趙士魁+任娟+林建良

摘要：高中數(shù)學(xué)選修部分的微積分知識是幫助學(xué)生解決高中物理問題、理解物理概念的重要工具，筆者把微積分的知識應(yīng)用到課堂物理知識點的講解和物理問題的解決中去，聯(lián)系高考和全國物理競賽，為高中生今后學(xué)習(xí)大學(xué)物理知識做出了很好的鋪墊。

關(guān)鍵詞：微積分；物理教學(xué)；圓周運動；高考

一、引入微積分讓學(xué)生深入理解物理公式

1. 圓周運動

圓周運動中的線速度：為了描述物體經(jīng)過某位置附近運動的快慢，可以取一段很短的時間 ，物體在這段時間內(nèi)通過的弧長為 。比值 反應(yīng)了物體運動的快慢，叫做線速度，用 表示，即 ，線速度也有平均值和瞬時值之分。如果所取的時間間隔很小，這樣得到的就是瞬時速度，按照微分的形式為： ，角速度可以表示為： ，而 ，所以 從而得到 就是線速度和角速度的關(guān)系。

2. 勻速圓周運動向心加速度的證明

人教版必修二中指出：勻速圓周運動向心加速度表達式 可以從加速度公式 導(dǎo)出 ，但是并沒有進行詳細證明，粵教版必修二也沒有嚴格的證明，下面筆者將利用微積分來證明勻速圓周運動向心加速度表達式。因為是勻速圓周運動，所以

，時間極短易知：

再根據(jù)牛頓第二定律就可以得出向心力的表達式： 的結(jié)果 。

3.交流電有效值

大家比較熟悉是正弦交流電，電流峰值和有效值關(guān)系是： ，其實余弦交流電也是一樣的，下面進行證明。

交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來定義的，假設(shè)流過定值電阻的電流函數(shù)為余弦函數(shù)， ， 時刻的瞬時功率為

而

代入得

在一個周期內(nèi)電阻 上產(chǎn)生的熱量為

所以

假設(shè)有一個恒定電流 與其等效，在一個周期內(nèi)的熱量 為，且 ，所以 。

通過微積分計算，學(xué)生對這些基本公式有了深層次的理解，有助于他們的記憶和運用。

二、微積分為高中物理題目帶來新的解法

由數(shù)學(xué)知識可知，求某函數(shù)的極值時，可先令此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，找到自變量的取值，再求此值下的函數(shù)值即為最值。利用微分解釋有關(guān)函數(shù)極值問題，可以加深學(xué)生對物理意義的理解，避免繁雜的計算，提高解題效率。

例1：一小汽車從靜止開始以 的加速度啟動，恰有一自行車以 的速度從車邊勻速駛過，汽車在追上自行車前經(jīng)過多長時間后兩者距離最遠？此時距離是多少？

分析與解 t時刻兩者的距離為：

對 求導(dǎo)得：

令：

=0，

可得： ，把 帶入原式得：

例2：一小物塊以速度 沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上并由高臺上飛出，如圖所示.問高臺的高度 多大時，小物塊飛行的水平距離 最大？這個距離是多少？（ 取 ）

分析與解 設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為 ，根據(jù)機械能守恒定律得：

○1

小物塊做平拋運動的水平距離 和高度 分別為：

， ○2

。 ○3

以上三式聯(lián)立解得：

令 ，對 求導(dǎo)得：

當導(dǎo)數(shù)等于零，即 時飛行距離最大，代入計算：

三、微積分在高考和全國物理競賽試題中的應(yīng)用

近年來，全國物理高考和全國物理競賽都出現(xiàn)了考察微積分的題目，而且分值較重，筆者認為：微積分在物理題目中的應(yīng)用將是未來高考和競賽考察的重點，值得大家思考。

例1：（2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試）某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖谒椒较虺闹芫鶆蛏㈤_。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g.求

（i）噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（ii）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度。

分析與解：（i）在時間間隔 時間內(nèi)，可以為噴泉噴出的水柱保持速度 不變。

該時間內(nèi)，噴出水柱高度： ①

噴出水柱質(zhì)量： ②

其中 為水柱體積，滿足： ③

由①②③可得：噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為

（ii）設(shè)玩具底面相對于噴口的高度為

由玩具受力平衡得： ④

其中， 為水體對玩具底部的作用力。

由牛頓第三定律： ⑤

其中， 為玩具底部對水體的作用力。

為水體到達玩具底部時的速度

由運動學(xué)公式： ⑥

在很短 時間內(nèi)，沖擊玩具水柱的質(zhì)量為

⑦

由題意可知，在豎直方向上，對該部分水柱有動量定理

⑧

由于 很小， 也很小，可以忽略

⑧式變?yōu)?⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

例2：（第32屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題）如圖， 單原子理想氣體構(gòu)成的系統(tǒng)分別經(jīng)歷循環(huán)過程 和 。已知理想氣體在任一緩慢變化過程中，壓強 和體積 滿足函數(shù)關(guān)系 。

（1）試證明：理想氣體在任一緩慢變化過程的摩爾熱容可表示為

式中， 和 分別為定容摩爾熱容和理想氣體常數(shù)； （2）計算系統(tǒng)經(jīng) 直線變化過程中的摩爾熱容；

分析與解：（1）根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

實踐證明：把數(shù)學(xué)微積分知識滲透到高中日常物理教學(xué)中來，可以幫助學(xué)生簡便地解決高中物理問題、深層次理解物理概念，對學(xué)生的高考和物理競賽有很大幫助，對高中物理與大學(xué)物理的銜接也有積極作用。

參考文獻

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[3] 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第5版.北京：高等教育出版社， 2001：186.

趙士魁老師 廣州市番禺區(qū)城區(qū)大道1號 石碁第三中學(xué) 郵編 511450 郵箱784855245@qq.com 手機 18002209069