●張 嵐(慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解析幾何教學(xué)*
——談數(shù)學(xué)運算能力的提升

●張 嵐
(慈溪中學(xué) 浙江慈溪 315300)

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的具體內(nèi)容體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)有序推進的步驟.而解析幾何借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何問題，問題一般涉及的變量多，運算量大，是考查數(shù)學(xué)運算能力的重要載體.文章以解析幾何教學(xué)為載體，從分析題意、設(shè)計算法、題后反思等維度談?wù)務(wù)n堂教學(xué)中數(shù)學(xué)運算能力的提升，以及反思課堂教學(xué)中應(yīng)注意的幾個重要環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);運算能力;解析幾何教學(xué);教學(xué)反思

隨著教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》的發(fā)布，“核心素養(yǎng)”成為熱門詞匯[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，而是強調(diào)獲取數(shù)學(xué)知識、解決實際問題的思維品格和綜合能力.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是與生俱來的，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，是可以通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、反思、積累、應(yīng)用的過程逐漸養(yǎng)成的.

“如何在課堂教學(xué)中落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？在教學(xué)過程中，如何尋找培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑？”這是值得每位教師思考的問題.筆者以解析幾何教學(xué)為載體，重點談?wù)勱P(guān)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的一些想法.

1 試題再現(xiàn)

圖1

2 運算教學(xué)的課堂實踐

2.1 分析題意，明確運算方向

師：解決第2)小題的關(guān)鍵是什么？

生1：關(guān)鍵是條件|CM|=|DN|的轉(zhuǎn)化.

師：該如何轉(zhuǎn)化呢？

生1：線段長度用兩點間距離來表示:

師：的確，變量多會阻礙式子的化簡.那如何減少變量呢？

生2：因為這些點都在直線上，所以可以利用y=kx+m，將所有的縱坐標(biāo)y用橫坐標(biāo)x來表示，可得

即

生3：老師，這不就是弦長公式嗎？

師：生2的回答展示了弦長公式的推導(dǎo)過程.當(dāng)2個點在同一條直線上時，可以用弦長公式來表示兩點間距離，這比直接用兩點間距離公式要簡潔很多.接下來該如何整理這個式子呢？

生4：因為直線和橢圓相交，所以我想應(yīng)該和韋達定理聯(lián)系起來，嘗試去掉絕對值，可得

從而

xM+xN=xC+xD，

正好可以應(yīng)用韋達定理來表示.

師：非常好.通過大家的討論，通過條件的轉(zhuǎn)化，得到一個簡潔對稱的數(shù)學(xué)表達式，這個式子有什么意義呢？

生5：說明線段MN和線段CD的中點重合.

生6：用坐標(biāo)表示斜率，可得

再結(jié)合點C,D在直線y=kx+m(其中k>0)上，消去y化簡式子.

設(shè)計意圖 仔細審題、分析題目、弄懂題意是解題運算的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生理解運算對象，從而探索正確的運算方向.在課堂上，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生將題目條件逐一進行轉(zhuǎn)化，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子進行表示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化化歸的能力.此題分析的探索過程，滲透了轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等豐富的數(shù)學(xué)思想方法，也有效地提升了學(xué)生的邏輯思維能力.

2.2 設(shè)計算法，求得運算結(jié)果

在運算方向的指引下，學(xué)生在課堂上動手操作，設(shè)計運算求解的程序，力求得到正確的運算結(jié)果.

(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0,

從而

Δ=64m2k2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,

即

4k2-m2+1>0,

于是

將韋達定理代入得

那么此式該如何計算？

(大家不禁佩服生8的運算能力，變繁為簡，化腐朽為神奇!)

又直線y=kx+m(其中k>0)與線段F1F2、橢圓短軸分別交于點M,N(點M,N不重合)，從而

師：生9將題意分析得很透徹，考慮非常全面，大家做題時也要仔細尋找線索.現(xiàn)在萬事俱備，只欠結(jié)果了，請大家算一算吧.

(教師巡視，指出學(xué)生運算中的錯誤.)

設(shè)計意圖 在明確運算方向后，關(guān)鍵就在于掌握正確的運算法則，求得正確的運算結(jié)果.運算能力的培養(yǎng)，需要教師舍得花時間在課堂上板演，或者舍得花時間讓學(xué)生進行運算求解、展示解題過程，然后師生共同分析錯誤原因，最后求得正確結(jié)果.若課堂上只講解題思路分析，不講計算過程，則學(xué)生碰到類似的計算很可能就無從下手，直接放棄.只有在課堂上重視運算求解的過程，才能使學(xué)生重視運算求解，并在運算的過程中掌握運算法則，領(lǐng)會運算技巧，避免運算錯誤，提高運算的正確性，真正提升數(shù)學(xué)運算的能力.

2.3 題后反思，提升運算能力

下面只要應(yīng)用韋達定理就可以表示這個式子了，化簡得

此時，又有生12提出：利用我們所習(xí)得的結(jié)論:在橢圓中，

得

然后利用韋達定理，代入運算即可.

