蔡文平++李曉梅

葉圣陶先生認(rèn)為：教育就是要養(yǎng)成良好的習(xí)慣，教師的任務(wù)就是幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣。隨著《課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施的逐漸深入，人們已經(jīng)深刻認(rèn)識到在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型、滲透模型思想的重要性。心理學(xué)研究表明，幼兒期和兒童期是人類學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成的關(guān)鍵期。引導(dǎo)小學(xué)生養(yǎng)成建模習(xí)慣有助于《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求落地生根。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要有意識地幫助學(xué)生養(yǎng)成建模的習(xí)慣。

一、明確建模意義，促進(jìn)學(xué)生自發(fā)建模

培養(yǎng)學(xué)生的建模習(xí)慣，教師首先要引導(dǎo)他們明確建模的意義。用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，因?yàn)榻Ｊ菍W(xué)生有效溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，建模是學(xué)生解決實(shí)際問題的有效工具，是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路。

弗賴登塔爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的正確方法就是引導(dǎo)學(xué)生對知識“再創(chuàng)造”，即由學(xué)生在自主或合作探究中“發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”出所要學(xué)習(xí)的知識。學(xué)生“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識的過程離不開建模。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中可以有效把握知識本質(zhì)，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題、分析問題和解決問題。建模時，教師借助有效的教學(xué)情境，引導(dǎo)他們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，并根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)對生活原型進(jìn)行適當(dāng)提煉、簡化和抽象，以便尋找和發(fā)現(xiàn)能充分反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生不斷思考，不斷分析、推論、綜合、概括，形成假設(shè)，并進(jìn)行驗(yàn)證，形成獨(dú)到見解，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型；解釋和應(yīng)用模型時，學(xué)生不是簡單地把模型當(dāng)成固定思維程序進(jìn)行機(jī)械記憶和重復(fù)應(yīng)用的過程，而是靈活合理地選擇、確定問題解決策略的過程；模型拓展過程是學(xué)生思維向更高點(diǎn)發(fā)展的過程，為學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展提供了可能。建模過程的思維活動體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)。因此，數(shù)學(xué)建模不但能幫助學(xué)生密切數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，而且為他們提供了充滿探索與交流、猜測與驗(yàn)證的活動平臺，能促進(jìn)他們思維發(fā)展，利于學(xué)習(xí)積極性和主動性的提升。簡而言之，學(xué)會建模，甚至養(yǎng)成建模習(xí)慣有利于學(xué)生全面提升自己的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

學(xué)生明白了建模習(xí)慣養(yǎng)成的重要性，就會自發(fā)按照教師的要求去嘗試建模。但小學(xué)生由于建模能力有限，注意力集中時間有限，學(xué)習(xí)興趣和情緒變化起伏大，建模具有一定的隨意性和情境性，建模常顧此失彼，無法完全到位，因而不夠穩(wěn)定，需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)。

二、掌握建模方法，促進(jìn)學(xué)生自覺建模

猜測驗(yàn)證是學(xué)生建模的主要方法。猜測是學(xué)生建模的開始，驗(yàn)證是確定猜測的正確性，是學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)過程，主動建模、獲取知識的主要過程。對小學(xué)生而言，常見的建模過程包括逆向思考中建模，分析綜合中建模，歸納演繹中建模和類比推理中建模等。

逆向思考中建模。所謂逆向思考中建模就是逆著正常思維過程去分析、思考和建模的方法。教學(xué)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”時，有這樣一道題：“有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制（每場比賽淘汰1支球隊）進(jìn)行。數(shù)一數(shù)，一共要進(jìn)行多少場比賽才能產(chǎn)生冠軍？如果有64支球隊參加比賽，產(chǎn)生冠軍要比賽多少場？”一般情況下，教師都是引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“比賽場數(shù)=球隊支數(shù)÷2+球隊支數(shù)÷2÷2+……+2+1”這樣的模型；如果逆向思考，產(chǎn)生1名冠軍，需要淘汰其他所有隊，從而建構(gòu)“比賽場數(shù)=球隊數(shù)-1”的模型。逆向思考對學(xué)生建模和培養(yǎng)創(chuàng)新意識都有著十分重要的作用。

分析綜合中建模。所謂分析綜合中建模，就是學(xué)生在探究新知中把整體分解為部分或把部分結(jié)合為整體的建模方法。用分析綜合法建?？梢詭椭鷮W(xué)生順利發(fā)現(xiàn)反映本質(zhì)聯(lián)系的數(shù)學(xué)規(guī)律模型。教學(xué)“解決問題的策略——列舉”時，有這樣一道例題：“南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽。有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍(lán)隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？”教師可以根據(jù)題目中的信息分別列舉出各場比賽情況并排一排：紅-黃，紅-綠，黃-藍(lán)，紅-藍(lán)，黃-綠，綠-藍(lán)；教師也可以在分析中畫圖列舉（如圖1），從而建立圖論模型。引導(dǎo)學(xué)生在分析綜合中建模，有助于學(xué)生順利解決較復(fù)雜的實(shí)際問題。

