☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校許瑩潔

一道“網(wǎng)研”幾何難題的思路探求與教學(xué)思考

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校許瑩潔

隨著網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)的普及，各地試題資源往往能借助于自媒體第一時(shí)間在一些QQ群、微信平臺(tái)上傳播，特別是一些設(shè)計(jì)精巧的較難平面幾何題往往能吸引很多同行的研究興趣，面對(duì)復(fù)雜的構(gòu)造，嘗試作輔助線但思路受阻的解題心得、柳暗花明貫通思路后的悠然神會(huì)，總是較難幾何題帶給我們的心理體驗(yàn).本文記錄最近在某QQ群里一道幾何難題的思路突破，同類(lèi)鏈接，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供分享.

一、考題及思路突破

考題1：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)P、Q分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為直徑作⊙M，與x軸交于另一點(diǎn)B.

（1）如圖1，若OQ=2OP，設(shè)線段PQ與線段OA交于點(diǎn)C，求證點(diǎn)C在⊙M上；

（2）若OQ=2OP，連接AQ，當(dāng)AQ與⊙M相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若OQ=2OP-4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，連接BQ交⊙M于D，小南同學(xué)經(jīng)過(guò)演算，發(fā)現(xiàn)BD·BQ的值不會(huì)發(fā)生變化！請(qǐng)判斷小南同學(xué)的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由.思路突破：

圖1

圖2

圖3

（1）這一小問(wèn)的關(guān)鍵是證出AO⊥PQ，這樣就有∠ACP= 90°，從而90°圓周角所對(duì)的弦AP是直徑，于是點(diǎn)C在圓M上！有了明確的目標(biāo)（證AO⊥PQ）之后，就容易想到證△AOB∽△POQ，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破.

（2）如圖3，當(dāng)QA與⊙M相切時(shí)，設(shè)P（m，0）、Q（0，2m），作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則容易證出△ADQ∽△ABP.于是，代入數(shù)據(jù)與參數(shù)得，從而得出m=.故點(diǎn)P的坐標(biāo)，0）.

（3）猜想BD·BQ的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：

圖4

圖5

由乘積式的形式，我們可聯(lián)想到過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BQ，交BO于G，這樣構(gòu)造出△BDG∽△BOQ，可得比例式=，化為乘積式BD·BQ=BO·BG，顯然，要想乘積式BD·BQ為定值，只要BG為定值即可，接下就是重點(diǎn)攻克BG是否為定值.連接AD、AB，可以根據(jù)互余的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換出兩組銳角相等，即∠BDA=∠PDG，∠ABD=∠PGD，于是△ABD∽△PGD，可得比例式.而前面的△BDG∽△BOQ會(huì)帶來(lái).可設(shè)P（m，0），則Q（0，2m-4）.代入比例式，解出PG=m-2.于是OG=OP-PG=m-（m-2）=2，至此柳暗花明、思路貫通：G為OB的中點(diǎn)！即BD·BQ=2×4= 8.

方法二：由上面方法的分析，解題的關(guān)鍵是求證G為OB的中點(diǎn).向著這一目標(biāo)，我們還可構(gòu)造直徑BF（延長(zhǎng)BM交圓于F），再連接FD交OB于G點(diǎn)，連接FP.我們可以得出PF=AB=2，∠GDB=∠FDB=90°，可以證出△FPG∽△BOQ，可得比例式所以PG=OQ.設(shè) P（m，0），則Q（0，2m-4），PG=m-2.于是OG=OP-PG=m-（m-2）=2.再由△BDG∽△BOQ，可得比例式則BD·BQ=BO·BG=2×4=8.問(wèn)題獲解.

二、解后反思、易錯(cuò)分析與同類(lèi)鏈接

易錯(cuò)分析：這道較難幾何題主要難在第（3）問(wèn)的思路突破.不但前兩問(wèn)不能啟發(fā)思路，反而前兩問(wèn)的求解會(huì)干擾思路.比如，筆者最初就是思考將第（3）問(wèn)轉(zhuǎn)向上一問(wèn)的模式進(jìn)行求解，考慮到OQ=2OP-4，由于4與OB的長(zhǎng)相等，故在Q點(diǎn)上方4個(gè)單位取點(diǎn)E，恰好此時(shí)OE= 2OP，從而構(gòu)造出圖6進(jìn)行分析，但是思路受阻.還有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是：在圖6中，連接OA，容易誤認(rèn)為A、O、D三點(diǎn)共線，也會(huì)造成思考走偏方向，導(dǎo)出矛盾.

圖6

從后來(lái)成功求解的圖4、圖5來(lái)看，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BQ是十分重要的，因?yàn)槿绱艘粊?lái)目標(biāo)就可明確為證G為OB的中點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題突破.

同類(lèi)鏈接：在思考上面考題的思路時(shí)，筆者曾網(wǎng)絡(luò)檢索，有一些同類(lèi)題，最早的貌似出自以下一道考題，這里不妨鏈接如下，供有興趣的同行對(duì)比、研習(xí).

考題2：（2002年湖北武漢中考題）如圖7，在直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng).B（4，2），以BE為直徑作⊙O1.

圖7

圖8

（1）若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與⊙O1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）在（1）的條件下，連接FB，幾秒時(shí)FB與⊙O1相切？

（3）如圖8，若點(diǎn)E提前2秒出發(fā)，點(diǎn)F再出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后，點(diǎn)E在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，設(shè)BA⊥x軸于點(diǎn)A，連接AF交⊙O1于點(diǎn)P，試問(wèn)：AP·AF的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由并求其值；若變化，請(qǐng)求其值的變化范圍.

