǎo)致其工作空間較小。為此，以機(jī)構(gòu)變異方法設(shè)計(jì)構(gòu)型為2RPU&1RPS的Exe-Variant并聯(lián)模塊。為研究Exe-Variant并聯(lián)模塊的剛度性能，采用子結(jié)構(gòu)綜合技術(shù)建立了該并聯(lián)模塊的剛度模型。建模時(shí)，將機(jī)構(gòu)劃分成若干子系統(tǒng)，并計(jì)入關(guān)節(jié)和支鏈彈性對(duì)整機(jī)剛度的影響?；谒▌偠饶Ｐ停芯苛薊xe-Variant并聯(lián)模塊整機(jī)剛度在其工作空間內(nèi)的分布特性，并進(jìn)行了機(jī)構(gòu)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)和機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)處彈性變形對(duì)整機(jī)剛度的影響分析。結(jié)果表明，該模塊的剛度分布在工作全域內(nèi)呈現(xiàn)出對(duì)稱性，模塊關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)和機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)處彈性變形對(duì)整機(jī)的剛度性能影響較大。

Exe-Variant; 并聯(lián)機(jī)構(gòu); 靜剛度; 子結(jié)構(gòu)綜合

引言

Exechon并聯(lián)模塊作為少自由度的2UPR&1SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)、剛度以及動(dòng)力學(xué)開(kāi)展了大量研究[1-11]。HUANG等[12]借助有限元軟件對(duì)Exechon的工作全域進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真研究。LIAN等[13]基于子結(jié)構(gòu)綜合結(jié)合雅克比矩陣和相互關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的變形影響考慮機(jī)構(gòu)的剛度映射。在設(shè)計(jì)階段，曲海波等[14-15]運(yùn)用半解析模型快速預(yù)估工作全域內(nèi)的剛度特性。LI等[16]運(yùn)用旋量理論和虛功原理建立ExechonX150的剛度模型，分析機(jī)構(gòu)特定位姿下的剛度并將其與有限元仿真做了對(duì)比。陳修龍等[17]采用ADAMS軟件對(duì)5自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了模擬仿真。季曄等[18]建立了4-SPxyzS/PxPzUxz并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置和姿態(tài)工作空間，并提出“點(diǎn)集”近似計(jì)算和敏感度概論，利用數(shù)值法求解了位置工作空間大小和姿態(tài)工作空間范圍與機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)之間的關(guān)系。

筆者團(tuán)隊(duì)在前期研究中，采用機(jī)構(gòu)變異方法設(shè)計(jì)Exe-Variant并聯(lián)模塊并進(jìn)行了剛度建模研究[19-20]。在此基礎(chǔ)上，本文研究Exe-Variant并聯(lián)模塊在工作全域的靜剛度映射，并進(jìn)行其靜剛度參數(shù)影響分析，以期為改善該并聯(lián)模塊的剛度性能提供一定的理論依據(jù)。

1 機(jī)構(gòu)描述

Exe-Variant動(dòng)力頭主要由2自由度串聯(lián)轉(zhuǎn)頭和Exe-Variant并聯(lián)模塊組成，如圖1所示。其中，Exe-Variant并聯(lián)模塊主要由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和3條過(guò)約束支鏈組成。支鏈1和支鏈2的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同，分別通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副R、虎克鉸U與靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)連接。支鏈3的結(jié)構(gòu)與支鏈1、2略有不同，其通過(guò)球鉸S副與動(dòng)平臺(tái)相連。

圖1 Exe-Variant實(shí)體模型Fig.1 Model of Exe-Variant

從機(jī)構(gòu)學(xué)的角度來(lái)看，Exe-Variant并聯(lián)模塊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為2RPU&1RPS，其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。圖中，△A1A2A3和△B1B2B3分別表示動(dòng)平臺(tái)及基座，且設(shè)定為等腰直角三角形，其中∠A1A3A2=∠B1B3B2=90°。A1、A2分別表示支鏈1、2上虎克鉸的幾何中心；A3表示支鏈3上球鉸的幾何中心；Bi(i=1,2,3)表示支鏈i上轉(zhuǎn)動(dòng)副的幾何中心；Ci(i=1,2,3)表示支鏈i末端[20]。

2 靜剛度預(yù)估與分析參數(shù)

根據(jù)Exe-Variant并聯(lián)模塊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將系統(tǒng)劃分成動(dòng)平臺(tái)子系統(tǒng)、支鏈子系統(tǒng)和基座子系統(tǒng)。由于動(dòng)平臺(tái)和基座的剛度相對(duì)較大，故建模時(shí)將其視為剛體。為計(jì)入支鏈柔度和復(fù)雜結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)剛性的影響，采用有限元的思想將支鏈劃分成具體等效截面的空間梁，如圖3所示。

