黃行銘

（福州市屏東中學(xué)，福建 福州 350000）

引導(dǎo)高中生提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基本方法

黃行銘

（福州市屏東中學(xué)，福建 福州 350000）

針對(duì)目前高考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求和當(dāng)前高中生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀，提出培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的若干基本方法。

高中數(shù)學(xué)；運(yùn)算能力

自福建省中考允許使用計(jì)算器以來(lái)，許多初中學(xué)生忽視了對(duì)運(yùn)算能力的自我訓(xùn)練與培養(yǎng)，但由于在高中學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)考試中不允許使用計(jì)算器，于是，這些學(xué)生在考試的運(yùn)算問(wèn)題中就會(huì)經(jīng)常發(fā)生錯(cuò)誤，致使學(xué)習(xí)成績(jī)明顯退步，逐漸對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心，失去興趣。

數(shù)學(xué)高考雖不要求考生具備進(jìn)行十分復(fù)雜運(yùn)算的能力，但要求學(xué)生在不使用計(jì)算器的情況下有較熟練的基本運(yùn)算能力?？忌邆淞溯^熟練的基本運(yùn)算能力，才能在規(guī)定的考試時(shí)間內(nèi)迅速而又正確地完成答題，才能獲得數(shù)學(xué)高考的大部分基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)，這也是考生在數(shù)學(xué)高考中能取得好成績(jī)的必要前提。

“準(zhǔn)確”是運(yùn)算的最基本要求，正確地記憶和運(yùn)用公式及法則，是準(zhǔn)確的前提，是運(yùn)算能力的第一層次要求，學(xué)會(huì)采用合理與簡(jiǎn)捷的方式，對(duì)應(yīng)用公式與法則時(shí)做到能正用、逆用、變用和活用，這是對(duì)高中學(xué)生運(yùn)算能力的第二層次要求。運(yùn)算能力的培養(yǎng)、訓(xùn)練并不是枯燥乏味的機(jī)械重復(fù)，它需要?jiǎng)訂T學(xué)生用“眼”，用“心”，用“腦”，尋找最佳的運(yùn)算途徑，使之能從中體驗(yàn)到運(yùn)算的樂(lè)趣。在實(shí)際教學(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面著手以提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

一、熟記數(shù)學(xué)公式與常用數(shù)據(jù)

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，除了要讓學(xué)生熟記數(shù)學(xué)公式之外，還要讓學(xué)生熟記一些常用的數(shù)據(jù)與公式、法則，甚至要掌握一些口算、速算的方法。如：1～21的平方數(shù)；2n(n=1、2····10）的值；lg5的值；特殊的勾股數(shù)3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等；許多特殊的三角函數(shù)值；等邊三角形的面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系等。讓學(xué)生熟記這些數(shù)據(jù)，才能提高學(xué)生的解題運(yùn)算速度。運(yùn)算能力也是在日常學(xué)習(xí)中逐步積累起來(lái)的，日常教學(xué)中，教師應(yīng)針對(duì)許多常用的公式與數(shù)據(jù)，提醒學(xué)生有意識(shí)地加強(qiáng)記憶與訓(xùn)練。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)大都是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的一個(gè)重要的思想。所謂數(shù)形結(jié)合，是指通過(guò)以形助數(shù)，或以數(shù)解形，使抽象問(wèn)題直觀化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一種思維方法.使用數(shù)形結(jié)合方法，常可使許多貌似復(fù)雜的運(yùn)算問(wèn)題迎刃而解。“數(shù)”與“形”之間有著密切的聯(lián)系，“數(shù)”可以用“形”直觀的表示出來(lái)，“形”可以用“數(shù)”來(lái)準(zhǔn)確的研究，在解題時(shí)，促使數(shù)與形的完美結(jié)合，往往是選擇解題思路時(shí)的最佳途徑。因此，培養(yǎng)高中學(xué)生的運(yùn)算能力，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助圖形進(jìn)行精簡(jiǎn)的計(jì)算和推理，直觀、準(zhǔn)確地得出正確的答案，這也是每位高中學(xué)生必須掌握的基本方法，在日常教學(xué)中，教師要在一些例習(xí)題的訓(xùn)練中強(qiáng)化這種數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，使學(xué)生體會(huì)到：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休；幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。

分析：如圖，在直角坐標(biāo)中，做出可行域△ABC，的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4,4)、B(4,2)、C (4,2)，則表示可行域△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)（x,y）與定點(diǎn)(1,1)的連線(xiàn)斜率。觀察圖形可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移到可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，Z取得最大值

這是一個(gè)已司空見(jiàn)慣的線(xiàn)性規(guī)劃小問(wèn)題，但在教學(xué)中，師生都較少去體會(huì)在問(wèn)題中數(shù)形間的緊密聯(lián)系，品味問(wèn)題解決過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想，漏失了一次強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識(shí)的良機(jī)。

例2.已知 x,y,z∈R且2x+3y+3z=1，則 x2+y2+z2的最小值為 。

分析：大多數(shù)學(xué)生解這一道題會(huì)使用柯西不等式，但是，如果將x2+y2+z2改寫(xiě)為(x-0)2+(y-0)2+(z-0)2，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)（0,0,0）到平面2x+3y+3z-1=0中的距離d的平方數(shù)最小值，聯(lián)想到點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，類(lèi)比可得故有x2+y2+z2的最小值是

