張忠旺++王秀麗++呂夢(mèng)雨++馬銘鑫

摘 要：本文研究了解析幾何教學(xué)、核心教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展史以及現(xiàn)代化趨勢(shì)，認(rèn)識(shí)到了解析幾何現(xiàn)代發(fā)展的特點(diǎn)。它的核心教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展對(duì)教學(xué)模式的創(chuàng)新是新的驅(qū)動(dòng)力。要求教學(xué)必須達(dá)到學(xué)生能夠利用計(jì)算機(jī)及相關(guān)軟件分析復(fù)雜曲線(xiàn)、曲面。有效的融合代數(shù)方程、計(jì)算機(jī)與幾何成為解析幾何教學(xué)這三個(gè)方面內(nèi)容的教學(xué)模式一定程度上能夠達(dá)到解析幾何的現(xiàn)代化教學(xué)要求。

關(guān)鍵詞：解析幾何 代數(shù)方程 計(jì)算機(jī)繪圖 人機(jī)交互 教學(xué)實(shí)驗(yàn)

一、解析幾何與線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)狀和歷史

解析幾何主要內(nèi)容是用向量代數(shù)方法研究二、三維空間內(nèi)曲線(xiàn)、曲面的幾何問(wèn)題。向量代數(shù)方法主要是一、二次的代數(shù)方程與線(xiàn)性方程組。從現(xiàn)在一些高校使用的教材可也看到，解析幾何與線(xiàn)性代數(shù)課程[1][2]的合并（或集成）為一門(mén)課占有不小的比例。下面相關(guān)教材的信息統(tǒng)計(jì)，可以獲知這些變化。工科與理科專(zhuān)業(yè)使用教材的情況：工科專(zhuān)業(yè)使用的教材《線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何》 （網(wǎng)絡(luò)檢索結(jié)果約500，000個(gè)）或 《線(xiàn)性代數(shù)與空間解析幾何》（網(wǎng)絡(luò)檢索結(jié)果約562，000個(gè)）的主要章節(jié)為：行列式及其計(jì)算，向量代數(shù)，平面與直線(xiàn)，平面與直線(xiàn)，矩陣及其運(yùn)算，n維向量與線(xiàn)性方程組，特征值與特征向量，二次型與二次曲面，線(xiàn)性代數(shù)與空間解析幾何的應(yīng)用模型。工科專(zhuān)業(yè)使用的教材《線(xiàn)性代數(shù)》（網(wǎng)絡(luò)檢索結(jié)果約686，000個(gè)）。使用這兩類(lèi)教材的比例約為562﹕686。理科專(zhuān)業(yè)使用的教材《高等代數(shù)與解析幾何》（網(wǎng)絡(luò)檢索結(jié)果約19，400個(gè)）的主要章節(jié)為：多項(xiàng)式，行列式，矩陣，線(xiàn)性空間，線(xiàn)性變換， Euclid 空間，雙線(xiàn)性函數(shù)與二次型。理科專(zhuān)業(yè)使用的教材《空間解析幾何》（網(wǎng)絡(luò)檢索結(jié)果約49，200個(gè)）。使用這兩類(lèi)教材的比例約為194：492。從教材和課程內(nèi)容，我們看到二次曲面與線(xiàn)性代數(shù)在其中扮演重要角色。把高等代數(shù)與解析幾何合并成一門(mén)課具有其內(nèi)在的合理性，但是，解析幾何范圍內(nèi)的幾何問(wèn)題包括除了圓錐曲線(xiàn)（Conic Sections）和二次曲面性質(zhì)與圖形之外，還有其他的曲線(xiàn)、曲面。這些曲線(xiàn)和曲面大量地出現(xiàn)不同的科學(xué)、工程領(lǐng)域中。例如螺旋線(xiàn)、環(huán)面。對(duì)于這些曲線(xiàn)和曲面，線(xiàn)性代數(shù)方法很難處理。同時(shí)，按目前的信息與計(jì)算科學(xué)的解析幾何課程教學(xué)計(jì)劃學(xué)時(shí)，學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解析幾何比較困難。我們希望了解和認(rèn)識(shí)一門(mén)課程的內(nèi)涵，也就必須認(rèn)識(shí)它的發(fā)展史。解析幾何的創(chuàng)立得益于代數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，17世紀(jì)笛卡爾[3]引進(jìn)坐標(biāo)系后，一大類(lèi)幾何圖形和代數(shù)方程成為等價(jià)的事物。把圖形轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程描述的數(shù)與數(shù)的關(guān)系來(lái)研究的方法就稱(chēng)為解析幾何。1874年，美國(guó)翻譯出版的法國(guó)學(xué)者J.B.BIOT的解析幾何教材：《AN ELEMENTARY TREATISE ON ANALYTICAL GEOMETRY》[4]，其中沒(méi)有出現(xiàn)行列式與矩陣等線(xiàn)性代數(shù)的主要方法。1902年，David Hilbert 的幾何基礎(chǔ)[5]出版了。100多年后，北京師范大學(xué)出版社在1984年出版了朱鼎勛與陳紹菱的解析幾何教材《空間解析幾何學(xué)》[6]。這是一本解析幾何課程的典型教材。其中主要的方法是向量代數(shù)、坐標(biāo)變換與二次型。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程體系中（包括工學(xué)數(shù)學(xué)課程體系），將解析幾何單獨(dú)列為一門(mén)課程（或一些獨(dú)立的章節(jié)），主要講述空間圖形（包括空間直線(xiàn)、平面和二次曲面）的代數(shù)處理方法。其實(shí)，解析幾何本身與線(xiàn)性代數(shù)有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，例如，空間直線(xiàn)和平面都是由線(xiàn)性方程組來(lái)表示的，二次曲面的分類(lèi)其實(shí)就是二次形的標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題。所以將這些內(nèi)容加入到高等代數(shù)中來(lái)，不但節(jié)省了大量的時(shí)間，而且對(duì)學(xué)生加深兩門(mén)課程的理解也是非常有益的[1]。

