李興遠(yuǎn)

摘 要：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)碰到絕緣的器壁（或擋板）時(shí)以原速率反向彈回，繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，有時(shí)會(huì)碰撞若干次。這類問題往往存在多解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、利用數(shù)學(xué)知識(shí)解題能力起到很大作用。磁場(chǎng)的“邊界”主要有“圓形”“三角形”“正方形”等等，本文對(duì)這類問題做一探究。

關(guān)鍵詞：高中物理；帶電粒子；勻強(qiáng)磁場(chǎng)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）23-123-1

探究一 在圓周上的碰撞

例1 在半徑為r的圓筒中，有沿筒的直線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場(chǎng)射入筒中，若它在筒中只受洛倫茲力作用且與筒壁發(fā)生了彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)碰撞繞筒一周仍從A處射出，則B必須滿足什么條件？

探究二 在多邊形上的碰撞

例2 如圖所示，正三角形ACD是一用絕緣材料制成的固定框架，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)。在框架外是范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，ACD可視為磁場(chǎng)的理想邊界。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從CD邊中點(diǎn)的小孔S垂直于CD邊射入磁場(chǎng)，若粒子與框架的碰撞為彈性碰撞，且每一次碰撞時(shí)的速度方向均垂直于被碰的邊框，要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)回到小孔S，求：

（1）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，并畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡和繞行方向。

（2）粒子射出小孔時(shí)的速度。

（3）粒子回到小孔S所需的最短時(shí)間。

解析：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與邊框垂直碰撞后要重新回到小孔S，根據(jù)正三角形的對(duì)稱性可知，A、C、D三點(diǎn)必為圓軌道的圓心，

要使粒子回到小孔S的時(shí)間最短，圓軌道半徑為：R=L2。運(yùn)用左手定則可畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡和繞行方向如圖所示。

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則

qvB=mv2R，R=L2，故v=qBL2m。

（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期

T=2πmqB，故t=3×56T=5πmqB。

例3 如圖所示，光滑絕緣壁圍成的正方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，邊長(zhǎng)為a，磁場(chǎng)的方向垂直于正方形平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子，從下邊界正中央的A孔垂直于下邊界射入磁場(chǎng)中，設(shè)粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無能量損失和無電量損失，不計(jì)重力和碰撞時(shí)間。

（1）若粒子在磁場(chǎng)中的半徑等于a2，則粒子射入磁場(chǎng)的速度多大？經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間粒子又從A孔射出？

（2）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑等于a4，判斷粒子能否再從A孔中射出，如能，求出經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間粒子從A孔射出；如不能，說出理由。

（3）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑小于a，且仍然能從A孔垂直邊界射出，粒子射入的速度應(yīng)為多大？在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間多長(zhǎng)？

解析：（1）由于帶電粒子受洛倫茲力作用在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為a2，故qvB=mv2R，r=a2，得v=qBa2m。

粒子在正方形內(nèi)與另外三邊發(fā)生碰撞，故在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)完整的圓周，即t=T=2π·mqB。

（2）能。由qvB=mv2R，r=a4，得v=qBa4m。

而帶電粒子運(yùn)動(dòng)到右下角時(shí)和底邊發(fā)生碰撞后被反彈，粒子將緊貼右邊框向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槁鍌惼澚εc右邊界對(duì)帶電粒子的支持力平衡。

結(jié)論：帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的碰撞問題，一是要關(guān)注“邊界”的形狀；二是要注意帶電粒子所受洛倫茲力的方向、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)的圓弧長(zhǎng)度及所對(duì)應(yīng)的圓心角；三是要注意碰撞發(fā)生的周期規(guī)律及軌跡的對(duì)稱性；四是要充分利用平面幾何和立體幾何、三角函數(shù)方面的數(shù)學(xué)知識(shí)等。