這個(gè)問(wèn)題的以上解法需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想意識(shí)，并能通過(guò)類(lèi)比與聯(lián)想對(duì)問(wèn)題進(jìn)行猜想，才能迅速獲得結(jié)論。

三、從定義出發(fā)探求解題途徑，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)算

《考試說(shuō)明》對(duì)高中學(xué)生的運(yùn)算能力提出了如下要求：會(huì)根據(jù)概念公式和法則，對(duì)數(shù)、式和方程進(jìn)行正確的運(yùn)算和變形。數(shù)學(xué)定義是幾千年來(lái)社會(huì)實(shí)踐的必然結(jié)果，也是定理、性質(zhì)、推論、公式的根本所在。定義反應(yīng)的是事物的本質(zhì)屬性，解題時(shí)經(jīng)常追根溯源，從概念的定義出發(fā)探求解題途徑，往往是最直接、最有效的方法，可以避開(kāi)許多不必要的運(yùn)算。

例3.已知函數(shù) f(x)= ||x-a，

（1）若不等式 f(x)≤3的解集為{|x-1≤x≤ }5，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）在（1）的條件下，若 f(x)+f(x+5)〉m對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：在正常情況下，大多數(shù)考生通過(guò)分區(qū)間求分段函數(shù)，根據(jù)圖像可以得出正確的解題思路。如考慮用絕對(duì)值的定義： ||x表示數(shù)x表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離， ||x-a≤3表示數(shù)x在數(shù)軸上表示的點(diǎn)到數(shù)a表示的點(diǎn)的距離不超過(guò)3的解集為：1≤x≤5，則數(shù)a表示的點(diǎn)就是數(shù)-1表示的點(diǎn)與數(shù)5表示的點(diǎn)的線(xiàn)段中點(diǎn)所表示的數(shù)易得a=2。（2）中表示的是：f(x)+f(x+5)= |x-2|+ |x+3|中表示的是：數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)2與數(shù)-3表示的點(diǎn)的距離之和。根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，可知數(shù)2到數(shù)-3的距離為5，可知|x-2|+ |x+3|〉5 ，根 據(jù) 題 意 要 求 ，x∈R 時(shí) ，f(x)+f(x+5)≥m恒成立，故m≤5。

《考試說(shuō)明》同時(shí)要求高中生能分析條件，尋找合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，也就是要求學(xué)生不僅要具備基本的運(yùn)算能力，還要能正確、迅速、合理的完成運(yùn)算。要想正確、迅速、合理的完成運(yùn)算，必須加強(qiáng)“運(yùn)算靈活性”的培養(yǎng)，它可以有效合理地利用有限的時(shí)間和精力，減少運(yùn)算的步驟，降低運(yùn)算錯(cuò)誤的概率。

例4.若對(duì)于實(shí)數(shù)x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a2(x-2)3，則a2的值為( )

A.3 B.6 C.9 D.12

分析：從已知條件中可以看出等式右邊等式的二項(xiàng)展開(kāi)式中含有因式x-2，左邊的有x3，此時(shí)如能把x看作(x-2)+2，則有[( x-2)+2]3=[2 +(x-2)]3，a2是展開(kāi)式中第三項(xiàng)(x-2)2的系數(shù)c32×2=6。

四、合理運(yùn)用估算，規(guī)避繁瑣運(yùn)算過(guò)程

《考試說(shuō)明》要求高中生能分析條件，尋找合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，并能進(jìn)行近似計(jì)算。估算是在日常生活中必不可少的一項(xiàng)基本技能，良好的估算能力可以讓學(xué)生做到“心中有數(shù)”，同時(shí)也是提高運(yùn)算能力的很好的幫手。利用具體條件和有關(guān)知識(shí)對(duì)事物的數(shù)量或算式的結(jié)果，作出的大致推斷或估計(jì)。正確的估算會(huì)對(duì)迅速解題，正確判斷運(yùn)算結(jié)果帶來(lái)必要的靈活性和機(jī)動(dòng)性。

當(dāng) x=1時(shí)，y1=e，y2=1，此時(shí)，y1〉y2。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、濃厚的學(xué)習(xí)興趣與充足的學(xué)習(xí)信心，日常教學(xué)中，教師應(yīng)主動(dòng)了解學(xué)生學(xué)習(xí)的心理現(xiàn)狀，積極研究對(duì)策，彌補(bǔ)學(xué)生因運(yùn)算能力不足造成的學(xué)習(xí)信心不足等心理問(wèn)題。事實(shí)上，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生意志品質(zhì)的磨煉，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，使之養(yǎng)成永不放棄的性格，對(duì)提高學(xué)生的運(yùn)算能力也有重要作用。

［1］馬萍.淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013(4).

［2］張倩.如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力［J］.考試周刊，2012(27).

［3］柏宗玲.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力［J］.學(xué)周刊，2011 (17).

（責(zé)任編輯：王欽敏）