二、解析幾何的現(xiàn)代化與應(yīng)用前沿以及課程的教學(xué)實(shí)驗(yàn)

1963年，伊凡·蘇澤蘭（Ivan Sutherland）在麻省理工學(xué)院發(fā)表了名為《畫(huà)板》的博士論文[7]，它標(biāo)志著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的正式誕生。至今已有五十多年的歷史。使用計(jì)算機(jī)處理三維空間的曲線(xiàn)與曲面的顯示與人機(jī)關(guān)系。它可以研究大量的復(fù)雜方程的曲線(xiàn)與曲面的性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系。在解析幾何課程教學(xué)方面，計(jì)算機(jī)作圖確實(shí)可以增加學(xué)生的對(duì)非二次曲面幾何的直觀理解，極大地提高了教學(xué)的效率，以及學(xué)生直觀地理解復(fù)雜曲線(xiàn)、曲面。例如用某種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，計(jì)算、繪制一個(gè)旋轉(zhuǎn)的橢圓拋物面。如果用z=x^2+y^2形式的方程，編寫(xiě)程序：

x=[-10：0.1：10]；y=[-10：0.1：10]；[X，Y]=meshgrid（x，y）；Z=X.^2+Y.^2 ；

plot3（X，Y，Z）

畫(huà)出來(lái)的立體圖上的網(wǎng)格是分別按x、y的參數(shù)值的變化生成的圖（1）。同樣的方法，編寫(xiě)程序：

x=[-10：0.2：10]；y=[-10：0.2：10]；[X，Y]=meshgrid（x，y）；Z=X.^2-Y.^2；

plot3（X，Y，Z）

畫(huà)出的方程為z=x^2-y^2的雙曲拋物面上的網(wǎng)格是分別按x、y的參數(shù)值的變化生成的圖（2）。

不僅僅如此，計(jì)算機(jī)作圖是對(duì)解析幾何的傳統(tǒng)教學(xué)方法、手段的重大改進(jìn)，還克服了復(fù)雜曲面曲線(xiàn)無(wú)法繪制的囧境。如果僅僅認(rèn)識(shí)到利用計(jì)算軟件繪制曲線(xiàn)與曲面，可以比較直觀的看到曲面的一些基本性質(zhì)，例如：對(duì)稱(chēng)性，有界性，邊界等，那實(shí)質(zhì)上還是輔助教學(xué)，教學(xué)的內(nèi)容沒(méi)有進(jìn)化與更新，也就是給定了曲面的方程，然后計(jì)算、繪制該曲面的3維圖像，那是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。一方面計(jì)算機(jī)繪圖滲透到了解析幾何課程的教學(xué)中，另一方面更重要的發(fā)展是三維空間中的曲面、曲線(xiàn)已深入到了可以直觀展示不同學(xué)科領(lǐng)域的現(xiàn)象、性質(zhì)與規(guī)律。例如，近二、三十年，計(jì)算機(jī)計(jì)算速度的大幅提高，曲線(xiàn)、曲面的計(jì)算已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)陌l(fā)展。最初的3D動(dòng)畫(huà)、3D電影，現(xiàn)在的3D打印、3D重構(gòu)已經(jīng)深入到科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及日常生活中，這些新應(yīng)用、新技術(shù)、新理論還在不斷地進(jìn)化。這些都依賴(lài)曲線(xiàn)、曲面的計(jì)算與測(cè)量。一般情形是曲面并不都是教材中的二次曲面。測(cè)量方法有無(wú)線(xiàn)電、激光等電學(xué)、光學(xué)設(shè)備，例如：照相機(jī)、攝像機(jī)、雷達(dá)等。