李珍真

摘要：數(shù)學(xué)證明方法與算法實(shí)現(xiàn)之間存在著較為密切的關(guān)系，只有應(yīng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)證明方法，才能夠更好更快地解決數(shù)學(xué)問題。文章主要分析了幾種主要的數(shù)學(xué)證明方法，并陳述了其與算法實(shí)現(xiàn)的關(guān)系，最后提出問題的解決方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)證明方法：算法實(shí)現(xiàn)：關(guān)系

在對數(shù)學(xué)的研究過程中，會發(fā)現(xiàn)存在著多種多樣的數(shù)學(xué)證明方法，經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)證明方法有構(gòu)造性證明、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，在實(shí)際應(yīng)用這些方法解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有的只會應(yīng)用到其中的一種數(shù)學(xué)證明方法，而有的則需要結(jié)合幾種數(shù)學(xué)證明方法才能夠很好地將相關(guān)的數(shù)學(xué)問題加以解決。應(yīng)用程序設(shè)計(jì)來解決數(shù)學(xué)中的算法問題有的時(shí)候能夠較容易地加以解決，而有時(shí)候涉及較為復(fù)雜的算法問題就會面臨相應(yīng)的困難。而數(shù)學(xué)證明方法與程序設(shè)計(jì)的算法實(shí)現(xiàn)之間存在著較為密切的關(guān)系，將其結(jié)合起來有助于更好地解決數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)注意傳授相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，這對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是非常有幫助的。本研究主要闡述了高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)證明方法。

1 遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法分析

了解高等數(shù)學(xué)的都應(yīng)當(dāng)明確，遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法是在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程常常會被應(yīng)用到的數(shù)學(xué)證明方法，并且在解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠起到較好的效果。譬如，在學(xué)生學(xué)到線性代數(shù)、數(shù)值分析的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，都多多少少會應(yīng)用到上述的證明方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，對遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法會有一定的了解，在證明數(shù)學(xué)問題的過程中也會應(yīng)用到這些方法，但是他們往往對于這些方法到底是怎么來的在頭腦中并沒有明確的認(rèn)識。但是，學(xué)生所應(yīng)用的遞推方法與數(shù)學(xué)歸納法都是前人通過較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過程所推導(dǎo)出來的，學(xué)生只有了解了這些方法的推導(dǎo)過程才能夠?qū)⑵涓玫貞?yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題的過程中，否則只能是生搬硬套，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。下面通過具體的例子來加以說明遞推方法與數(shù)學(xué)歸納方法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

譬如在求Flbonacci的數(shù)列1，2，3，5，8，13通項(xiàng)公式中的具體應(yīng)用。通過分析，能夠得出上述數(shù)列的通項(xiàng)公式，即f（x）=1/√5[（1+√5）/2]n+1一l/√5[（1-√5）/2]n+1（n=0，1，……）。其實(shí)通過仔細(xì)分析可以明確，以上通項(xiàng)公式是在以下遞推公式的基礎(chǔ)上得出來的即fo=1，f1=l，fn=fn-1+fn-2（n=2，3，……）。

當(dāng)學(xué)生在看到上面較為復(fù)雜的通項(xiàng)公式時(shí)可能會感到有點(diǎn)畏懼，這時(shí)候就需要讓學(xué)生明確任何復(fù)雜的公式都是可以應(yīng)用遞推的方法一步步推出來的，這樣就可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的動力。

再比如在求∑ik的求和公式的過程中，有很多高等數(shù)學(xué)的教科書都會先引入定積分的相關(guān)公式來進(jìn)行計(jì)算，與此同時(shí)，將0～1這個(gè)區(qū)間分成n個(gè)等份，將小曲邊梯形的高度用右端點(diǎn)的高度來加以代替，從而求和來得出三角形的近似面積，在求和的過程中應(yīng)注意盡量達(dá)到極限，這樣才能夠使得近似值更加接近準(zhǔn)確的數(shù)值。同樣，在求和的過程中也會應(yīng)用到一個(gè)非常重要的公式，即∑i2=[n/（n+1）（2n+1）]/6。當(dāng)列出這個(gè)公式時(shí)，學(xué)生也會產(chǎn)生疑問，這么復(fù)雜的公式又是如何得到的呢，這時(shí)教師可以順勢將這個(gè)公式的遞推公式列舉出來，從而幫助學(xué)生理解遞推及歸納的數(shù)學(xué)方法。

