束仁武 (郵編：611731) 周純舫 (郵編：230001)

安徽省合肥市廬江第四中學(xué) 安徽省合肥市廬江第二中學(xué)

繁與簡是一念間的事
——一道試題的解法探究與反思收獲

束仁武 (郵編：611731) 周純舫 (郵編：230001)

安徽省合肥市廬江第四中學(xué) 安徽省合肥市廬江第二中學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟.在教學(xué)課余時，同學(xué)們總找一些感興趣的問題跟我們交流.面對這種情況，我們雖然深知要有“一桶水”，但在沒有參考答案的情況下，要一眼就能尋找到最優(yōu)化的解題方案，我們還需不斷研修.

我們對學(xué)生提問的問題時，不能“避難就易”，會的就解答，不會的就找借口，三兩次下去，同學(xué)們就會對教師的解題水平產(chǎn)生懷疑，影響教師在學(xué)生心目中的可信度.所以，在同學(xué)們提出問題時，我們力求迅速指明解題思路，及時給出滿意解答，但由于時間倉促，老師有時候也會犯傻.這正如羅增儒教授指出：解題笨拙與解題智慧相對，有時真是用了多余的知識，走了多余的思維回路，人為地拉長了解題的長度，表現(xiàn)為解題笨拙.當(dāng)出現(xiàn)解題笨拙時，要通過反思，找回解題智慧.我們列舉一個發(fā)生在身邊的案例，進(jìn)行剖析，體會“簡繁之間只是一念之差”.

1 問題及解法探究

我們在上《幾何證明選講》專題后，就遇到這樣的一幕：同學(xué)A興沖沖拿著一道平面幾何題來問我們.

圖1

題目 如圖1,在正方形ABCD中，AB=4，E、F是邊AD上兩動點(diǎn)，AE=DF=a，連接CF交BD于G，連接AG交AE于H，求DH長度的最小值是多少？

乍看這題，點(diǎn)E、F在AD上運(yùn)動，連接CF交BD可以確定動點(diǎn)G，連接AG交AE可以確定動點(diǎn)H.要求DH的最小值？可以依據(jù)解析思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.求出H點(diǎn)的軌跡方程，弄清H點(diǎn)的軌跡，從而確定何時DH最小，并求出最小值.

圖2

圖3

于是，我們就采取建立直角坐標(biāo)系，通過建立直線方程來解決.

(2) 當(dāng)E不與A和D重合時，設(shè)：

①

②

聯(lián)立①，②方程：

所以G的坐標(biāo)為

③

④

解題后我們繼續(xù)思考：求DH的最小值，終歸是求最值問題，所以我自然的聯(lián)想到函數(shù)的基本性質(zhì)——最值.求DH的最小值，不就是要建立變量DH與變量AE(或AF=a)的函數(shù)關(guān)系式，再通過確定的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)最小值.從而我們得到以下兩種解答過程.

通過以上三種方法，我們發(fā)現(xiàn)第三種方法比前面兩種方法更繁瑣，這種定量分析的解析法的確繁贅，難以置信.于是，我們就思考，有沒有更簡便的方法呢？難道這道題變量a的變化對線段DH的變化沒有更直觀的幾何解釋嗎？我們能否用幾何的方法來作定性考查呢？

圖4

解法4 如圖4，在正方形ABCD中，BD為對角線，

根據(jù)對稱性可知：∠2=∠3，

在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAE=∠CDF，AE=DF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF，∠1=∠2，∠3=∠1.

而∠BAH+∠3=90°，∠BAH+∠1=90°，則BE⊥AG，由此可知：不論E、F兩動點(diǎn)在AD上如何運(yùn)動，∠AHB=90°的值不變.

圖5

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD，當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時，DH的長度最小.

2 反思收獲

下面，我們再深入反思這道題的價值，還是收獲頗豐.

反思收獲1 如果點(diǎn)E、F兩點(diǎn)在AD所在的直線上運(yùn)動，其它條件不變，那么點(diǎn)H形成的軌跡是什么？既然有最小值，那么點(diǎn)D到H之間的距離有沒有最大值呢？最大距離是多少？

剖析 當(dāng)E、F繼續(xù)在AD所在的直線上運(yùn)動，我們借助幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)H點(diǎn)的軌跡還會變成一個以AB為直徑的半圓(如圖5).

