李興遠(yuǎn)
摘 要:帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)碰到絕緣的器壁(或擋板)時(shí)以原速率反向彈回,繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng),有時(shí)會(huì)碰撞若干次。這類問題往往存在多解,對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、利用數(shù)學(xué)知識解題能力起到很大作用。磁場的“邊界”主要有“圓形”“三角形”“正方形”等等,本文對這類問題做一探究。
關(guān)鍵詞:高中物理;帶電粒子;勻強(qiáng)磁場
中圖分類號:G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1992-7711(2016)23-123-1
探究一 在圓周上的碰撞
例1 在半徑為r的圓筒中,有沿筒的直線方向的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中,若它在筒中只受洛倫茲力作用且與筒壁發(fā)生了彈性碰撞,欲使粒子與筒壁連續(xù)碰撞繞筒一周仍從A處射出,則B必須滿足什么條件?
探究二 在多邊形上的碰撞
例2 如圖所示,正三角形ACD是一用絕緣材料制成的固定框架,邊長為L。在框架外是范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里,ACD可視為磁場的理想邊界。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,從CD邊中點(diǎn)的小孔S垂直于CD邊射入磁場,若粒子與框架的碰撞為彈性碰撞,且每一次碰撞時(shí)的速度方向均垂直于被碰的邊框,要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)回到小孔S,求:
(1)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑,并畫出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡和繞行方向。
(2)粒子射出小孔時(shí)的速度。
(3)粒子回到小孔S所需的最短時(shí)間。
解析:(1)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),與邊框垂直碰撞后要重新回到小孔S,根據(jù)正三角形的對稱性可知,A、C、D三點(diǎn)必為圓軌道的圓心,
要使粒子回到小孔S的時(shí)間最短,圓軌道半徑為:R=L2。運(yùn)用左手定則可畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡和繞行方向如圖所示。
(2)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力,則
qvB=mv2R,R=L2,故v=qBL2m。
(3)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期
T=2πmqB,故t=3×56T=5πmqB。
例3 如圖所示,光滑絕緣壁圍成的正方形勻強(qiáng)磁場區(qū)域,邊長為a,磁場的方向垂直于正方形平面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子,從下邊界正中央的A孔垂直于下邊界射入磁場中,設(shè)粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無能量損失和無電量損失,不計(jì)重力和碰撞時(shí)間。
(1)若粒子在磁場中的半徑等于a2,則粒子射入磁場的速度多大?經(jīng)多長時(shí)間粒子又從A孔射出?
(2)若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑等于a4,判斷粒子能否再從A孔中射出,如能,求出經(jīng)多長時(shí)間粒子從A孔射出;如不能,說出理由。
(3)若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑小于a,且仍然能從A孔垂直邊界射出,粒子射入的速度應(yīng)為多大?在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間多長?
解析:(1)由于帶電粒子受洛倫茲力作用在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),半徑為a2,故qvB=mv2R,r=a2,得v=qBa2m。
粒子在正方形內(nèi)與另外三邊發(fā)生碰撞,故在磁場中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)完整的圓周,即t=T=2π·mqB。
(2)能。由qvB=mv2R,r=a4,得v=qBa4m。
而帶電粒子運(yùn)動(dòng)到右下角時(shí)和底邊發(fā)生碰撞后被反彈,粒子將緊貼右邊框向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),因?yàn)槁鍌惼澚εc右邊界對帶電粒子的支持力平衡。
結(jié)論:帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的碰撞問題,一是要關(guān)注“邊界”的形狀;二是要注意帶電粒子所受洛倫茲力的方向、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)的圓弧長度及所對應(yīng)的圓心角;三是要注意碰撞發(fā)生的周期規(guī)律及軌跡的對稱性;四是要充分利用平面幾何和立體幾何、三角函數(shù)方面的數(shù)學(xué)知識等。