劉學(xué)禹??

在學(xué)習(xí)高一物理（必修1）《重力 基本相互作用》一節(jié)時，老師介紹了重心概念，所謂重心就是重力的等效作用點，重心的位置與物體的形狀和質(zhì)量分布情況有關(guān).不過重心概念并非高中物理首次接觸，早在初中《數(shù)學(xué)（八年級下）》教材中，我們就曾學(xué)習(xí)到三角形的重心，所謂三角形的重心乃三角形的三條中線的交點.由此，我產(chǎn)生一個疑問：物理學(xué)中的重心與幾何學(xué)上的重心是否一致？具體地說，三角形的物理重心與幾何重心是否重合？這個問題一直困擾著我，經(jīng)過一年多的思考和探究，有了一點不成熟的想法，現(xiàn)把它寫出來，請老師們批評指正.

本文所討論的三角形分兩種情形，一是質(zhì)量均勻分布、粗細一致的三角形（空心）線框；二是質(zhì)量均勻分布的三角形薄板.對于第一種情況，我發(fā)現(xiàn)三角形線框的物理重心與其幾何重心通常并不重合；對于第二種情況，三角形薄板的物理重心與其幾何重心的確完全一致.

1初步驗證

我通過實驗進行了簡單的驗證：用一根長而粗的鐵絲彎成一個每邊長在20 cm-30 cm左右的任意三角形線框，并在這個三角形鐵絲上蒙上保鮮膜（質(zhì)量可忽略不計）.然后用直尺作出這個三角形的幾何重心（位于保鮮膜上）.最后再用手指（食指）從下面頂著這個幾何重心的位置，看能否把這個三角形鐵絲懸空平頂支撐起來.結(jié)果發(fā)現(xiàn)即使在可以少許調(diào)整的情況下也無法將三角形鐵絲支撐平衡起來.這說明三角形線框的幾何重心與其物理重心并不重合.

再取了一塊厚度相同的木板，把它鋸成三角形，然后也用直尺作出這個三角形木板的幾何重心.平放著木板，再用手指從下面頂著這個幾何重心的位置，發(fā)現(xiàn)只要少許調(diào)整，手指確實可將木板水平懸空支撐起來而不傾倒掉落.這時木板只受重力和手指的支持力作用，是一對平衡力，說明其重心在手指尖所在的豎直線上，即三角形的幾何重心與其物理重心重合！

改變?nèi)切舞F絲和三角形木板的形狀，多次重復(fù)上述兩個實驗，結(jié)果基本一致.不過，我仍然不能完全滿意，因為我發(fā)現(xiàn)不管怎么仔細完成上述實驗，總要進行適當(dāng)調(diào)整.實際上，對于第二個實驗，不用手指，改用較細的鐵釘，就難以水平支撐平衡起三角形木板.盡管這里存在木板質(zhì)量是否均勻分布、用直尺作圖確定幾何重心位置是否準確等等干擾因素，誤差在所難免，但實驗的驗證無論如何總難令人完全信服.于是我嘗試從理論上探究這兩個重心的關(guān)系.

2理論探究

2.1三角形空心線框的幾何重心與其物理重心是否重合？

要否定這個命題，可以進行證偽.也就是說只要找到一個反例，即可得到證明.

如圖1所示，設(shè)質(zhì)量、粗細均勻分布的三角形線框OAB的三條邊長分別為OA=4、OB=3、AB=5，三角形處于圖示的直角坐標系中.再設(shè)三條邊單位長度的質(zhì)量為λ，則三條邊的質(zhì)量分別為mOA=4λ、mOB=3λ、mAB=5λ.首先確定線框OAB的物理重心.由于三條邊的質(zhì)量均勻分布，所以可將AB邊的質(zhì)量等效集中于AB邊的中點D，容易看出D點位置坐標為（1.5，2.0），等效質(zhì)量為5λ；同理可將OB邊、OA邊的質(zhì)量分別等效集中于OB、OA的中點E、F，位置坐標分別為（1.5，0）、（0，2.0），等效質(zhì)量為3λ、4λ.接著再將D、E兩點進行等效，D、E兩點的重心位置M必在這兩點的連線上，并且到D、E兩點的距離與D、E兩點的等效質(zhì)量成反比.這樣不難確定M點的位置坐標為（1.5，1.25）、等效質(zhì)量為8λ.最后再考察M、F兩點的重心G的位置，采用上述同樣的方法，能夠計算出G點的位置坐標為（1.0，1.5），它也是整個三角形線框的物理重心.