反思收獲2 我們從答案來看，這個數(shù)值是巧合呢？還是另有緣由？如果將DH的長度與正方形邊長AD相比是什么呢？

在直角三角形△OAD中，∠A=90°，且AD=2AO，就可以構(gòu)造黃金分割點(diǎn).這不真是我們探究發(fā)現(xiàn)又一種作黃金分割的方法嗎？雖然方法還雛嫩，但不能不說是一種好想法.

反思收獲3 如果把正方形改為正五邊形呢，其它條件不變，是否有類似的結(jié)論呢？如果我們把正方形改為正六邊形呢？其它條件不變，是否有類似的結(jié)論呢？……，如果我們把正方形改為正n邊形呢？其它條件不變，是否有類似的結(jié)論呢？

圖6

回答是肯定.對于正五邊形來說，如圖6，已知正五邊形ABCDE，AF是其中一條對稱軸，點(diǎn)M、N為邊AB上兩動點(diǎn)，且AN=BM，連接EN交AF于G點(diǎn)，連接BG交CM于H，則∠BHC為定值.其定值為；點(diǎn)H的軌跡在以BC為劣弧所含的圓周角為72°的圓弧上.

圖7

如圖7，已知正六邊形ABCDEF，點(diǎn)M、N為邊AB上兩動點(diǎn)，且AN=BM，連接FN交AD于G點(diǎn)，連接BG交CM于H，則∠BHC為定值，其定值為=60°；點(diǎn)H的軌跡在以BC為劣弧所含的圓周角為60°的弧上.

一般地，有類似性質(zhì)，這里不再贅述.

反思收獲4 這題探究到此，我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，它可以派生出安徽省2016年數(shù)學(xué)中考題第10題：

圖8

如圖8，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為( )

答案是B.

理由如下：∵∠PAB=∠PBC，AB⊥BC，

∴∠ABP+∠PBC=90°，

∴∠PAB+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上.

故當(dāng)OP=2時，CP最小值為3.

3 自我成長

3.1 解題笨拙與智慧

對于以上四種解題方法分析可見，開始時，我們在學(xué)習(xí)《平面幾何選講》時，學(xué)生冷不丁地提出問題，我們根據(jù)學(xué)生當(dāng)前的知識存儲，聯(lián)想到用解析法建立方程求交點(diǎn)，解決動點(diǎn)距離問題.其實，這是在選擇解題方法上的盲從，沒有進(jìn)行深入考慮，沒有進(jìn)行“解題智慧”的挖掘，而是被題目中提供的表面現(xiàn)象所迷惑，誤以為建立函數(shù)關(guān)系來求最小值，比較簡單，其實增加了“解題長度”，運(yùn)用了多余的知識，所以，走到“解題笨拙”的一面.為了避免少走彎路，減少解題中長度，繞開解題笨拙，還是要在審題時多思考，化繁為簡，才會應(yīng)運(yùn)而生地出現(xiàn)“絕處逢生”的美巧想法，解題后的幾點(diǎn)反思，真是點(diǎn)滴心血筑成的.

3.2 專業(yè)成長

教師在專業(yè)成長的過程中，為什么要不斷地提高自我專業(yè)水平呢？只有通過研修，才能不斷提升自我.通過解析法、參數(shù)法和函數(shù)法求解，會發(fā)現(xiàn)直線AG、BE位置關(guān)系，確定動點(diǎn)H的所在方程，判定動點(diǎn)H是以AB為直徑的半圓軌跡，而要求DH的最短距離，就是求點(diǎn)到圓上最短距離.進(jìn)而為解法4提供強(qiáng)有力的支撐，解法4是純平面幾何的證法，通過反思聯(lián)想，把這道題與一道中考題成功對接，縮短了知識間的距離.這道題解答探究過程就是一個成功的案例.

這種方法探究成功，進(jìn)一步說明，教師的專業(yè)成長要不斷地研修，只有站得高，才能看得遠(yuǎn).用高層次的知識居高臨下指導(dǎo)教學(xué)，在指導(dǎo)教學(xué)實踐過程中，不斷儲蓄知識，積蓄能量，拓展解題思路.

當(dāng)我們重新審視這道題的探究歷程時，卻有“眾里尋它千百度,驀然回首，那人卻在燈火闌珊去”的感覺！其實，這道題的本質(zhì)就是求點(diǎn)到圓上最短距離問題，真是繁與簡是一念間的事.

1 羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社,2001

2017-01-18)