張蔡莉

【摘要】直線(xiàn)參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)“平面解析幾何”中的重要內(nèi)容，可用來(lái)解決解析幾何題型中常見(jiàn)的相交弦問(wèn)題、最值問(wèn)題和“定點(diǎn)”“定值”問(wèn)題.因?yàn)槠渲衪的特殊幾何意義，可以直接解決相交弦問(wèn)題；而因其參數(shù)方程的特點(diǎn)，使用它解題時(shí)，可以將相關(guān)量放在同一參數(shù)下，減少了問(wèn)題中的變量，達(dá)到簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)、優(yōu)化運(yùn)算的效果.

【關(guān)鍵詞】直線(xiàn)參數(shù)方程 解析幾何 最值 定點(diǎn)定值

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）12-0210-01

解析幾何問(wèn)題是高考考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力的主要題型，其得分率一直位于所有題型后幾位，主要原因有二：一是考生找不到解題思路；而是有思路但運(yùn)算過(guò)于復(fù)雜，不能得到正確的結(jié)果.在一些高考題中，筆者發(fā)現(xiàn)，直線(xiàn)參數(shù)方程的使用，可以較好的解決上述困難.

一、相交弦長(zhǎng)及其中點(diǎn)問(wèn)題

例1.（2016年江蘇）平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為，橢圓C的參數(shù)方程為，設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).

解法一：把直線(xiàn)，橢圓參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解.

解法二：因?yàn)橹本€(xiàn)參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，且過(guò)點(diǎn)P（1，0），設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

因?yàn)椋簷E圓的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程

一般地，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)程為，若A，B為直線(xiàn)上兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，以下結(jié)論經(jīng)常用到：

相交弦有關(guān)的絕大多數(shù)問(wèn)題，直線(xiàn)參數(shù)方程的使用，可以比普通方程的解法，少更多的運(yùn)算步驟，可以較好地提高解題效率.

二、最值問(wèn)題

例2.直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（1，1）與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的最大值

解：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為 ，參數(shù)方程為代入橢圓方程：

可以借助直線(xiàn)參數(shù)方程將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件表達(dá)，最后把它變成求函數(shù)的最值問(wèn)題.這樣的解題思路，是使用參數(shù)方程后，自然就得到的.

三、定點(diǎn)和定值問(wèn)題

例3.（2008年安徽）設(shè)橢圓C：過(guò)點(diǎn)M，且左焦點(diǎn)為

（1）求橢圓的方程

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交與不同的A，B點(diǎn)時(shí)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足，證明：點(diǎn)Q總在某條定直線(xiàn)上。

解：（1）略

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)方程為，點(diǎn)A，B，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

把直線(xiàn)方程代入橢圓方程：得：

把t0代回直線(xiàn)的參數(shù)方程得：

消去，得到直線(xiàn)

同樣的解法可以應(yīng)用到以下高考題中（解答過(guò)程略）：（2015四川）橢圓E：的離心率為，點(diǎn)P（0，1）在短軸CD上，且

（1）求橢圓方程

（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使為定值，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.

可見(jiàn)，直線(xiàn)的參數(shù)方程，可以為解決一些題型提供了更為簡(jiǎn)單的思路和簡(jiǎn)便的方法.教師在教學(xué)中一方面應(yīng)對(duì)直線(xiàn)方程的應(yīng)用進(jìn)行更深入的研究；一方面在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，也應(yīng)多個(gè)角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，讓學(xué)生用其合適的方法解決問(wèn)題，提高解題信心，提升解決問(wèn)題的能力.