這些建模方法是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的方法，也是學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識的過程。掌握這些方法，學(xué)生建模就比較順利。當(dāng)然，不同建模過程的特點(diǎn)和使用條件有所區(qū)別，教師要引導(dǎo)他們學(xué)會根據(jù)具體情況靈活掌握使用。隨著學(xué)生的認(rèn)識水平的提高、自我控制能力的增強(qiáng)等因素的變化，學(xué)生在掌握一些常見的建模方法后，就能逐漸把建模行為視作內(nèi)心的一種需求，建模便會逐步形成一種自覺行為。但這時的建模行為還多多少少帶有一點(diǎn)主觀情感的色彩，還具有一定的依賴性。

三、積累建模經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生自動建模

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是建立在一定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的。建模習(xí)慣的養(yǎng)成也不例外。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求。我們將小學(xué)生在建?；顒又兴纬傻臄?shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)稱為建?；顒咏?jīng)驗(yàn)。幫助學(xué)生積累建模活動經(jīng)驗(yàn)不但有助于學(xué)生熟練建模，而且有助于學(xué)生養(yǎng)成建模習(xí)慣，甚至能幫助學(xué)生把建模習(xí)慣達(dá)到自動化的程度。

幫助學(xué)生積累建?；顒咏?jīng)驗(yàn)，需要教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平、已有生活經(jīng)驗(yàn)和知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)設(shè)計有效的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生在熟悉且有意義的問題情境中形成并積累一些新的建模經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)“釘子板上的多邊形”時，教師先出示一塊釘子板，并說明釘子板上相鄰兩個釘子之間的距離都是1厘米，然后由師生分別在釘子板上用毛線圍多邊形，比一比：說出它們的面積各是多少？結(jié)果總是教師既正確又快速地給出答案。小學(xué)生的好勝心強(qiáng)，比賽失利充分激發(fā)了他們的探究欲望。學(xué)生根據(jù)直覺猜測圖形的面積與多邊形邊上和內(nèi)部的釘子數(shù)可能有關(guān)。于是，學(xué)生在猜測驗(yàn)證中建構(gòu)了圖形內(nèi)釘子數(shù)為1的面積計算模型——a=1時，S=n÷2（a表示多邊形內(nèi)的釘子數(shù)，S表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)），并且初步形成建模經(jīng)驗(yàn)——猜測驗(yàn)證有助于建模，但可能有一定的前提條件。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在類比推理中繼續(xù)建構(gòu)出a=2時S=n÷2+1，a=3時S=n÷2+2，a=4時S=n÷2+3和a=5時S=n÷2+4等數(shù)學(xué)模型，最終建構(gòu)了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型S=n÷2+a-1，并有效豐富和提升了建?；顒咏?jīng)驗(yàn)——構(gòu)建的模型形式似乎不同，但本質(zhì)一致。學(xué)生在建?；顒又胁粩喾e累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握建模方法，為學(xué)生順利養(yǎng)成建模習(xí)慣奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)生的建模達(dá)到了一種不假思索的程度（即自動建模）階段。這是學(xué)生的一種行為定勢，建模已經(jīng)成為他們習(xí)慣性的條件反射，并且達(dá)到了自動化境界，并慢慢地內(nèi)化成他們自己個性品質(zhì)結(jié)構(gòu)中的有機(jī)組成部分。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模習(xí)慣養(yǎng)成是教師有意引導(dǎo)他們不斷“重復(fù)”建模的結(jié)果。如果學(xué)生真的能明確建模意義、掌握建模方法、積累建模經(jīng)驗(yàn)，他們的建模習(xí)慣就會從自發(fā)階段上升到自覺階段，最終到達(dá)自動階段。正如俄羅斯教育家烏申斯基所說的：習(xí)慣是教育力量的基礎(chǔ)，是教育活動的杠桿。如果學(xué)生真正養(yǎng)成了建模習(xí)慣，教師的課堂教學(xué)就會事半功倍。當(dāng)然，行為習(xí)慣的形成是一個漫長的階段，良好的建模習(xí)慣離不開教師的耐心糾正和及時鞏固。

（作者單位：江蘇省泰興市襟江小學(xué) 江蘇省泰興市教師發(fā)展中心 本專輯責(zé)任編輯：王彬）