圖2 Exe-Variant機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of Exe-Variant PKM

圖3 支鏈的裝配示意圖Fig.3 Assembling scheme of an individual limb1.球鉸/虎克鉸 2.前端軸承 3.滾珠絲杠 4.導(dǎo)軌 5.轉(zhuǎn)動(dòng)副6.末端軸承 7.電動(dòng)機(jī)

根據(jù)支鏈截面的變化情況，將支鏈的截面處理為如圖3所示的矩形截面Ⅰ和Ⅱ。其中，截面Ⅰ表示AiDi段的等效截面；截面Ⅱ表示DiCi段的等效截面。圖中，w0、h0分別表示矩形截面Ⅰ的等效寬度和高度；w1、w2、h1、h2分別表示矩形截面Ⅱ的外部和內(nèi)部的等效寬度和高度。

計(jì)入支鏈子系統(tǒng)和動(dòng)平臺(tái)子系統(tǒng)間的變形協(xié)調(diào)條件，可得到系統(tǒng)的剛度模型為

KU=W

(1)

式中U——系統(tǒng)在全局坐標(biāo)系Bxyz下的位移矩陣

K——系統(tǒng)在全局坐標(biāo)系Bxyz下的剛度矩陣

W——系統(tǒng)在全局坐標(biāo)系Bxyz下的載荷矩陣

具體的推導(dǎo)過(guò)程可參照文獻(xiàn)[20]。

以文獻(xiàn)[20]的Exe-Variant并聯(lián)模塊為例，對(duì)其進(jìn)行靜剛度映射和靜剛度參數(shù)影響分析。表1、2分別給出了該并聯(lián)模塊的幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)剛度參數(shù)[20]。

表1中，s為動(dòng)平臺(tái)的行程；l為支鏈的物理長(zhǎng)度；ψmax和θmax分別為偏轉(zhuǎn)角ψ和θ的最大值。

表1 Exe-Variant并聯(lián)模塊幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖4 工作平面z=1 200 mm上Exe-Variant并聯(lián)模塊的靜剛度映射Fig.4 Stiffness distributions over work plane of z=1 200 mm

參數(shù)kulx0/(N·μm-1)kuly0/(N·μm-1)kulz0/(N·μm-1)數(shù)值112214100參數(shù)kulw0/(MN·rad-1)kusx0/(N·μm-1)kusy0/(N·μm-1)數(shù)值242323參數(shù)kusz0/(N·μm-1)kusw0/(MN·rad-1)kucx0/(N·μm-1)數(shù)值62318676參數(shù)kucy0/(N·μm-1)kucz0/(N·μm-1)kucw0/(MN·rad-1)數(shù)值44634818參數(shù)krx0/(N·μm-1)kry0/(N·μm-1)krz0/(N·μm-1)數(shù)值3805301006參數(shù)krv0/(MN·rad-1)krw0/(MN·rad-1)kslx0/(N·μm-1)數(shù)值1818112參數(shù)ksly0/(N·μm-1)kslz0/(N·μm-1)kssx0/(N·μm-1)數(shù)值21410023參數(shù)kssy0/(N·μm-1)kssz0/(N·μm-1)kscx0/(N·μm-1)數(shù)值23623676參數(shù)kscy0/(N·μm-1)kscz0/(N·μm-1)數(shù)值446348

各關(guān)節(jié)在其連體坐標(biāo)系下的剛度如表2所示。

表2中，kuij(i=l,s,c;j=x,y,z,w)分別為虎克鉸長(zhǎng)軸l、短軸s和交叉軸c在3個(gè)正交方向的線剛度和角剛度；krx0、kry0和krz0分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副在3個(gè)正交方向的線剛度；krv0和krw0分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副繞其自身坐標(biāo)系y和z軸的角剛度；ksij(i=l,s,c;j=x,y,z)分別為球鉸長(zhǎng)軸l、短軸s和交叉軸c在3個(gè)正交方向的線剛度。

3 工作空間內(nèi)的靜剛度映射

為分析Exe-Variant并聯(lián)模塊的靜剛度映射，采用“分層切片”思想，將工作空間離散成若干個(gè)工作平面，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解獲得各工作平面上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)位姿下的靜剛度。本文選取其工作平面為z=1 200 mm，分析在u、v和w方向的主剛度分布，如圖4所示。

