●于 彬 高振卿(東營(yíng)市勝利第六中學(xué) 山東東營(yíng) 257000)

從一次課堂例題講解中的意外生成談起*

●于 彬 高振卿
(東營(yíng)市勝利第六中學(xué) 山東東營(yíng) 257000)

數(shù)學(xué)是一步一步向上走的.文章通過(guò)一次課堂例題講解中的意外生成加深教師和學(xué)生對(duì)這句話的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成以及解題教學(xué)的追求提出幾點(diǎn)思考.

課堂例題;教學(xué)預(yù)設(shè);意外生成;解題教學(xué)

數(shù)學(xué)是一步一步向上走的.這句話出自日本教育家、數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏的名著《數(shù)學(xué)的思想、精神及方法》，對(duì)于一線教師來(lái)說(shuō)理解起來(lái)尚有一定的難度，更不用說(shuō)學(xué)生了.

但是，筆者在近期的課堂教學(xué)實(shí)踐中，借助一次課堂例題講解中的意外生成，結(jié)合自己對(duì)這句話的理解，加深學(xué)生對(duì)這句話的印象.以下進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

1 例題及說(shuō)明

圖1

該題是以鞏固銳角三角函數(shù)定義為主的習(xí)題課中的例3，其中例1是在直角三角形中求已知角的銳角三角函數(shù)值，例2是已知三角形中2個(gè)特殊內(nèi)角的三角函數(shù)值，求第3個(gè)角的度數(shù)，具有一定的綜合性，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)有一定的難度.

2 意外生成及說(shuō)明

在課堂教學(xué)中，例1、例2順利完成，接下來(lái)進(jìn)入例3的講解，筆者首先給學(xué)生留了10分鐘的獨(dú)立思考時(shí)間，接著讓學(xué)生說(shuō)一下自己的解題思路.

生1：還沒(méi)有思路……

生2：設(shè)DE=x，CE=y，在Rt△CED和Rt△CEB中2次應(yīng)用勾股定理即可.

這完全超出了筆者的預(yù)設(shè)，這是一種非常好的方法.看似是得到了一個(gè)二元二次方程組(解法1)，但將x2+y2作為一個(gè)整體帶入后便可順利求解.在肯定了該生解法的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)行了提示，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)圖中的一對(duì)相似三角形，又給學(xué)生留了幾分鐘的時(shí)間后，再讓學(xué)生回答解題思路.

生3一開(kāi)始的回答是按照筆者的預(yù)設(shè)進(jìn)行的，但是講到后面又回到了勾股定理，這讓筆者再次感到意外.筆者肯定了生3的解題思路(解法2)后，接著引導(dǎo)學(xué)生思考能否通過(guò)相似直接求得DE.此時(shí)生4搶答了……

生4的解題思路(解法3)和筆者最初的預(yù)設(shè)是完全一致的，在課堂教學(xué)中卻是“千呼萬(wàn)喚始出來(lái)”，特別是在最后生4還說(shuō)出了這種解法的優(yōu)點(diǎn)，這讓筆者感到很高興.當(dāng)筆者準(zhǔn)備講例4時(shí)，生5舉手了……

生5：老師,您在上節(jié)課中講過(guò)“在直角三角形中相似和銳角三角函數(shù)是從不同的角度看問(wèn)題”，那么這個(gè)題目完全可以避開(kāi)相似，直接利用∠ACB和∠CBE的角度相等，進(jìn)而余弦值相等，這樣就可以求得BE，接下來(lái)就和解法3一樣了(解法4).

