☉浙江紹興市建功中學(xué)曹青

一道課本習(xí)題背后的精彩

☉浙江紹興市建功中學(xué)曹青

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程目標(biāo)的總目標(biāo)部分明確指出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.上述目標(biāo)，無(wú)疑給教師的教學(xué)提出了更高的要求，可見教師教學(xué)時(shí)不僅要關(guān)注學(xué)生知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，也要關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng).本文就以一道九年級(jí)下學(xué)期的課本習(xí)題的教學(xué)為例，通過(guò)變形、推廣、延伸，展示教學(xué)的全過(guò)程，與同行交流.

一、原題呈現(xiàn)

九年級(jí)（下）“銳角三角函數(shù)”復(fù)習(xí)題中有這樣一道習(xí)題：“證明：三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半.”

看到這道題，學(xué)生可以畫出示意圖，并將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成如下的幾何語(yǔ)言.

如圖1，已知△ABC.

圖1

圖2

證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H.

分析：本題是三角函數(shù)與思想方法的綜合運(yùn)用，是求三角形面積的一種重要方法，教材中以習(xí)題方式呈現(xiàn)，就

∴AH=AC·sin C.是給學(xué)生一種求三角形面積的新方法的探索機(jī)會(huì).筆者認(rèn)為本題在一章的最后復(fù)習(xí)題中出現(xiàn)，也是想讓學(xué)生能從這個(gè)結(jié)論中經(jīng)歷探索其他四邊形面積的求法的過(guò)程，而并非讓學(xué)生就題論題，只要解決本題即可.教師在教學(xué)本題時(shí)，要注重引導(dǎo)學(xué)生注意文字語(yǔ)言向幾何語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換過(guò)程，需強(qiáng)調(diào)幾何語(yǔ)言的規(guī)范性，同時(shí)可以讓學(xué)生用多種方法證明，注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).從考查內(nèi)容上看，本題注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，同時(shí)特別強(qiáng)調(diào)對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、轉(zhuǎn)化思想的考查；從考查方式上看，本題試圖讓學(xué)生經(jīng)歷多種解法的思考過(guò)程，可見一題多解、尋找解題的通性通法仍然為解題教學(xué)一個(gè)永恒的話題；從考查意義上看，本題注重知識(shí)間連貫性的考查，一以貫之地將三角形面積的研究向四邊形面積的研究發(fā)展，是知識(shí)的拓展、運(yùn)用的延伸，提醒教師授課時(shí)要重視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、探究的過(guò)程，把更多思考的空間和時(shí)間留給學(xué)生.

二、其他版本教材的探究

教材，是命題的發(fā)源地，也是命題的天然素材，可謂取之不盡、用之不竭，每年都有大量的中考試題直接源于教材，或以此為基礎(chǔ)，改編、生成，煥然一新.所以，在中考復(fù)習(xí)前，用好教材這個(gè)重要的資源庫(kù)，大有裨益，畢竟教材是經(jīng)過(guò)專家多次打磨、精挑細(xì)選而成的作品，探其源、究其變、融其法一定是不可多得的捷徑.筆者翻閱人教版教材，發(fā)現(xiàn)也有類似的問(wèn)題.

人教版九年級(jí)（下）第85頁(yè)第12題如下：

?ABCD中，已知AB、BC及其夾角∠B（∠B是銳角），能求出?ABCD的面積S嗎？如果能，用AB、BC及其夾角∠B表示S.

圖3

解：看到這道題，學(xué)生可以畫出示意圖（如圖3）加以解決.連接AC，可以把?ABCD分成兩個(gè)全等的三角形，根據(jù)“三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可知=AB·BC·sin B，所以S=?ABCDAB·BC·sin B.

分析：本題是蘇科版教材習(xí)題的變形，難度略有上升.事實(shí)上，三角形是我們研究幾何圖形的基礎(chǔ)，當(dāng)三角形研究過(guò)后我們經(jīng)常會(huì)將其結(jié)論推廣到四邊形中，比如，全等三角形研究完后我們會(huì)研究全等四邊形，這是一種經(jīng)驗(yàn)的遷移，也是學(xué)生必須具備的研究數(shù)學(xué)的一種方式.平行四邊形又是四邊形中非常特殊的一種圖形，可以看作是由兩個(gè)全等的三角形所組成的，所以利用三角形的相關(guān)結(jié)論，很容易得到平行四邊形面積的求法.