由圖4可知，Exe-Variant并聯(lián)模塊各方向剛度隨位姿變化。其中，u方向的線剛度k11的變化范圍為[9.75, 73.4] MN/m；v方向的線剛度k22的變化范圍為[14.2, 57.4] MN/m；w方向的線剛度k33的變化范圍為[88.5, 169] MN/m；u方向角剛度k44的變化范圍為[35.1, 44.5] MN·m/rad；v方向角剛度k55的變化范圍為[23.9, 29.3] MN·m/rad；w方向角剛度k66的變化范圍為[3.4, 20.9] MN·m/rad。Exe-Variant并聯(lián)模塊各方向剛度關(guān)于平面ψ=0°對(duì)稱分布，這與初始位置時(shí)支鏈1、2關(guān)于支鏈3對(duì)稱這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有關(guān)。該并聯(lián)模塊w方向的線剛度k33較其他2個(gè)方向的線剛度大得多，而該方向的角剛度k66較其他2個(gè)方向的角剛度小得多，表明該模塊在軸向具有較強(qiáng)的抵抗外力變形的能力。

由圖4也可知，Exe-Variant并聯(lián)模塊同一方向的線剛度和角剛度呈現(xiàn)出開(kāi)口方向相反的規(guī)律。例如，Exe-Variant并聯(lián)模塊u方向的線剛度k11在θ=0°兩側(cè)隨著θ絕對(duì)值的增大而增大(開(kāi)口向上)，而u方向的角剛度k44在θ=0°兩側(cè)隨著θ絕對(duì)值的增大而減小(開(kāi)口向下)；v方向的線剛度k22在ψ=0°兩側(cè)隨著ψ絕對(duì)值的增大而增大(開(kāi)口向上)，v方向的角剛度k55的ψ=0°兩側(cè)隨著ψ絕對(duì)值的增大而減小(開(kāi)口向下)；w方向的線剛度k33開(kāi)口向下，w方向的角剛度k66開(kāi)口向上。

4 靜剛度參數(shù)影響分析

圖5所示為Exe-Variant并聯(lián)模塊的靜剛度隨動(dòng)平臺(tái)、基座半徑的變化曲面。

圖6所示為Exe-Variant并聯(lián)模塊的靜剛度隨支鏈機(jī)座截面尺寸的變化曲面。圖中，δh和δw分別表示支鏈的等效高度和等效寬度的增量。

由圖5a、5b可知，Exe-Variant并聯(lián)模塊u方向的線剛度k11以及v方向的線剛度k22均隨著動(dòng)平臺(tái)

半徑rp的增大而減小，隨著基座半徑rb的增大而增大。由圖5c、5f可知，w方向的線剛度k33以及該方向的角剛度k66均隨著動(dòng)平臺(tái)半徑rp的增大而增大，隨著基座半徑rb的增大而減小。由圖5d、5e可知，u方向的角剛度k44以及v方向的角剛度k55均隨著動(dòng)平臺(tái)半徑rp和基座半徑rb的增大而增大。另外，動(dòng)平臺(tái)半徑rp和基座半徑rb對(duì)各方向靜剛度的影響程度不同。例如，動(dòng)平臺(tái)半徑rp對(duì)w方向的線剛度k33以及該方向的角剛度k66的影響較大，而對(duì)其他方向的剛度影響較??；而基座半徑rb對(duì)u方向的線剛度k11及該方向的角剛度k44、v方向的線剛度k22及該方向的角剛度k55

圖5 Exe-Variant并聯(lián)模塊的靜剛度隨動(dòng)平臺(tái)、基座半徑的變化曲面Fig.5 Variations of stiffness with respect to radii of platform and base

圖6 Exe-Variant并聯(lián)模塊的靜剛度隨支鏈截面尺寸的變化曲面Fig.6 Variations of stiffness with respect to cross-section of limb body

影響較大，對(duì)其他方向的剛度影響較小。

由圖6各方向靜剛度隨δh和δw的變化曲面可知，隨支鏈機(jī)座截面尺寸的增大，整機(jī)剛度逐漸增大。

關(guān)節(jié)處的彈性變形對(duì)整機(jī)剛度的影響不可忽略，但因篇幅有限，現(xiàn)以虎克鉸剛度為實(shí)例分析。定義虎克鉸長(zhǎng)軸x方向線剛度的放大因子λulx和整機(jī)剛度的放大因子ki為

圖7 整機(jī)剛度比例系數(shù)隨虎克鉸剛度的變化曲線Fig.7 Variation curves of stiffness with respect to Hooke-joint stiffness coefficient

(2)