師：生12能將所學(xué)知識靈活應(yīng)用，融會貫通，值得我們學(xué)習(xí).通過今天的解析幾何運算學(xué)習(xí)，你有什么體會？大家可以相互交流，并應(yīng)用到以后的學(xué)習(xí)中去.

設(shè)計意圖 題后總結(jié)反思是提升解題能力、提高學(xué)生素養(yǎng)的必經(jīng)之路.反思解題方法，反思運算過程，反思知識的前后聯(lián)系，能使學(xué)生更全面地認識問題的本質(zhì).解題方法的多樣性有助于拓展學(xué)生的思維，有助于分析各種解題方法的優(yōu)劣獲得問題的最優(yōu)解，有助于解題經(jīng)驗的積累和交流，有助于提高運算能力、提升問題解決的能力.

3 數(shù)學(xué)運算教學(xué)的思考

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的表現(xiàn)形式，體現(xiàn)了對運算要求的層層遞進，也體現(xiàn)了教學(xué)中有序推進運算能力培養(yǎng)的步驟.而解析幾何借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何問題，問題一般涉及的變量多，運算量大，是考查數(shù)學(xué)運算能力的重要載體[2].解析幾何教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)，可以從以下幾個方面入手:

3.1 理解概念，夯實運算根基

高中階段整個數(shù)學(xué)體系是由概念組建起來的，概念教學(xué)的重要性不言而喻，準(zhǔn)確理解概念是運算成功的重要根基.而學(xué)生產(chǎn)生錯誤的原因之一就是概念理解出錯，或者概念理解不全.例如第1)小題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是對概念的考查，有些學(xué)生會誤把長軸長當(dāng)成a的值來計算，出現(xiàn)錯誤.

因此,教師在課堂上要把概念講清講透，挖掘概念的內(nèi)涵外延，建立概念之間的聯(lián)系，強化學(xué)生對概念的理解和掌握，并以題組的形式加以辨析.從形到數(shù)，從數(shù)到形，相互結(jié)合，這樣才能完善概念的認知結(jié)構(gòu)，真正意義上做到理解運算對象，在解題中多一份勝算.比如“問題串”的設(shè)計就是一種行之有效的教學(xué)策略，引領(lǐng)著學(xué)生的思維朝著正確的方向發(fā)展，進而促成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.

3.2 掌握模型，獲得運算經(jīng)驗

培養(yǎng)學(xué)生解決解析幾何問題的能力，首先要加強基礎(chǔ)題型訓(xùn)練，使學(xué)生清晰地理解、記憶基本公式與定理，掌握基本技能和方法，通俗地講就是弄清楚套路，力求達到規(guī)范、熟練、快捷的程度，直至獲取基本的數(shù)學(xué)運算經(jīng)驗.

3.3 轉(zhuǎn)化化歸，明確運算方向

培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力，需要重視解題思路的分析，需要充分挖掘所求問題的代數(shù)特征和圖形特征，尋求與已有知識的契合點，并以此為切入點進行解題.將問題轉(zhuǎn)化為與原問題等價且易于解決的問題，與已有的解題經(jīng)驗相結(jié)合，將陌生變?yōu)槭煜?，使原本看起來比較棘手的問題柳暗花明.

3.4 優(yōu)化策略，提升運算

3.5 強化計算，突破運算難關(guān)

學(xué)生在明確運算方向、設(shè)計運算程序之后，與求得正確的運算結(jié)果還有一段距離.雖說只有一步之遙，卻也會發(fā)生“錯一步，滿盤皆輸”的局面.那么作為教師，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重視運算的思維過程，鼓勵學(xué)生敢算、多算.一方面教師在課堂中應(yīng)重視運算過程的演示、算法分析，不可以一句“課后自己去算”草草了事.另一方面，教師在課堂中要舍得留出時間，放手讓學(xué)生運算，要給學(xué)生產(chǎn)生錯誤、展現(xiàn)錯誤的機會，從而一起分析產(chǎn)生錯誤的原因，修正錯誤的運算環(huán)節(jié).通過一次次的出錯、糾錯、反思、總結(jié)，慢慢悟出正確的運算方法和運算結(jié)論，提升運算能力，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神.

總之，數(shù)學(xué)運算能力的提升是一個循序漸進、螺旋上升的過程.教師要做好教學(xué)的頂層設(shè)計，站在系統(tǒng)的高度規(guī)劃好達成教學(xué)目標(biāo)的每一步驟，引領(lǐng)學(xué)生逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[1] 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實核心素養(yǎng)的幾點思考[J].課程教材教法，2016(7):44-49.

[2] 趙國勝.將運算進行到底——以解析幾何教學(xué)為契機,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2013(36):26-29.

2017-02-27；

2017-03-29

張 嵐(1981-)，女，浙江慈溪人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-27-04