三、一般化探究

研究完平行四邊形的面積，將條件再一般化，任意四邊形的面積的求法是否也可以用類似的方法研究呢？

圖4

解：連接AC，可以把四邊形ABCD分成兩個(gè)三角形，根據(jù)“三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可知S△ABC=AB·BC·sin B=AD·DC·sin D，所以S=四邊形ABCDAB·BC·sin B+AD·DC·sin D.

分析：本題是人教版教材習(xí)題的變形，將條件一般化進(jìn)行研究.事實(shí)上，此題的提出是學(xué)生十分容易想到的，因?yàn)樘厥馑倪呅窝芯窟^(guò)后，必然會(huì)對(duì)一般四邊形進(jìn)行研究，這也是我們研究數(shù)學(xué)的一種常用做法.從解題教學(xué)的角度看，此問(wèn)題“源”于學(xué)生對(duì)題目條件之間聯(lián)系性的理解，體現(xiàn)了知識(shí)間的連續(xù)性.

縱觀以上問(wèn)題，都“源”于課堂上經(jīng)驗(yàn)、方法的積累.事實(shí)上，“三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半”這一結(jié)論對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，課堂上教師也會(huì)研究，但是鑒于課堂進(jìn)度、教師未考慮學(xué)生思維的發(fā)展性等諸多原因，教師在教學(xué)時(shí)往往給予學(xué)生探索的時(shí)間和空間遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，使學(xué)生對(duì)這一結(jié)論的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用都偏淺，缺少該有的過(guò)程體驗(yàn)，也未能獲得該有的深層次結(jié)論.所以教學(xué)時(shí)，這一習(xí)題一定要用好，使其背后蘊(yùn)含的知識(shí)間的聯(lián)系讓學(xué)生深刻體會(huì)到.

四、推廣探究

上述研究?jī)H限于對(duì)三角形、四邊形的邊、角與面積之間的探索，僅僅體現(xiàn)了一法多用.而數(shù)學(xué)的教學(xué)又講究一題多解，所以對(duì)于四邊形我們還可以從對(duì)角線、對(duì)角線的夾角進(jìn)行深入研究.

如圖5，設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD所形成的銳角為α，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AH⊥BD，CG⊥BD，垂足分別為H、G.

圖5

∵在Rt△AHO與Rt△CGO中，AH=OA·sinα，CG=OC·sinα，

分析：此法將四邊形分割成兩個(gè)三角形進(jìn)行研究，從而求出四邊形的面積與對(duì)角線的長(zhǎng)及對(duì)角線的夾角之間的關(guān)系.此法源于學(xué)生對(duì)菱形面積求法的理解，八年級(jí)在學(xué)習(xí)菱形時(shí)，學(xué)生知道菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，繼而得到結(jié)論“只要一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，則它的面積總是等于對(duì)角線乘積的一半”，當(dāng)時(shí)所用到的方法就是將其面積拆分成兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行研究.

其實(shí)，此結(jié)論完全可以直接轉(zhuǎn)換成三角形的面積加以解決.

如圖6，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，在平行線上取CM=BD.

過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CM，垂足為N.

易得S四邊形ABCD=S△ACM.

∵CM∥BD，

∴∠ACM=∠AOB=α.

圖6

由“三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半”，可得S=MC·AC·sin∠ACM=MC·△ACMAC·sinα.

分析：此法巧妙地將四邊形的面積轉(zhuǎn)換成三角形的面積，繼而轉(zhuǎn)換成“題源”，將四邊形與三角形緊密相連，相當(dāng)巧妙.此法源于學(xué)生對(duì)三角形面積的求法的理解及對(duì)四邊形與三角形關(guān)系的理解，在學(xué)生的理解中，看到四邊形很容易聯(lián)想到三角形，從而進(jìn)行轉(zhuǎn)換.當(dāng)然，此解法還可以轉(zhuǎn)換成平行四邊形加以解決，如過(guò)點(diǎn)A、C作BD的平行線，過(guò)點(diǎn)B、D作AC的平行線，交點(diǎn)分別為E、F、G、H，則四邊形EFGH是平行四邊形，又知四邊形ABCD的面積是四邊形EFGH面積的一半，根據(jù)“人教版教材習(xí)題”可得結(jié)論.

將四邊形面積與邊、角的關(guān)系推廣到四邊形面積與對(duì)角線、對(duì)角線所成的銳角的關(guān)系并不是偶然，因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線是研究四邊形時(shí)重要的一個(gè)研究要素，很容易產(chǎn)生不同的作法、新的認(rèn)識(shí)，這就是學(xué)生在課堂上實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造的體現(xiàn).

