◎劉錦梅

(南京師范大學附屬蘇州石湖中學，江蘇 蘇州 215100)

“知識溯源”驅動解題教學
——以證明兩線垂直為例

◎劉錦梅

(南京師范大學附屬蘇州石湖中學，江蘇 蘇州 215100)

解題教學是數(shù)學教學的重要組成部分，是學以致用的一個重要環(huán)節(jié).在解題教學中，教師如何幫助學生快速找到解題的突破口是一項重要任務.多數(shù)情況下，對于要解答的一個數(shù)學問題，探尋真正解法的過程并非一帆風順，而是曲折起伏，但是探尋正確解法的思路卻“有規(guī)可依”“有序可循”：那就是從分析題目的已知和所求入手，看看條件能想到什么？看看所求需要什么？通過“知識溯源”式的問題驅動開展教學，引導學生學會從“怎樣做”轉向“怎樣想”，從而從根本上提高學生分析問題和解決問題的綜合能力.本文以一道證明題為例，談談筆者在教學中探究該題解法的心路歷程.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，△ABC，△ACD，△BDE均是等腰直角三角形，AC與BD相交于點F，連接EF交AD于點M，連接EC交BD于N點.求證：MN⊥BD.

圖1

圖2

二、證法展示

圖3

圖4

三、證法分析

教師在啟發(fā)學生解題的過程中，不但要引導學生“怎樣做”，還要分析“怎么想到這樣做”.教師要一一呈現(xiàn)其思路的形成過程和必然性，僅僅引導學生掌握基本的分析模式，并由此指望學生自悟并有效遷移，當然只能取決于學生的頓悟了.

鑒于以上分析，筆者從知識溯源角度切入，以培養(yǎng)學生怎樣想為前提，通過下列驅動問題逐步展開教學.

問題1：解題目標是什么？(證明兩線垂直.)

設計說明：許多學生做了半天的題不知道要干什么，缺少目標分析意識，只一味地從條件入手聯(lián)想，只有堅持從條件和結論兩方面入手，方能得心應手.

問題2：本題是求證MN⊥BD，那么初中階段學過的證明兩線垂直的知識源有哪些？

主要有：(1)垂直的定義——證明兩線所成角為直角；(2)等腰三角形三線合一；(3)勾股定理逆定理；(4)逆用中垂線的性質；(5)圓的切線垂直于經過切點的半徑，等等.

設計說明：通過問題2驅動，意在培養(yǎng)學生靈活處理兩線垂直問題的能力.

問題3：結合條件，本題應該選用哪個知識源來證明MN⊥BD？

本題直角比較多，易想到用垂直的定義證明，但直接證明這些直角與MNF相等卻又不易；而由△BDE為等腰直角三角形，就不難想到構造輔助線，取BD的中點O，連接EO(如圖2)，并利用MN∥EO來證明垂直了.

設計說明：上述兩個問題的主要目的是通過知識溯源(即從知識轉化的角度)引導學生掌握解決證明兩線垂直的思考方向和處理策略，即先回顧某類問題的相關知識點，再結合題設確定解決具體問題所適用的知識點，從而明確解題方向.

問題4：證明兩線平行有哪些知識源？本題適合用哪一種方法證明MN∥EO？

主要有：(1)平行線的判定定理(同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，兩直線平行)；(2)平行于同一直線的兩條直線平行；(3)平行四邊形的對邊平行(含矩形、菱形與正方形)；(4)三角形(梯形)中位線定理；(5)平行線分線段成比例定理的逆定理，等等.本題從MN與EO的位置特征和要證角相等的目的來看，宜選擇最后一個知識源證明.

設計說明：此問題的目的在于讓學生掌握證明兩線平行的幾種方法.

問題5：如何證明四條線段成比例式(即比例的來源有哪些)？

主要有：(1)平行線分線段成比例；(2)相似三角形對應邊成比例；(3)計算.

設計說明：意在培養(yǎng)學生證明對應線段成比例的能力.

一點建議：鑒于原題難度之大，添加輔助線之多，對于普通學生來說，其教學價值必將大打折扣.

不妨做如下修改：

圖5

如圖5，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上一點，且△CEH，△EFG和△FCG均為等腰直角三角形.設CE與GF相交于點K，連接HK交GE于點M.若CG=6.(1)求線段DH的長；(2)求KM∶MH的值；(3)設HF與CE交于點N，連接MN，求證：MN⊥CE.

四、兩點感悟

從知識溯源角度切入，引導學生學會從“怎樣做”轉向“怎樣想”.其優(yōu)越性在于：

第二，提升學生的遷移能力.由于知識溯源是把解決此類問題的知識點一一呈現(xiàn)，不僅從中探求出解決本問題的策略，而且也為處理同類問題提供了思考方向，從而達到了“以題會類”的效果，提升了學生的遷移能力(見文獻[1]).

總之，通過“知識溯源”驅動解題教學，不僅明確了解題方向，提升了遷移能力，更關鍵的是引導學生學會了“怎樣想”，從而在真正理解的基礎上達到靈活應用的境界.

[1]劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2016(6)：26-28.