李衛(wèi)高

摘 要： 鑒于高等數學教學中發(fā)現的兩個問題，在解題步驟中缺乏依據或不夠全面，本著數學嚴謹性的要求，對其解法分別給出了修改和完善。

關鍵詞：高等數學 極限 導數 算法

中圖分類號：G642.41 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2016）12-0194-01

數學是一門嚴謹的學科，在解答問題中學會嚴格的按照定義、公式進行推理演算，做到前后有依據，變化有規(guī)則，不僅可以提高對解題正確性的把握，還能反過來加深對概念、定理的理解，學習高等數學，更要注重這方面的要求。

以下是教學中遇到的兩個問題：

一、計算

這是高等數學某教材中第一章的課后習題，題目的用意是讓利用重要極限求解。有不少學生是這樣解的

答案是對的，但步驟卻有些牽強，體現在倒數第二步，對冪指函數的底部和指數分別求極限，這是想當然的做法。在極限的運算法則中，有四則運算、復合運算，而上面的算法就缺少依據，巧合的是冪指函數只要底部與指數有極限，上面的算法算出的結果一般是對的。這是因為利用運算法則，我們有

先利用對數恒等式把其化為復合函數，根據復合函數求極限方法，把極限符號提到指數上，再用乘積運算求出指數的極限，得到結果。盡管復雜了一些，但保證了每一步計算有依據，提高了對做題正確的把握。

二、推導冪函數求導公式

導數基本公式 是高等數學里最為熟悉的公式之一。查閱不同的教材可以發(fā)現，對該公式的證明主要有兩種：一是用定義證明；二是利用隱函數求導。定義證明是很基礎的推導，但計算過程卻不簡單，在數學專業(yè)教材中可見；另一種證法卻很簡單明了，有不少高等數學教材都有使用，證明如下，設

兩邊取對數

兩邊對 求導

所以

過程非常簡單，算法的巧妙使得我們不想細看它的每一步。然而，這里要提出的是，這種推導縮小了 的范圍，第一步取對數默認了冪函數及

取正值，而一般的冪函數也有負值的情況。

回憶一下冪函數的定義，設 為互質的正整數。當 為正有理數，記 ， 為奇數， ； 為偶數， 。當 為負有理數，記 ，

為奇數， （非零實數集）； 為偶數， 。當 為無理數， 。

當 ， 。

由冪函數定義，分情況討論其導數：

1.當 ，有 。兩邊取對數得 ，對 求導得 ，于是 （*）

2.當 ， （ 為奇數）。 有 符合公式（*）；

為偶數時， ，兩邊取對數得 ，對 求導得 ，

仍有 ； 為奇數時， ，兩邊同乘-1后取對數

，求導得公式（*）。

3.當 ， 為正有理數， 。當 時，

適合公式（*）；當 時， 適合公式（*）；當 時，

適合公式（*）。

綜合以上討論，對任意冪函數都有導數基本公式（*）成立。