弗萊登塔爾曾說(shuō)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”.故在課堂上模仿是需要的，如從三角形的邊、角、面積的研究到四邊形邊、角、面積的研究，但模仿只能讓學(xué)生“學(xué)會(huì)”，并未“會(huì)學(xué)”，所以教師要關(guān)注學(xué)生在課堂上知識(shí)的創(chuàng)新、整合，如從四邊形邊、角、面積的研究到四邊形對(duì)角線、夾角、面積的研究，讓學(xué)生經(jīng)歷已有的體驗(yàn)到未有的經(jīng)驗(yàn)過(guò)渡的過(guò)程，得到更多的收獲.

五、反思探究

上述研究結(jié)束后，可以讓學(xué)生回到最初的地方再次體會(huì)、感悟，比如，三角形的面積等于兩邊的長(zhǎng)與其夾角的正弦值的乘積的一半，即AC·BC·sin C，若∠C=90°，會(huì)怎么樣？這樣學(xué)生可以體會(huì)到當(dāng)∠C=90°時(shí)，=AC·BC，所以sin90°=1.讓學(xué)生感受到原來(lái)銳角之外也有三角函數(shù)，為日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)埋下伏筆.同時(shí)還能研究鈍角的問(wèn)題，讓學(xué)生感受鈍角三角函數(shù)的存在，這樣會(huì)加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)、三角形面積的求法的理解.

六、感悟思考

1.重結(jié)果更重過(guò)程.

中考的作用本是初中教學(xué)的指揮棒和方向標(biāo)，對(duì)平時(shí)的教與學(xué)起著指導(dǎo)性的作用.但隨著學(xué)校多方因素的干擾，“功利性”愈演愈烈，只求結(jié)果、注重高分，讓素質(zhì)教育流于形式，凡是中考考點(diǎn)一定進(jìn)行大量的機(jī)械訓(xùn)練，認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)等同于解題教學(xué)、題型教學(xué)，更甚者認(rèn)為是一種刺激—反應(yīng)—模仿的學(xué)習(xí)過(guò)程.這樣的模式嚴(yán)重遏制了學(xué)生能力的后續(xù)發(fā)展，所以日常的教學(xué)中一定要關(guān)注知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，課堂上，多給學(xué)生思考的時(shí)間和空間，樹立起正確的教學(xué)觀念，認(rèn)識(shí)到學(xué)生獲得知識(shí)必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上.文中三角形面積的探索恰好是很好的一例，在素質(zhì)教育的課堂上要多多出現(xiàn)，同時(shí)，課堂上要多鼓勵(lì)學(xué)生自主探究問(wèn)題，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生的發(fā)散性思維得到培養(yǎng).

2.重知識(shí)更重能力.

無(wú)論什么性質(zhì)的考試，都非常注重對(duì)“四基”的考查.所以教師的課堂教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).故在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)首先夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，確保深刻理解，同時(shí)鼓勵(lì)與提倡多樣化教學(xué)，不僅要求目標(biāo)、手段多樣化，更要注重解決問(wèn)題策略的多樣化，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，通過(guò)學(xué)生自主的思考、嘗試等過(guò)程，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，從而提高數(shù)學(xué)的能力.本題的出發(fā)點(diǎn)就是從一個(gè)簡(jiǎn)單的三角形公式出發(fā)，重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，教師教學(xué)時(shí)開展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得該有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

3.反思，不忘初心.

波斯納說(shuō)：經(jīng)驗(yàn)+反思=成功.所以無(wú)論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)都要有反思的過(guò)程.事實(shí)上，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，一定要多關(guān)注知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，把每節(jié)課上成一節(jié)生長(zhǎng)延伸數(shù)學(xué)課，從一個(gè)小問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維自由生長(zhǎng)，延伸出各式各樣的好問(wèn)題，把每一堂課的知識(shí)整合成一個(gè)體系，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系之間的聯(lián)系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，最終無(wú)論問(wèn)題延伸到何方，都要回過(guò)頭再去看那顆“初心”，這樣會(huì)有更高層次的理解，可謂“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”.本題的教學(xué)自成一個(gè)體系，從三角形出發(fā)，研究到四邊形，再推廣到多種方法，最后回到三角形，看到別人不曾看到的知識(shí).

一道課本習(xí)題，有簡(jiǎn)單的結(jié)論，有簡(jiǎn)單的方法，又有不簡(jiǎn)單的思考，不簡(jiǎn)單的精彩，中考復(fù)習(xí)時(shí)，一定要為學(xué)生數(shù)學(xué)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展考慮，這才是每位教師該做的.