2 遞歸方法與數(shù)學(xué)歸納法分析

前面所陳述的遞歸方法主要是從簡單的公式來推出較為復(fù)雜的公式，但是在應(yīng)用程序設(shè)計(jì)解決算法問題的過程中，卻剛好是相反的過程，是從較為復(fù)雜的公式來推出簡單的公式。應(yīng)用程序設(shè)計(jì)來解決數(shù)學(xué)問題的重要優(yōu)勢是能夠?qū)?shù)學(xué)問題變得更加簡單易懂，從而有利于數(shù)學(xué)問題的解決，但是應(yīng)用程序設(shè)計(jì)來解決數(shù)學(xué)問題也存在著劣勢，即剛開始時(shí)的數(shù)學(xué)公式過于復(fù)雜，需要較大的內(nèi)存容量，計(jì)算的速度也會較慢，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的過程中會面臨較多的困難。因此，在應(yīng)用程序設(shè)計(jì)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用一定的遞歸方法是非常有必要的。

譬如，有的算法像Hanoi塔問題就需要應(yīng)用到遞歸的數(shù)學(xué)方法，該問題具體講的是：在該塔中存在3個(gè)柱子，分別記為A，B，C，在A柱上按照大小順序串?dāng)?shù)量不等、形狀不一的盤子，現(xiàn)應(yīng)用B柱將A柱的盤子挪到C柱上，在挪動時(shí)仍然要注意保持大小順序。在計(jì)算該問題的過程中，如果在n不是太大的情況下，利用遞歸的方法能夠很好地將該問題加以解決，當(dāng)n比較大使得該問題比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)用遞歸的方法也會存在一定的困難。

當(dāng)數(shù)學(xué)問題較復(fù)雜不能夠用遞歸方法解決時(shí)，可以選擇使用循環(huán)結(jié)構(gòu)的方法來解決數(shù)學(xué)的相關(guān)問題，這樣可以保證在較快的速度下解決數(shù)學(xué)問題。

3 遞推式子計(jì)算的穩(wěn)定性分析

在應(yīng)用遞推式子來解決數(shù)學(xué)問題的過程中，應(yīng)當(dāng)注意保持遞推式的穩(wěn)定性，因?yàn)橄鄬ζ渌椒▉碚f，該方法的穩(wěn)定性較差。

譬如在計(jì)算In=∫01xnex-1dx9（n=20），應(yīng)用分部積分的公式可以很好地導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算公式。應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法，這種方法已經(jīng)是較好的計(jì)算方法了，但是在真正運(yùn)用到計(jì)算的過程中并沒有表面上看的那么好，會經(jīng)常存在計(jì)算的誤差，不能夠獲得較為穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果，這樣的結(jié)果也是非常不可靠的。

4 理論證明與算法實(shí)現(xiàn)分析

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在高等數(shù)學(xué)中表現(xiàn)得非常明顯，在解決數(shù)學(xué)的問題中需要借助較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明，但是理論證明在實(shí)際應(yīng)用的過程中是需要推理的，這使得算法的實(shí)現(xiàn)存在一定的困難。譬如在高等數(shù)學(xué)代數(shù)中矩陣的分解的Schur定理。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用理論證明方法來實(shí)現(xiàn)算法存在一定的困難。當(dāng)n的數(shù)值較大時(shí)，先明確一個(gè)特征值就存在一定的困難。但是這個(gè)問題的最終目標(biāo)就是尋求特征值，而又需要在求解的過程中將特征值作為己知條件，這就說明在計(jì)算的過程中存在一定的矛盾。

