江志杰 (郵編：362100)江 鈞 (郵編：362100)

福建省惠安第三中學(xué) 福建省惠安第一中學(xué)

換元法在函數(shù)綜合問(wèn)題中的應(yīng)用舉隅

江志杰 (郵編：362100)江 鈞 (郵編：362100)

福建省惠安第三中學(xué) 福建省惠安第一中學(xué)

我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常將某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這就叫換元法(又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法)．它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．應(yīng)該說(shuō)，換元法的實(shí)質(zhì)在于轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．筆者發(fā)現(xiàn)：在某一類(lèi)含參的函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中，若能巧妙地引進(jìn)新的變量，則可將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使隱含的條件顯露出來(lái)，將陌生的問(wèn)題變?yōu)槭煜さ男问?，從而使?fù)雜的計(jì)算、推證和探究過(guò)程得以簡(jiǎn)化．

例1 (2017年福建省高三單科質(zhì)檢21改編)若函數(shù)f(x)=xln(x+a)不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

點(diǎn)評(píng) 值得一提的是：本題如此換元“功能”巨大，一則目標(biāo)函數(shù)定義域變得清晰明確，二則參數(shù)位置單一且易參變分離，巧妙地避開(kāi)繁雜的分類(lèi)討論，大大地降低了抽象思維的門(mén)檻！同時(shí)它也啟迪我們：在研究復(fù)雜的含參函數(shù)問(wèn)題時(shí)，遇到參數(shù)深居于“內(nèi)函數(shù)”難以參變分離的情形，若能適時(shí)地通過(guò)換元轉(zhuǎn)化，則可起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易之功效！

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

解析 (Ⅰ)略；(Ⅱ)本題題意簡(jiǎn)潔，利用零點(diǎn)存在定理，若能將連續(xù)函數(shù)g(x)“控制”為“開(kāi)口向上、左減右增、極小值為負(fù)”的“單谷”函數(shù)時(shí)，即可滿(mǎn)足題意．無(wú)奈由于參數(shù)m出現(xiàn)的位置多樣，增加了多次求導(dǎo)運(yùn)算的繁雜程度，也增添了所研究函數(shù)在結(jié)構(gòu)、符號(hào)及性態(tài)等方面的不定性．因此本題貌似唾手可得的“香餑餑”，實(shí)則難以下手的“燙山芋”！

于是本題轉(zhuǎn)化為φ(t)=(t2-3t+5)et-2t-5m2恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

故φ′(t)在R上遞增(其中φ′(0)=0)．進(jìn)而得到：φ(t)在(-∞,0)上遞減，在(0,+∞)上遞增(且當(dāng)t→+∞時(shí)，φ(t)→+∞；當(dāng)t→-∞時(shí)，φ(t)→+∞)．

只需φ(t)min=φ(0)=5-5m2<0,故得m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

結(jié)束語(yǔ) 處理有關(guān)含參的函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸問(wèn)題時(shí)，參數(shù)的位置無(wú)疑決定了函數(shù)結(jié)構(gòu)的繁雜程度和解題難度，往往需要我們調(diào)用眾多的知識(shí)技能和思想方法．很多人在解決該類(lèi)綜合問(wèn)題時(shí)之所以受困遇阻，根本原因就是數(shù)學(xué)知識(shí)方法的聯(lián)系性和系統(tǒng)性薄弱．可以說(shuō)，換元法作為中學(xué)數(shù)學(xué)的常用方法，若能巧用于化解有關(guān)含參的函數(shù)綜合問(wèn)題，則可實(shí)現(xiàn)參數(shù)位置的轉(zhuǎn)移和問(wèn)題表征的轉(zhuǎn)化，發(fā)揮了去繁從簡(jiǎn)、柳暗花明的解法功能．同時(shí)，換元法的靈活運(yùn)用，也必將有利于我們追索復(fù)雜問(wèn)題的題源或原型，從而挖掘出其相關(guān)的問(wèn)題變式！

2017-01-12)