楊劍英

我至今還清晰的記得，上高中時(shí)，物理老師發(fā)的第一張練習(xí)題的中縫，赫然印著這樣一句話：數(shù)學(xué)是上帝用來(lái)書(shū)寫(xiě)宇宙的語(yǔ)言。后來(lái)知道，這是意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、科學(xué)革命的先驅(qū)伽利略的一句名言。物理老師這么尊崇數(shù)學(xué)，使我對(duì)這門(mén)古老的學(xué)科產(chǎn)生了別樣的情感，讓我覺(jué)得，數(shù)學(xué)可能是基礎(chǔ)，不僅僅是理科的基礎(chǔ)，也是人類思維的基礎(chǔ)。

后來(lái)我學(xué)文科了，但是，文科依舊離不開(kāi)數(shù)學(xué)，因?yàn)楦呖家?，只是難度不同于理科罷了。在應(yīng)試教育的昨天，隨著大學(xué)的專業(yè)的學(xué)習(xí)，許許多多高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)拋之九霄云外了，但是，一些數(shù)學(xué)思維的方法卻深深地烙在了腦海中，也許，這就是愛(ài)因斯坦所言：走出校門(mén)后，把學(xué)校里學(xué)的知識(shí)全部忘記，剩下的東西就是教育。

在2015年9月23日上午第二節(jié)，我走進(jìn)了王斐斐老師的三年級(jí)的數(shù)學(xué)課堂，聆聽(tīng)了她講授的《搭配》一課。一同聽(tīng)課的還有區(qū)、市教研室的教研員和教研室主任們，好在王老師不認(rèn)識(shí)他們，她在課上并沒(méi)有過(guò)多的思想壓力，講的自然流暢，學(xué)生也學(xué)得認(rèn)真投入，渾然不管你是什么領(lǐng)導(dǎo)在聽(tīng)課。我心中竊喜：這才是為了兒童的教學(xué)！這才是為了兒童的課堂！

短短的40分鐘，三年級(jí)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)容并不多，但是王老師始終把數(shù)學(xué)建模的思想貫穿其中，并把建模作為兒童思維發(fā)軔的助推器，助力三年級(jí)小孩子們的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。其中，模型思想至關(guān)重要，因?yàn)?，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。

一、“上衣和裙子有幾種搭配方法？”：從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型

王老師在課的開(kāi)始，把不同顏色的兩件上衣和三件裙子的小剪紙貼在黑板上，她首先提出了一個(gè)問(wèn)題，什么叫做“搭配”？三年級(jí)的兒童對(duì)“搭配”的概念不一定完全講得清楚，有幾個(gè)孩子陸續(xù)的以自己的話語(yǔ)系統(tǒng)，闡釋了對(duì)“搭配”的理解。

這可能就是英國(guó)著名物理化學(xué)家、思想家波蘭尼說(shuō)的“緘默知識(shí)”吧！波蘭尼認(rèn)為人類的知識(shí)有兩種，通常所說(shuō)的知識(shí)是用書(shū)面文字或地圖、數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá)的，這只是知識(shí)的一種形式，還有一種知識(shí)是不能系統(tǒng)表述的，例如我們有關(guān)自己行為的某種知識(shí)，就不能系統(tǒng)表述。如果我們將前一種知識(shí)稱為顯性知識(shí)的話，那么我們就可以將后一種知識(shí)稱為緘默知識(shí)。我認(rèn)為，緘默知識(shí)是相對(duì)的。在兒童的思維發(fā)展過(guò)程中，某種知識(shí)在一定階段對(duì)某些兒童來(lái)說(shuō)是“緘默知識(shí)”，而在另一階段對(duì)另一些兒童來(lái)說(shuō)可能就是“顯性知識(shí)”。當(dāng)然，有的知識(shí)可能永遠(yuǎn)都是緘默知識(shí)，比如某些生活體驗(yàn)，只可意會(huì)不能言傳。課堂上，盡管學(xué)生不能完整或者較完整的說(shuō)出“搭配”的含義，但是，通過(guò)后來(lái)的實(shí)際操作，我發(fā)現(xiàn)孩子們都理解了。

“搭配上衣和裙子”也就是生活中的穿衣服，這是一種生活的實(shí)際問(wèn)題，“有幾種搭配的方法？”，就是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題。由此，學(xué)生開(kāi)始體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系，也就是體會(huì)和理解“有幾種搭配的方法？”的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際生活“穿衣服”的聯(lián)系，開(kāi)始有了初步的數(shù)學(xué)模型思想了。

二、“請(qǐng)同學(xué)們把幾種搭配的方法展示出來(lái)”：小中見(jiàn)大的建模過(guò)程

當(dāng)學(xué)生在各自的小展板上把所有的搭配方法列出來(lái)的時(shí)候，王老師讓大家把“成果”展示到講臺(tái)的大黑板上。一種，兩種，三種……學(xué)生竟然搞出了五種思路，一一展示給大家，同學(xué)們互相分享了不同的“搭配”思路和方法。作為聽(tīng)課的我們，也拓展了對(duì)此問(wèn)題的看法，原來(lái)孩子們的思維是這樣的活躍！