接下來再確定線框OAB的幾何重心G′.根據(jù)三角形幾何重心的性質(zhì)——重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1，我們知道，△OAB的重心G′一定在中線OD上，并且滿足OG′=2G′D.不難計算G

？倕 的位置坐標為（1.0，4/3）.另外，G′的位置確定也可以通過三角形（幾何）重心的性質(zhì)1（見文后附注）——在平面直角坐標系中，三角形的（幾何）重心的坐標就等于三角形三個頂點坐標的算術(shù)平均值.采用這種方法求G′的位置坐標更加直接.

比較G、G′的位置坐標，發(fā)現(xiàn)二者并不重合.通過這個特例足可以說明，三角形線框的幾何重心與其物理重心一般并不重合.

2.2三角形薄板的幾何重心與其物理重心是否重合？

這個問題相對復(fù)雜，下面先從兩個簡單的情況說起.

命題13個質(zhì)量相等的小球分別位于三角形的頂點，則這3個小球的物理重心與該三角形的幾何重心重合.

說明：如圖2所示，容易理解A、B兩球的重心位于AB的中點D.D（A、B兩球的等效點）和C球的物理重心位于G，顯然G點實際上也就是三個小球A、B、C的物理重心.由于D點的相當(dāng)于集中了A、B兩球的質(zhì)量，所以GC的距離是GD的2倍.對照附注中三角形的（幾何）重心性質(zhì)2——三角形的（幾何）重心到頂點的距離與（幾何）重心到對邊中點的距離之比為2∶1，不難看出G點也就是三角形ABC的幾何重心.

命題2如果均質(zhì)三角形線框的三條邊的粗細（寬度）與其長度成反比，則三角形線框的物理重心與該三角形的幾何重心重合.

說明：由于線框三條邊的粗細（寬度）與其長度成反比，可知三條邊的表面積（設(shè)線框的厚度一致）

相等，所以三條邊的質(zhì)量相等，如圖3所示.加之三邊的質(zhì)量分布均勻，因而可以認為，三條邊AB、BC、CA的質(zhì)量分別集中于它們的中點D、E、F.再考察三角形DEF的物理重心，它與與命題1的情形完全相同.并且根據(jù)圖3不難看出△ABC與△DEF的幾何重心重合.所以△ABC線框的物理重心與△DEF的幾何重心亦即△ABC的幾何重心重合.最后再來探究均質(zhì)三角形薄板的重心位置問題.如圖4所示，令G點為薄板ABC的幾何重心，連接AG、BG、CG.并將線段AG、BG、CG各自均分n等份，再將AG、BG、CG邊上n等份的點分別順次對應(yīng)連接起來，這樣便把整個△ABC分割成n個三角形空心線框.圖4中實線所示的A1B1C1-A2B2C2為其中的一個三角形線框.

下面討論三角形線框A1B1C1-A2B2C2的物理重心位置.根據(jù)附注中三角形的（幾何）重心性質(zhì)3——三角形的（幾何）重心和三角形的三個頂點組成的3個三角形面積相等，即有S△ABG=S△BCG=S△CAG.在△ABG中，由于線段A1B1、A2B2…把△ABG分成n個細長的小梯形，這些小梯形的面積從頂

點G到底邊AB按特定比例遞增（不難理解，△BCG和△CAG中的情況也是一樣）.這樣圖4中三角形線框A1B1C1-A2B2C2的三條邊A1B1B2A2（即圖4中顯示的細長的小梯形）、B1C1C2B2、C1A1A2C2的面積也相等.加之質(zhì)量分布均勻，所以三角形線框A1B1C1-A2B2C2的三條邊的質(zhì)量相等.結(jié)合前述的命題2可知三角形線框A1B1C1-A2B2C2的物理重心就在G點.同理，其他三角形線框的物理重心也都在G點，所以整個三角形薄板的物理重心就在其幾何重心G點上.

上述的證明實際上就是微元法，把三角形薄板分割成若干個三角形線框.這與高中物理必修1教材中推導(dǎo)勻變速運動的位移-時間關(guān)系x=v0t+12at2的思路類似.由此可見，高中的物理學(xué)習(xí)，方法比內(nèi)容更為重要，這也是我在探索重心問題時得到的一點體會.

（指導(dǎo)老師：于正榮）