金利善

青島市技師學(xué)院

節(jié)點(diǎn)電壓分析法的解題步驟

金利善

青島市技師學(xué)院

電路分析的網(wǎng)絡(luò)方程法有：2b方程法、支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、網(wǎng)孔電流法和回路法。本文結(jié)合實(shí)例，利用基爾霍夫電流定律（KCL）和VCR導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式，介紹節(jié)點(diǎn)電壓分析法的解題步驟。

KCL定律；節(jié)點(diǎn)電壓；自電導(dǎo)；互電導(dǎo)

基爾霍夫電流定律（KCL）的表述方式之一：對于集總參數(shù)電路，在任意時刻，流出電路任一節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流入該節(jié)點(diǎn)的電流之和，即I出=I入。在電路中任選一節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，其余各節(jié)點(diǎn)（稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)）與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓稱為節(jié)點(diǎn)電壓。節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向規(guī)定為由獨(dú)立節(jié)點(diǎn)指向參考節(jié)點(diǎn)。由于參考節(jié)點(diǎn)的電位為零，因此某個節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓就是該節(jié)點(diǎn)的電位。

根據(jù)VCR（支路電壓U與支路電流I關(guān)系）,可以用節(jié)點(diǎn)之間的電壓表示支路電流：如圖，電壓、電流取關(guān)聯(lián)方向。假設(shè)節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)②的節(jié)點(diǎn)電壓分別為U10和U20，節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)②之間的電導(dǎo)為G1，從節(jié)點(diǎn)①經(jīng)過G1流出且流入節(jié)點(diǎn)②的電流為G1（U10-U20）,從節(jié)點(diǎn)②經(jīng)過G1流出且流入節(jié)點(diǎn)①的電流為G1（U20-U10）。

一、由KCL定律和VCR方程導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式

圖示電路由電導(dǎo)和理想電流源（理想電流源與電導(dǎo)并聯(lián)）組成,已知電路參數(shù)。設(shè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電壓U10、U20、U30。

將支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示，列寫KCL方程。

節(jié)點(diǎn)①：G1（U10-U20）+G5U10+G6（U10-U30）=IS1

節(jié)點(diǎn)②：G1（U20-U10）+G2（U20-U30）+G4U20=-IS1

節(jié)點(diǎn)③：G2（U30-U20）+G6（U30-U10）-G3U30=IS3

整理得：

（G1+G5+G6）U10-G1U20-G6U30=IS1

-G1U10+（G1+G2+G4）U20-G2U30=-IS1

-G6U10-G2U20+（G2+G3+G6）U30=IS3

假設(shè)：

節(jié)點(diǎn)①的自電導(dǎo)G11=G1+G5+G6

節(jié)點(diǎn)②的自電導(dǎo)G22=G1+G2+G4

節(jié)點(diǎn)③的自電導(dǎo)G33=G2+G3+G6

節(jié)點(diǎn)①與節(jié)點(diǎn)③（或節(jié)點(diǎn)②與節(jié)點(diǎn)①）的互電導(dǎo)G12=G21=-G1；

節(jié)點(diǎn)②與節(jié)點(diǎn)③（或節(jié)點(diǎn)③與節(jié)點(diǎn)②）的互電導(dǎo)G23=G32=-G2；

節(jié)點(diǎn)③與節(jié)點(diǎn)①（或節(jié)點(diǎn)①與節(jié)點(diǎn)③）的互電導(dǎo)G31=G13=-G6；

可見，自電導(dǎo)恒為正，互電導(dǎo)恒為負(fù)。

電流源流入取“+”，流出取“-”，則流入節(jié)點(diǎn)①的電流源的代數(shù)和IS11=IS1，流入節(jié)點(diǎn)②的電流源的代數(shù)和IS22=-IS1，流入節(jié)點(diǎn)③的電流源的代數(shù)和IS33=IS3。

從而得到，3個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式

G11U10+G12U20+G13U30=IS11

G21U10+G22U20+G23U30=IS22

G31U10+G32U20+G33U30=IS33

解方程得獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓U10、U20、U30。

歸納：

各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓方程的一般形式為：

自電導(dǎo)×該節(jié)點(diǎn)電壓+∑互電導(dǎo)×相鄰節(jié)點(diǎn)的電壓=該節(jié)點(diǎn)電流源的流入電流（電流源流入取“+”，流出取“-”）。

上式中，方程左邊為該節(jié)點(diǎn)通過電導(dǎo)（電阻的倒數(shù)）流出的電流，包含兩項(xiàng)：

自電導(dǎo)電流項(xiàng)=自電導(dǎo)×本節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓；

∑互電導(dǎo)電流項(xiàng)=∑互電導(dǎo)×另一節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓；

方程組右邊稱為等效電流源的流入電流。

二、節(jié)點(diǎn)法解題步驟

1.選參考節(jié)點(diǎn)，標(biāo)出各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)序號,設(shè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓為電路變量。

2.用觀察法列寫各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程。

3.聯(lián)立方程求解節(jié)點(diǎn)電壓。

4.由節(jié)點(diǎn)電壓求各支路電壓和各支路電流，進(jìn)而求解其他電量。

三、各種情形下列獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電壓方程的方法

常規(guī)情形：

1.只有實(shí)際電流源（電流源與電阻并聯(lián)）時，參照一，直接列出節(jié)點(diǎn)電壓方程。

2.含有實(shí)際電壓源和實(shí)際電流源時，首先通過電源的等效變換，將電路中含有電壓源與電阻串聯(lián)的支路變成電流源與電阻的并聯(lián)支路，再列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程。見參考書P64例3-2，本文不再展開列出節(jié)點(diǎn)電壓方程。

特例情形：

1.節(jié)點(diǎn)之間有理想電壓源時，應(yīng)設(shè)置流過電壓源的電流參數(shù)I。見參考書P65例3-3。

2.節(jié)點(diǎn)之間有理想受控電壓源時，也應(yīng)設(shè)置流過理想受控電壓源的電流參數(shù)I。見參考書P74習(xí)題3-12。

3.支路含有電流源串接電阻時，該電阻不應(yīng)計入自電導(dǎo)和互電導(dǎo)。見參考書P74習(xí)題3-13。

結(jié)束語

1.節(jié)點(diǎn)電壓法是以節(jié)點(diǎn)電壓為電路變量的求解電路的方法。其方程的本質(zhì)是獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的KCL方程。

2.用該方法求解電路時，首先選擇參考點(diǎn)，接著列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程，然后聯(lián)立求解得節(jié)點(diǎn)電壓，再由此求解其他的電量。

3.對于含受控源的電路，應(yīng)將受控源視為獨(dú)立源列方程后，再找出控制量與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式作為補(bǔ)充方程，與其他方程聯(lián)立求解。

[1]石生主編.電路基本分析（第4版）