特別是在計(jì)算機(jī)視覺(jué)[8]方面， 3D重構(gòu)[9]的發(fā)展對(duì)三維空間的曲面、曲線(xiàn)的計(jì)算提出更高的要求，計(jì)算機(jī)視覺(jué)是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的反向計(jì)算。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是從3維對(duì)象測(cè)量計(jì)算獲得圖像數(shù)據(jù)，而計(jì)算機(jī)視覺(jué)通常是從圖像數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算獲得觀測(cè)對(duì)象的3維圖形，也有這兩種方法的結(jié)合趨勢(shì)，例如：在增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)中，就是在屏幕上把虛擬世界套在現(xiàn)實(shí)世界并進(jìn)行互動(dòng)。

1.解析幾何中，n次曲線(xiàn)、曲面在笛卡爾坐標(biāo)系下的3維計(jì)算的手段是n次代數(shù)方程，笛卡爾坐標(biāo)系與代數(shù)方程構(gòu)成了這類(lèi)3維計(jì)算的基礎(chǔ)。 笛卡爾坐標(biāo)系與代數(shù)方程幫助我們充分認(rèn)識(shí)了二次曲線(xiàn)與曲面。例如：圖（1）與圖（2）就是使用了笛卡爾坐標(biāo)系與橢圓拋物面方程x2+y2-z=0、雙曲拋物面方程x2-y2-z=0，通過(guò)計(jì)算給出的這兩類(lèi)曲面的視圖。

2.在工程與其他科技領(lǐng)域，等高線(xiàn)圖可以表示觀測(cè)對(duì)象特定數(shù)據(jù)的3維圖。這一類(lèi)曲面一般不能由代數(shù)方程來(lái)表示。例如：陸地的海拔等高線(xiàn)地圖，規(guī)則物體或流體的溫度分布圖，某區(qū)域的大氣的水汽分布圖，運(yùn)動(dòng)物體的GPS軌跡圖。等高線(xiàn)圖實(shí)質(zhì)上是一張關(guān)于某種特定數(shù)據(jù)的照片，形式上等同于圖（1）與圖（2）。這類(lèi)圖都是通過(guò)對(duì)觀測(cè)對(duì)象進(jìn)行測(cè)量而獲得的某種特定數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的三維空間的曲線(xiàn)與曲面圖。這些曲線(xiàn)與曲面沒(méi)有對(duì)應(yīng)的方程，都用離散的二維數(shù)據(jù)來(lái)表示，并存儲(chǔ)為一張數(shù)字照片。

3.觀測(cè)對(duì)象的3D重構(gòu)是從一些二維數(shù)據(jù)照片通過(guò)計(jì)算得到其他若干個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系下的二維數(shù)據(jù)照片。

1）如果已知曲線(xiàn)、曲面在一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)的代數(shù)方程，那么通過(guò)不同笛卡爾坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換，能夠確定地計(jì)算曲線(xiàn)與曲面的新代數(shù)方程。

2）如果已知曲線(xiàn)、曲面在一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)的等高線(xiàn)圖，同樣的方法可以得到新笛卡爾坐標(biāo)系下的二維數(shù)據(jù)照片。