說(shuō)明：限于篇幅，這里不再給出這道考題的解析，思路完全同考題1.

三、教學(xué)預(yù)設(shè)與變式再練

以下我們主要圍繞該題第（3）問(wèn)在解題教學(xué)時(shí)如何突破解題難點(diǎn)設(shè)計(jì)一些教學(xué)環(huán)節(jié).

先讓我們把第（3）問(wèn)重新表述如下：

考題3：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)P、Q分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且OQ=2OP-4.以AP為直徑作⊙M，與x軸交于另一點(diǎn)B.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，連接BQ交⊙M于D，求證BD·BQ的值不會(huì)發(fā)生變化.

輔助問(wèn)題1：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BQ交x軸于G，求證：△BDG∽△BOQ.

輔助問(wèn)題2：連接AD、AB、PD，求證：△PDG∽△ADB.

輔助問(wèn)題3：求證

輔助問(wèn)題4：設(shè)P（m，0），用含m的式子表示點(diǎn)Q的坐標(biāo).

輔助問(wèn)題5：求證G是OB的中點(diǎn)；

輔助問(wèn)題6：BD·BQ的值可以轉(zhuǎn)化為哪兩條線段之積？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：上述6個(gè)輔助問(wèn)題其實(shí)就是解題的系列步驟，輔助問(wèn)題就是問(wèn)題鋪墊，學(xué)生拾級(jí)而上，就可獲得問(wèn)題最終的突破.

在講評(píng)之后，還可跟進(jìn)如下的變式改編、鞏固再練.

變式再練：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，3），點(diǎn)M、N分別是x軸正半軸、y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AM為直徑作⊙P，與x軸交于另一點(diǎn)B.

（1）如圖9，若ON=2OM，設(shè)線段MN與線段OA交于點(diǎn)C，求證點(diǎn)C在⊙P上；

（2）若ON=2OM，連接AN，當(dāng)AN與⊙P相切時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

圖9

圖10

（3）如圖10，若ON=2OM-4，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，連接BN交⊙P于D.

①連接AD、DM，作DH⊥BN，交OB于H點(diǎn)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②求證BD·BN是一個(gè)定值.

四、兩點(diǎn)思考

1.難題求解重在思路突破，回到基本概念去尋找自然的解法.

難題之難常常在于讀不懂題意，或由于某些信息的干擾，導(dǎo)致解題方向走偏，耗時(shí)費(fèi)力.上面在考題1解后的易錯(cuò)分析中已指出筆者探求思路過(guò)程中一些“白勞”.而從最后成功求解的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，回到基本概念，構(gòu)造相似三角形是成功突破的關(guān)鍵.這也啟發(fā)我們解題時(shí)要善于回到基本概念去尋找自然而然的解題念頭，而不是鉆在一個(gè)模式之中跳不出思維定式.特別是像考題1這樣的前兩問(wèn)與第三問(wèn)并沒(méi)有多大關(guān)聯(lián)的試題，往往容易干擾我們的有效思考，值得警惕.當(dāng)然，這里也需要從命題角度展開(kāi)思辨，對(duì)于惜時(shí)如金的考場(chǎng)試題，如果把幾個(gè)無(wú)甚關(guān)聯(lián)的小問(wèn)拼湊在一起，看似有形式上的聯(lián)系，但解題思路卻無(wú)甚聯(lián)系，這種題建議慎用.

2.命題檢測(cè)慎用平面幾何難題，平時(shí)教學(xué)時(shí)可通過(guò)輔助問(wèn)題分解難點(diǎn).

根據(jù)我們的命題研究、解題經(jīng)歷，在各級(jí)重大考試中，一旦出現(xiàn)一道較難的平面幾何題，則常常是學(xué)生失分的“重災(zāi)區(qū)”，究其原因，并不一定是學(xué)生幾何能力下降，而是很多較難的平面幾何題往往都需要復(fù)雜的、技巧較高的構(gòu)造、轉(zhuǎn)化，這對(duì)于限時(shí)答題、大容量試卷來(lái)說(shuō)，顯然學(xué)生沒(méi)有足夠的時(shí)間來(lái)深入思考，故命題檢測(cè)時(shí)建議慎用較難幾何題.現(xiàn)在想來(lái)，國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)一再降低平面幾何的教學(xué)要求，也是有道理的，值得每一個(gè)命題者思考.這里也不得不評(píng)說(shuō)目前個(gè)別地區(qū)的命題風(fēng)格，過(guò)分傾向于繁雜幾何題的考查，有些中考幾何題需要構(gòu)造3條輔助線才能順利解決，有的幾何題需要技巧極高的相似構(gòu)造，并且需要連續(xù)使用2~3次相似三角形（像上面考題1的第（3）問(wèn)）才能貫通思路.而這些超高要求，在國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)中都是不作考試要求的.當(dāng)然，在平時(shí)教學(xué)中，我們也可傾聽(tīng)著名特級(jí)教師李庾南老師所指出的“下要保底，上不封頂”的教學(xué)要求，即可以利用數(shù)學(xué)習(xí)題課、活動(dòng)課或課外安排優(yōu)秀學(xué)生深入探究一些有挑戰(zhàn)的幾何難題.在開(kāi)展較難幾何題講評(píng)時(shí)，我們?cè)谏厦嬖O(shè)置輔助問(wèn)題的做法，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生自主理解難題有較好的效果.

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