盛璇

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》（以下簡稱“《數(shù)學課程標準》”）第一次將數(shù)感作為新課程標準十個核心概念的首要概念，并明確規(guī)定應為學生掌握的核心內容，需要培養(yǎng)的核心數(shù)學素養(yǎng)，可見培養(yǎng)學生數(shù)感的重要性。但在日常的教學過程中，由于教師對數(shù)感的培養(yǎng)缺乏應有的認識，往往只是教給學生有關對數(shù)的認識、數(shù)的計算和數(shù)的應用方面的知識，缺乏對學生數(shù)感的培養(yǎng)，亦或由于教師理念上的先天不足而在培養(yǎng)學生數(shù)感的過程中存在這樣或那樣的誤區(qū)，致使一些學生面對現(xiàn)實的數(shù)學問題，由于自身數(shù)感不強，常常束手無策。那么，如何培養(yǎng)學生的數(shù)感，讓學生會“數(shù)學地”思考問題？

一、對數(shù)感內涵的認識

通過閱讀報刊雜志和上網(wǎng)查找資料，國內外關于數(shù)感的種種說法有很多，經(jīng)過大致梳理有以下幾類：第一，認為數(shù)感是“關于數(shù)字（量）的一種直覺”；第二，認為數(shù)感與語感、美感等類似，是一種“直感”；第三，認為數(shù)感是一種主動地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度和意識，是一種基本的數(shù)學素養(yǎng)。

新《數(shù)學課程標準》對數(shù)感作出了明確的解釋：數(shù)感，主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟?！皵?shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋?！边@便于我們明確數(shù)感的具體內容，把握數(shù)感的教學方向，便于在日常教學中培養(yǎng)學生的數(shù)感。

上海市特級教師曹培英在給我們做的報告《“十大核心詞”的解讀研究》指出：數(shù)感如同球員的球感。歌手的樂感，每個人都有，只是程度感覺的不同罷了。簡單通俗地說，數(shù)感就是對于數(shù)的感悟和理解。北京教育學院數(shù)學系副教授張丹在所著的《小學數(shù)學教學策略》中將數(shù)的學習歸為四個方面：在對具體情境中數(shù)與數(shù)量、數(shù)量之間關系等感悟的基礎上理解數(shù)的意義，運用多種方法來表示數(shù)，把握數(shù)的相對大小關系，運用數(shù)來表達和交流信息。由此不難看出，這里的“感”不僅僅停留在感性認識上，而是在感性基礎上的理性認識?！缎W數(shù)學教學法》一書中指出：數(shù)感是人們對數(shù)與運算的一般理解，有助于人們用靈活的方法做出數(shù)學判斷，并為解決復雜問題提出有用的策略。綜合上述的觀點，我認為：數(shù)感是人的一種基本數(shù)學素養(yǎng)，是一個人對數(shù)的意義和運算的直覺感知，具有良好數(shù)感的人，對數(shù)的意義和運算有靈敏而強烈的感覺、感受和感知的能力，并能作出迅速準確的反應。它不僅體現(xiàn)在計算能力和解決書本問題能力上，而且體現(xiàn)在學會數(shù)學地思考，當遇到與數(shù)學相關的問題時，能自然地、有意識地和數(shù)學相聯(lián)系，用數(shù)學的觀點和方法來處理解決，可以理解為數(shù)感就是可以“數(shù)學地”思考問題。

二、培養(yǎng)學生數(shù)感的教學誤區(qū)

數(shù)感的建立是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，有助于提高學生數(shù)學地思考和解決問題的能力。但在日常教學中，由于教師受應試教育的影響，對數(shù)感的認識還存在不同的偏差，以至于在培養(yǎng)學生數(shù)感的過程中還存在一些誤區(qū)。

誤區(qū)之一：感受大數(shù)是與生俱來的，后天無法養(yǎng)成

不可否認，某些數(shù)學家天生就有很強烈的數(shù)感，10歲的高斯毫不費勁地完成了等差數(shù)列（比如由1到100的自然數(shù)）求和，得益于他對計算方法的直接把握；12歲的帕斯加獨立完成了三角形內角和定理的證明，一直為人們津津樂道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中產生了八位數(shù)學家，我國南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孫的數(shù)學成就聞名于世，但畢竟是鳳毛麟角，屈指可數(shù)。

數(shù)感的形成固然有遺傳因素和家族影響的作用，而更多是后天努力的結果。解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒出身于法國貴族家庭，父親是政府雇員；牛頓出身在英國農民家庭，還是遺腹子，全靠自己努力取得成功；概率論奠基者拉普拉斯的父母是法國農民；費馬則是法國皮革商的兒子。我國古代數(shù)學家劉徽、楊輝、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光啟、李善蘭，他們家族中沒有一人是數(shù)學家，他們的數(shù)學素養(yǎng)全靠后天養(yǎng)成。更何況數(shù)學新課程的培養(yǎng)目標不是數(shù)學家，數(shù)學教育的目的在于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，“獲得適應未來社會生活和繼續(xù)學習所必需的數(shù)學基本知識和技能”，會“數(shù)學地”思考問題。