5 反證法、存在性與構(gòu)造性證明

反證法也是在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中解決數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常會使用到的數(shù)學(xué)方法，尤其在解決較為復(fù)雜及困難的數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠起到較好的作用。

但是在應(yīng)用反證法解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以通過反證法來說明命題的正確性，但卻不能夠很好地去說明其命題的具體構(gòu)造性。譬如在證明“不存在最大的素?cái)?shù)”的問題時(shí)應(yīng)用的證明方法就是反證法。假設(shè)存在n個(gè)素?cái)?shù)，分別記為nl，n2，n3，……，n4，令P=n1，n2，n3，…，np+l，那么，從中可以明顯看出，P也是素?cái)?shù)。這里面會存在一定的矛盾，再應(yīng)用矛盾證明命題的正確性。如果設(shè)定一個(gè)自然數(shù)M，在自然數(shù)M中尋找大于M的素?cái)?shù)時(shí)并不能夠求出其具體的公式，這使得尋找大素?cái)?shù)成為一個(gè)較大的困難。

在高等數(shù)學(xué)的有些命題中，確實(shí)存在一些較為隱蔽的己知信息不易被發(fā)現(xiàn)，但是這些隱蔽的己知信息對于求解數(shù)學(xué)問題是非常有必要的。譬如在高等數(shù)學(xué)微積分的Tayor的公式中，應(yīng)用該公式去推導(dǎo)一些基本的函數(shù)公式存在一定的困難，還需要借助其他的公式才能夠解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。

有些結(jié)論本身是成立的，也可以應(yīng)用反證法證明其正確性，但在一定條件下也可以采用構(gòu)造法來加以構(gòu)造，譬如在高等數(shù)學(xué)微積分中常用的Poincare不等式中，就可以應(yīng)用反證法來證明其存在的合理性，但是在具體應(yīng)用過程中只是明確其存在性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這時(shí)候就需要一定的構(gòu)造法才能更好地解決該問題。

6 問題的解決措施

在應(yīng)用上述證明方法時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意堅(jiān)持一個(gè)基本的原則，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中應(yīng)盡量保持簡潔性。一個(gè)方法越簡潔，并且也能夠取得相應(yīng)的證明效果，說明這個(gè)方法越好。譬如在高等數(shù)學(xué)插值理論中想要證明其存在的唯一性，可以利用的數(shù)學(xué)證明方法有很多，其中的一種證明方法是非常簡潔的，這種方法只需要證明齊次插值具有唯一的零解即可。但是這種簡潔的方法也存在一個(gè)很大的缺陷，就是不能夠很好地解決構(gòu)造問題，在實(shí)際應(yīng)用過程中并不能夠較好地將其內(nèi)在作用發(fā)揮出來。如果從實(shí)際應(yīng)用的角度來加以考慮，往往采用插值函數(shù)的方法來解決上述問題。構(gòu)造的方法當(dāng)然應(yīng)用起來相對比較復(fù)雜。如果更多的考慮實(shí)際應(yīng)用，往往采用的較好的方法是構(gòu)造法，但是如果構(gòu)造法的使用難度較大，就可以考慮使用較為簡潔的方法，如反證法、存在性證明的方法等。教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生能夠充分發(fā)揮主觀能動性，能夠?qū)W會解決不同的情況下的不同的問題，這樣能夠幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題，與此同時(shí)，也能夠讓學(xué)生在解決問題的過程中提升其數(shù)學(xué)素質(zhì)。

7 結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)證明方法與算法實(shí)現(xiàn)之間存在較為密切的聯(lián)系，在應(yīng)用一定的證明方法解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題時(shí)也會遇到一定的困難。因此，教師幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明方法的過程中，也應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生，應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮主觀能動性，能夠針對不同的問題選擇最合適的數(shù)學(xué)證明方法，這樣才能夠提高解決數(shù)學(xué)問題的效率，從而更好地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

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