(3)式中kulx0——虎克鉸長(zhǎng)軸x方向初始線剛度(表2)kulx——虎克鉸長(zhǎng)軸x方向的當(dāng)前線剛度kii0——模塊處于初始位姿z=1 200 mm、θ=0°、ψ=0°時(shí)整機(jī)的剛度

kii——整機(jī)當(dāng)前剛度

整機(jī)剛度比例系數(shù)隨虎克鉸剛度的變化曲線如圖7所示。其中，λulx、λuly、λulz和λulw分別為長(zhǎng)軸x、y、z3個(gè)方向的線剛度放大因子以及z方向的角剛度放大因子；λusx、λusy、λusz和λusw分別為短軸x、y、z3個(gè)方向的線剛度放大因子以及z方向的角剛度放大因子；λucx、λucy、λucz和λucw分別為交叉軸x、y、z3個(gè)方向的線剛度放大因子以及z方向的角剛度放大因子。上述放大因子數(shù)學(xué)公式定義類似式(2)。

由圖7a、7e、7i可知，隨著長(zhǎng)軸、短軸、交叉軸x方向線剛度的增大，u方向線剛度k11和v方向角剛度k55以及w方向角剛度k66單調(diào)遞增；由圖7c、7g、7k可知，隨著長(zhǎng)軸、短軸、交叉軸z方向線剛度的增大，v方向線剛度k22、w方向線剛度k33和v方向角剛度k44逐漸增大。從以上分析可知，整機(jī)剛度隨虎克鉸x方向線剛度和z方向線剛度的增大而增大。而圖7b、7d、7f、7h、7j、7l反映整機(jī)剛度不隨長(zhǎng)軸、短軸、交叉軸y方向線剛度和z方向角剛度的變化而變化，即球鉸y方向線剛度和z方向角剛度對(duì)系統(tǒng)剛度無(wú)影響。從數(shù)值上進(jìn)行考慮，虎克鉸z方向線剛度對(duì)整機(jī)剛度的影響與x方向線剛度相比較大，故在進(jìn)行虎克鉸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，需適當(dāng)考慮長(zhǎng)軸、短軸和交叉軸的z方向線剛度。

5 結(jié)論

(1) Exe-Variant并聯(lián)模塊在工作空間內(nèi)的剛度映射表明：該機(jī)構(gòu)各方向剛度關(guān)于平面電動(dòng)機(jī)對(duì)稱分布。

(2) 為剖析Exe-Variant并聯(lián)模塊的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)整機(jī)剛度性能的作用規(guī)律，進(jìn)行了靜剛度的參數(shù)影響分析。分析表明：動(dòng)平臺(tái)半徑、支鏈的截面尺寸和關(guān)節(jié)處的彈性變形會(huì)對(duì)整機(jī)的剛度性能產(chǎn)生重大影響。在進(jìn)行該類少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，可適當(dāng)調(diào)整該類關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)以滿足整機(jī)對(duì)剛度的要求。

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Stiffness Analysis for Exe-Variant Parallel Kinematic Machine

TAO Zhaosheng PENG Peng ZHAO Yanqin

(SchoolofMechanicalEngineering,AnhuiUniversityofTechnology,Maanshan243032,China)

Exechon parallel kinematic machine (PKM) has been applied to machining, assembling and aerospace industries due to its high rigidity and high dynamics. However, its rotational ability is comparatively weak. In order to improve the rotational ability of the Exechon PKM, an Exe-Variant PKM was proposed whose topology was a 2RPU&1RPS parallel mechanism. And the mechanical structure of the proposed Exe-Variant PKM was designed. In order to achieve a thorough understanding of stiffness characteristics of the Exe-Variant PKM, the stiffness model of the parallel module was designed by substructure synthesis technique. According to its structure feature, the Exe-Variant PKM was divided into several subsystems, including a moving platform subsystem, three limb subsystems and a fixed base subsystem. Meanwhile, the elasticity of joints and limbs was considered. Based on the proposed stiffness model, the stiffness distributions throughout the workspace were discussed and the parameters analysis on the stiffness of an Exe-Variant PKM was conducted. Results showed that the stiffness distributions of the Exe-Variant PKM were symmetric about a certain plane throughout the workspace, and the key design parameters had a great influence on the rigidity of the Exe-Variant PKM. Furthermore, the elastic deformation of joints seemed to have a greater influence on stiffness inzdirection than those inxandydirections of the Exe-Variant PKM. It was worthy to point out that the analysis conducted can provide theoretical foundation for structure optimization.

Exe-Variant; parallel kinematic machine; stiffness; substructure synthesis

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.04.050

2016-07-21

2016-09-02

高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中南大學(xué))開(kāi)放基金項(xiàng)目(Kfkt2013-12)

陶兆勝(1970—)，男，副教授，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)和機(jī)器視覺(jué)研究，E-mail： trobert@ahut.edu.cn

TH112

A

1000-1298(2017)04-0377-06