王立振 (郵編：225300)

江蘇省姜堰中學

解 題方 法

構(gòu)建解題思路 反思課堂教學
——一類二元變量證明題的解題策略

王立振 (郵編：225300)

江蘇省姜堰中學

當下，高中生學習數(shù)學最大的困難是不知如何解題，數(shù)學概念基本能聽懂，習題課的效果也不錯，但是學生一旦自己動手解題時，往往就束手無策，導致功夫沒少下，效果卻不佳的情況，從而喪失學習數(shù)學的興趣和動力.

著名數(shù)學家波利亞解題理論告訴我們——解題要做“七分構(gòu)思”(讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納)，“三分表達”(書寫、運算、訂正、反思與回顧).高三復習教學無外乎就是教會學生如何解題、怎樣解題及課后的自我整理消化.不只是簡簡單單地把一道題目講清楚講明白，而是教會學生如何構(gòu)建條件與目標之間的關(guān)系，并引導學生在課后進行自我消化與總結(jié)，這才是高三復習教學的重中之重.

1 難在何處

二元變量的證明問題在每年全國各地的大型考試、模擬試卷甚至高考試卷都出現(xiàn)過.學生心有余悸的二元變量證明題到底“難”在何處？一般來說，一是難在證明形式的復雜(2016屆陜西師大附中高三下第十次模擬文科試題)；二是難在無從下手(2016屆安徽六安一中高三下模擬四理科試題)；三是難在知識與方法的綜合(2016-2017學年江蘇如東中學高三下月考試題).

2 賞析解題策略

例1 已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,證明：當a<-1時，對任意的x1、x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)-f(x2)|-4|x1-x2|≥0.

策略1 從目標結(jié)構(gòu)出發(fā)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性的證明.

如果我們單純從結(jié)論出發(fā)，求|f(x1)-f(x2)|-4|x1-x2|的最小值恒大于等于零.首先討論x1、x2的大小關(guān)系，去掉絕對值，再求含有兩個變量的表達式最小值，且表達式較為復雜，可想而知這樣的解題是繁瑣的.那么有無簡化的可能？該如何簡化解題？事實上，我們觀察不等式的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，含有x1的多項式中只有x1、x2也是一樣的.可將含有x1、x2的多項式左右分離，分別置于不等號的左右兩邊，再利用新函數(shù)的單調(diào)性就可證明.

點評 將不等式進行變形后，使得含有x1、x2式子分別置于不等式的左邊和右邊，形如：g(x1)

例2 已知函數(shù)f(x)=xlnx,證明：對于任意的x1、x2∈(0,+∞),都有

f(x1)+f(x2)+x1+x2>f(x1+x2).

策略2 從變量形式出發(fā)，轉(zhuǎn)化為一元變量的恒成立問題.

解析 將不等式進行化歸轉(zhuǎn)化：

策略3 從變量個數(shù)出發(fā)，變量轉(zhuǎn)參數(shù)構(gòu)造新函數(shù).

有多元變量不等式的證明問題，即有兩個變量且變量間沒有內(nèi)在的聯(lián)系.如果我們從變量個數(shù)出發(fā)，把x2看成變量x,x1看成參數(shù)，這樣不僅減少變量的個數(shù)，而且轉(zhuǎn)化為學生熟悉的、易入手的一元變量的不等式問題.

解析1 將參數(shù)x2變?yōu)槲粗獢?shù)x,記D=(0,x1)∪(x1,+∞).

令f(x)=xlnx+x1lnx1+x1+x-(x+x1)ln(x+x1),其導函數(shù)f′(x)=1+lnx+1

由?x2∈D,f(x2)>0,易知f(x1)+f(x2)+x1+x2>f(x1+x2),即結(jié)論成立.

點評 將不等式中x2轉(zhuǎn)化為變量x,x1看作參數(shù)，使得上述不等式的證明問題轉(zhuǎn)化含有一個變量不等式恒大于零的問題，再利用導數(shù)求出最小值，即可得證.而解題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)換參數(shù)與變量的角色.(構(gòu)造的新函數(shù)不唯一，本題還可有如下構(gòu)造)

解析2 當x1=x2時，結(jié)論顯然成立，否則不妨設(shè)0

當0x1時，F(xiàn)′(x)>0,F(x)在(x1,+∞)上為增函數(shù)，則有F(x)min=F(x1)=0.當x2>x1時，有f(x1)+f(x2)-

f(x1)+f(x2)+(x1+x2)ln2≥f(x1+x2),

即f(x1)+f(x2)+(x1+x2)>f(x1)+f(x2)+(x1+x2)ln2≥f(x1+x2),故結(jié)論成立.

取x=x1,m-x=x2,得f(x1)+f(x2)+(x1+x2)ln2≥f(x1+x2).

故有f(x1)+f(x2)+(x1+x2)>f(x1)+f(x2)+(x1+x2)ln2≥f(x1+x2),結(jié)論成立.

一種漂亮解法的得出，需要我們對以往思路構(gòu)思及經(jīng)驗的不斷總結(jié)，更需要我們對問題有更深層的剖析.

3 教學啟示

任何數(shù)學問題都存在于某類問題的共性之中，利用數(shù)學中這種共性結(jié)果處理數(shù)學學習的困難.通過這類題目解法及其分析可知，這類題目思維角度較小，解題方法固化，所用知識也是常規(guī)的，但學生做題還是問題不斷，漏洞百出.在平時教學中我們需要多關(guān)注的是什么呢？

3.1 解題應以“構(gòu)思”為綱.

在現(xiàn)代認知心理學中，人的認知活動并非是對外部世界的簡單被動的反應，而是一個主體在其中發(fā)揮主觀積極能動性的過程.因此，高三復習教學活動不應看成教師教授知識，學生被動接受，而是啟發(fā)學生在已有的知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，主動構(gòu)建解題思路的過程.教師可根據(jù)每節(jié)課的教學內(nèi)容不同，尋找一個引發(fā)問題的“生長點”，啟發(fā)學生，積極構(gòu)思，培養(yǎng)學生勤于思考，善于構(gòu)思的習慣，使學生具有悟性.

3.2 課堂教學應以“反思”為魂.

反思是什么？反思就是在解決完一道數(shù)學題后還需認真進行如下的探索：該題的命題意圖是什么？考查了哪些基本知識和基本方法？解題過程是否合理、是否完善？有無其他解法？該題的解法是否具有一般性(即舉一反三、一題多變、一題多解)？以上的思考就是教學反思.教學反思有助于培養(yǎng)學生思維的廣闊性，提高思維的靈活性，最終幫助學生提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，從而真正實現(xiàn)羅增儒老師倡導的“通過有限典型例題的學習領(lǐng)悟解無數(shù)道題的數(shù)學機智”.

1 胡書軍.解題思路的生成才是解題教學的重中之重[J].中學數(shù)學教學參考,2016上旬(5)：30-32

2 毛良忠.一道高考壓軸題的解法賞析及教學思考[J].中學數(shù)學教學參考,2016上旬(4)：33-36

3 王立振.橫看成嶺側(cè)成峰遠近高低各不同——對一道“華約”自主招生題思考與探究[J].高中數(shù)學教與學,2016(5)：33-36

2017-01-05)