此時(shí)班里響起了掌聲，筆者也為生5的解法感到意外和高興.這時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)距離下課時(shí)間還有3分鐘，講解例4是不可能了，這時(shí)“數(shù)學(xué)是一步一步向上走的”這句話卻浮現(xiàn)在了腦海里，于是在剩余的3分鐘里筆者首先用程序圖(如圖2所示)總結(jié)了例3的解題思路,并說(shuō)道：“通過(guò)例3的4種解法，同學(xué)們可以感覺(jué)到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部是相通的，用不同的知識(shí)可以解決同一個(gè)問(wèn)題，但是我們要體會(huì)不同方法的難易程度，比如思路是否容易想到、計(jì)算是否簡(jiǎn)單等等.同時(shí),同學(xué)們通過(guò)這個(gè)題目可以體會(huì)直角三角形中勾股定理、相似、銳角三角函數(shù)在解決同一個(gè)問(wèn)題時(shí)所帶來(lái)的不同‘感覺(jué)’，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)是螺旋上升的，是一步一步向上走的.”

圖2

3 解法展示

解法1 利用勾股定理.設(shè)DE=x，CE=y，在Rt△CED和Rt△CEB中應(yīng)用勾股定理可得

解得

故

解法2 利用勾股定理和直角三角形的相似.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE，

又∠ABC=∠CEB=90°，從而

△ACB∽△CBE，

于是

即

解得

CE=12.

在Rt△CED中,應(yīng)用勾股定理得

故

解法3 利用直角三角形相似.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE.

又∠ABC=∠CEB=90°，從而

△ACB∽△CBE，

于是

即

解得

BE=16，

進(jìn)而

故

解法4 利用銳角三角函數(shù).由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE，

從而

cos∠ACB=cos∠CBE，

于是

即

解得

BE=16，

進(jìn)而

故

4 幾點(diǎn)思考

4.1 課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)生成的

在本節(jié)課的課堂教學(xué)中，筆者雖然沒(méi)有完成例題4的教學(xué)，但是抓住了課堂教學(xué)中的意外生成，加深了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，收到了意想不到的教學(xué)效果.課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)生成的，隨時(shí)都有可能出現(xiàn)教師在備課中沒(méi)有預(yù)設(shè)到的事情，此時(shí)是將學(xué)生拉回還是讓學(xué)生說(shuō)下去，顯然筆者最后選擇了后者.接著生5又給出了新解法，這應(yīng)該算是這節(jié)課意外之中的意外了.

4.2 解題教學(xué)應(yīng)該追求什么

解題教學(xué)應(yīng)該追求什么？文獻(xiàn)[1]指出解題教學(xué)應(yīng)該追求解題成果的深化與擴(kuò)大，本課例中的意外生成及意外中的意外不正是成果深化和擴(kuò)大的一種體現(xiàn)嗎？文獻(xiàn)[2]指出解題教學(xué)應(yīng)該追求多思少算.解法1～4從勾股定理到直角三角形的相似到銳角三角函數(shù)正是思維層次加深、計(jì)算量減少的過(guò)程.此外，課堂小結(jié)中的一段話更是將學(xué)生的思考引入“深處”，從而實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)成果的最大化.

4.3 數(shù)學(xué)是一步一步向上走的

數(shù)學(xué)是一步一步向上走的.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該抓住任何時(shí)機(jī)讓學(xué)生體會(huì)這句話的意義，從而加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，打通知識(shí)之間的聯(lián)系.正如本課例中出現(xiàn)的例題明明可以利用直角三角形相似或銳角三角函數(shù)來(lái)解決，學(xué)生卻仍然用勾股定理的相關(guān)知識(shí)解決，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是：教師在課堂教學(xué)中沒(méi)有適時(shí)引導(dǎo)和滲透，從而學(xué)生沒(méi)有體會(huì)到“數(shù)學(xué)知識(shí)的螺旋上升”和“數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系”.期待上述課例中的“意外”可以對(duì)一線教師的課堂教學(xué)帶來(lái)一些啟示.

[1] 朱月祥.追求解題成果的深化與擴(kuò)大[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(11):19-20.

[2] 徐亮.多思少算：一種值得追求的解題教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(7):84-85.

2016-12-19；

2017-02-10

山東省東營(yíng)市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題(125DYJG195，125DYJG210)

于 彬(1984-)，男，山東泰安人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-19-03