王老師在引導(dǎo)孩子們“思考——?jiǎng)邮帧故尽钡倪^(guò)程，小中見(jiàn)大，其實(shí)就是一個(gè)建模的過(guò)程。理論上講，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程有七步：模型準(zhǔn)備——模型假設(shè)——模型建立——模型求解——模型分析——模型檢驗(yàn)——模型應(yīng)用與推廣。王老師在這個(gè)小小的問(wèn)題中，把這七步都做到了，完成了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

在模型準(zhǔn)備中，王老師讓孩子們明確了“衣裙搭配”的實(shí)際意義，掌握兩件上衣和三件裙子的信息?！坝袔追N搭配方法？”，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題，符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。在模型假設(shè)中，王老師根據(jù)“衣裙搭配”的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，例如：王老師提出“假設(shè)一件上衣不變，可以搭配幾條裙子呀？”“同學(xué)們，試著搭配一下！”這樣的話語(yǔ)，提出問(wèn)題的假設(shè)。在模型建立中，王老師引導(dǎo)學(xué)生在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)倪B線、排列、分組等數(shù)學(xué)工具來(lái)描述“上衣”和“裙子”搭配之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在模型求解中，王老師引導(dǎo)學(xué)生們利用獲取的數(shù)據(jù)資料“2件上衣”和“3條裙子”，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算，學(xué)生這時(shí)候的計(jì)算方法有多種，有的用加法，有的用乘法。在模型分析中，王老師讓不同思路的學(xué)生上臺(tái)對(duì)其思路進(jìn)行闡述，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，學(xué)生的思路非常廣泛，表現(xiàn)也很踴躍，體現(xiàn)了這節(jié)課的思維含量。在模型檢驗(yàn)中，王老師引導(dǎo)孩子們將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。因?yàn)橹挥小皟杉弦潞腿棺拥拇钆洹?，所以，學(xué)生們的模型分析結(jié)果和實(shí)際情形是一致的，總共有“6種搭配方法”。在模型應(yīng)用與推廣中，王老師做了一個(gè)大膽的嘗試，因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣于用加法的思維考慮這種搭配問(wèn)題，當(dāng)實(shí)際情形數(shù)量少的時(shí)候，可以用加法完成，王老師問(wèn)“當(dāng)20件上衣和30件裙子搭配時(shí)，有多少種搭配方法呢？”，顯然用加法一一相加不現(xiàn)實(shí)了，學(xué)生們和自然的選擇了20X30=600的計(jì)算方法。模型的推廣就是在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上對(duì)模型有一個(gè)更加全面，考慮更符合現(xiàn)實(shí)情況的模型，這樣，學(xué)生就對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建立了一個(gè)更加符合現(xiàn)實(shí)情況的模型了，不再是一味追求加法的思維定式。

三、“他們是怎樣做到搭配的不重復(fù)、不遺漏的？”：反思建模對(duì)兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)軔的助推作用

同時(shí)聽(tīng)課的青島市教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研員劉老師告訴我，這節(jié)課就是培養(yǎng)孩子們“有序思考”的能力，因此，在衣裙搭配上，孩子們能避免“搭配的不重復(fù)、不遺漏”，思維訓(xùn)練的目標(biāo)就是達(dá)成了。

王老師在學(xué)生上臺(tái)展示的過(guò)程中，把“他們是怎樣做到搭配的不重復(fù)、不遺漏的？”這個(gè)問(wèn)題，重重的拋給了學(xué)生，而學(xué)生卻一一解答出來(lái)。

在現(xiàn)實(shí)生活中，要描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音、錄像、比喻、傳言等等。為了使描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語(yǔ)言來(lái)描述各種現(xiàn)象，這種語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)。王老師在本節(jié)課中描述“搭配”這種有序思考時(shí)，就用了“不重復(fù)、不遺漏”的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程。

學(xué)生們用建模檢驗(yàn)告訴我們，他們理解了“不重復(fù)、不遺漏”的“搭配”有序思考，這也是一種緘默知識(shí)，只可意會(huì)，不可言傳。

在數(shù)學(xué)建?！筚愔袊?guó)的賽事資訊中提到，數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。這種應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模。

無(wú)疑，兒童數(shù)學(xué)思維的發(fā)軔，并不是讓兒童對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（例如本節(jié)課的衣裙搭配問(wèn)題）的直接描述或者復(fù)述，而是需要兒童對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致的觀察、分析、思考，又要用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，或者是加法，或者是乘法，當(dāng)然，一開(kāi)始能想到用乘法的兒童，他們對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的一二年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用了，科學(xué)的數(shù)學(xué)思維初現(xiàn)端倪。

有人說(shuō)，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)讓純粹數(shù)學(xué)家變成物理學(xué)家、生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至心理學(xué)家等等的過(guò)程。也就是說(shuō)，不論是用數(shù)學(xué)方法在科技領(lǐng)域、生產(chǎn)領(lǐng)域、甚至社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域解決哪類實(shí)際問(wèn)題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，并加以計(jì)算求解，當(dāng)然，在當(dāng)今利用計(jì)算機(jī)輔助求解，會(huì)更迅捷、準(zhǔn)確。這就是數(shù)學(xué)思維。

兒童時(shí)期數(shù)學(xué)思維的發(fā)軔，對(duì)其一生的思維發(fā)展影響很大。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿建模思想，助推兒童數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，便成了每一位數(shù)學(xué)啟蒙教育者肩頭的重任了。