3）如果已知曲線(xiàn)、曲面在一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)的其他類(lèi)型的二維數(shù)據(jù)照片（例如：一般的相機(jī)照片），如何得到新笛卡爾坐標(biāo)系下的二維數(shù)據(jù)照片？這部分內(nèi)容正是計(jì)算機(jī)視覺(jué)研究的核心內(nèi)容之一。我們指導(dǎo)學(xué)生在這個(gè)方面做了一些試驗(yàn)與計(jì)算。下面簡(jiǎn)單介紹一下實(shí)驗(yàn)的基本方法與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。在對(duì)物體進(jìn)行拍攝后得到的相片中，由于物體表面幾何形態(tài)、點(diǎn)光源位置、光強(qiáng)等因數(shù)的改變會(huì)導(dǎo)致物體表面反射光路的改變與反射光光強(qiáng)的變化，照片中拍攝對(duì)象的明暗關(guān)系都會(huì)發(fā)生變化。我們可以根據(jù)光源與物體表面的關(guān)系（包括理想反射面與一般反射面的成像理論，點(diǎn)光源與反射面亮度的關(guān)系），得到點(diǎn)光源下理想表面反射成像的規(guī)律?？刂破渲幸粋€(gè)或多個(gè)影響物體表面成像的重要參數(shù)，改變點(diǎn)光源位置等，拍攝觀測(cè)對(duì)象，利用軟件讀取照片，用給定的光反射模型進(jìn)行計(jì)算，可以得到觀測(cè)對(duì)象的一個(gè)完整的表面的三維數(shù)值圖像。下圖（6）（7）是試驗(yàn)中拍攝的傾斜紙板照片與計(jì)算得到的三維數(shù)值圖像。

三、解析幾何教學(xué)實(shí)驗(yàn)的一些體會(huì)

解析幾何課程本著聯(lián)系實(shí)際科技應(yīng)用與科學(xué)前沿[10]，拓展教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)闊視野的目標(biāo)，把計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與“3D計(jì)算”的思想、方法與實(shí)踐引入。我們可以在教學(xué)過(guò)程使用計(jì)算機(jī)與顯示設(shè)備，一方面，在三維空間中，把復(fù)雜代數(shù)方程對(duì)應(yīng)的圖像的基本性質(zhì)比較直觀地顯示出來(lái)。另一方面，認(rèn)識(shí)到三維數(shù)值圖像在計(jì)算機(jī)視覺(jué)等高新科技領(lǐng)域的重要應(yīng)用。通過(guò)這一方面的教學(xué)與實(shí)踐，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不僅僅方程的計(jì)算與推理可以分析曲線(xiàn)、曲面的性質(zhì)，還可以通過(guò)適當(dāng)?shù)挠?jì)算也可以分析曲線(xiàn)、曲面的性質(zhì)。進(jìn)一步，認(rèn)識(shí)到計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力與顯示同樣能夠證實(shí)曲線(xiàn)、曲面的特征。即基于適度的基本編程的人機(jī)交互[7]來(lái)學(xué)習(xí)曲線(xiàn)、曲面的基本規(guī)律。上文列舉了的解析幾何與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的例子，通過(guò)使用這種更簡(jiǎn)潔易懂，同時(shí)更加現(xiàn)代化的解題辦法，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使得解析幾何這門(mén)學(xué)科具有新的生命力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孟道驥. 一門(mén)“國(guó)家精品課程”的建設(shè)-南開(kāi)大學(xué)“高等代數(shù)與解析幾何”課程[J]. 高等數(shù)學(xué)研究， 2005，8（3）.

[2] 馮良貴，戴清平，謝瑞強(qiáng)，李超，陳摯. 國(guó)防科技大學(xué)“線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何”課程建設(shè)的特色[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，（6）25.

[3] R.Descartes.The Geometry of René Descartes [M].Translated by David Eugene Smith and L. MaricaLatham，Dover Publications， Inc. 1954.

[4] D.Hilbert. Foundations of Geometry[M]. Authorized by translation by E.J.Townsend， 1902.

[5] J.B.Biot. An Elementary Treatise on Analytical Geometry[M]. Cadets of the Virginia Military Institute at Lexington VA， 1874.

[6] 朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學(xué)[M].北京師范大學(xué)出版社，1984.

[7] I.Sutherland.Sketchpad：A Man-Machine Graphical Communication System[D].Mass-

achusetts Institute of Technology， 1963.

[8] O.Faugeras. Three-Dimensional Computer Vision ： A Geometric Viewpoint[M]. MIT Press， 1993.

[9] U. C. Pati. 3-D Surface Geometry and Reconstruction：Developing Concepts and Ap-

plications[C].Information Science Reference， 2012.

[10] 何援軍. 幾何計(jì)算及其理論研究[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2010， （3）44.