形成數(shù)感不是一蹴而就的事，需要一定數(shù)量和足夠時間的學習，在適宜的重復性訓練后便自然形成數(shù)感。數(shù)感與記憶的程度有關，如果對數(shù)的記憶程度越深，對數(shù)的感覺和反應就越靈敏。中國自古以來就有“熟能生巧”的說法，就是這個道理。實踐證明，絕大多數(shù)學生通過努力是可以建立起數(shù)感的。

誤區(qū)之二：數(shù)感不就是會數(shù)數(shù)、會計算嗎

這是一種片面的理解。所謂數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識，它是建立在對事物數(shù)量關系的直觀感知之上的。會數(shù)數(shù)、會計算只是最低層次的數(shù)感，理解數(shù)的意義，知曉現(xiàn)實事物與數(shù)目可以建立一一對應關系，可以完成日常生活所必需的計算，這只能算是被動的“數(shù)感”，剛剛摘了“數(shù)盲”的帽子，這是第一層次的數(shù)感。

第二層次的數(shù)感已經(jīng)超越了“結繩記事”階段，不再滿足于具體數(shù)字計算，而是進一步用數(shù)學的觀點來思考和處理問題，能為解決問題選擇適當?shù)乃惴?，具有策略性知識。在課堂教學中集中表現(xiàn)為：對數(shù)學知識充分領悟，對思維訓練快速反應，對個性教養(yǎng)的深刻感受。在數(shù)學活動中，學生總是自發(fā)或自覺地運用已有的認知結構中有關模塊，對數(shù)學情境能迅速反應、準確把握、思路敏捷、解答簡縮，能自然地運用最優(yōu)化的解題策略。在日常生活中，他們勤于數(shù)學觀察和數(shù)學思考，善于從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題。

數(shù)學教育主要是培養(yǎng)這一層次的數(shù)感，使學生養(yǎng)成從數(shù)學角度看世界。當他們遇到可能與數(shù)學有關的具體問題時，就能自然地、有意識地與數(shù)學聯(lián)系起來，或者試圖進一步用數(shù)學的觀點和方法來處理解決，會“數(shù)學地”觀察與思考。我們沒有必要，也不可能讓人人都成為數(shù)學家，但應當使每一個人都具有數(shù)感，會“數(shù)學地”思考問題。數(shù)學素養(yǎng)作為素養(yǎng)之一，不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的，而學生學會數(shù)學地思考問題，用數(shù)學的方法理解和解決實際問題，能從現(xiàn)實的情境中看出數(shù)學問題，這才是數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，所以說，數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學素養(yǎng)。

第三層次數(shù)感已進入到“自由”階段，這是一種數(shù)學的至高境界，完全脫離現(xiàn)實世界，進入到虛無抽象的數(shù)學世界，憑借對數(shù)學美的直覺，孜孜以求。在歐拉最后17年生命中，他已雙目失明，但并不妨礙他對數(shù)學世界敏銳的洞察力，“歐拉計算毫不費力，就像人的呼吸，或如老鷹在空中翱翔一樣自如”，支撐他的就是這種高層次的數(shù)感；陳景潤當年身居斗室卻心系“明珠”，為攻克“歌德巴赫猜想”忘我工作，幾近癡迷，應是此種境界。王維的千古名句“大漠孤煙直，長河落日圓”在數(shù)學家眼里卻是平面上的一條垂線，一條直線上外切著一個圓。

誤區(qū)之三：數(shù)感的培養(yǎng)必須通過數(shù)學情境

通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，這是新課改所提倡的，本身無可厚非。問題是有些教師過于追求教學的情境化，為了創(chuàng)設情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學課脫離了情境，就不是新課改數(shù)學課。為了培養(yǎng)數(shù)感，今天是去商店“買東西”，明天到旅游點“買門票”，后天又是計算“存款利息”，剛開始的新鮮勁一過，學生們漸漸習以為常，情境也就失去了新異性，根本不能激起他們的興趣，那么，學生數(shù)感的培養(yǎng)也就無從談起。教學中，不要單純地用“生活化”“活動化”沖淡“數(shù)學味”，不能把數(shù)學課上成活動課、游戲課。更不能為了貼近生活，常?！巴诳招乃肌本幵煲恍╊}目來幫助學生建立數(shù)感。

三、培養(yǎng)學生數(shù)感的有效教學策略

良好的數(shù)感是學生今后進一步學習數(shù)學和生活的基礎，因此教師要切實認識到數(shù)感的重要性，有計劃有意識地將數(shù)感的培養(yǎng)納入自己的日常教學之中。

1. 遵循學生的年齡特征和認知規(guī)律培養(yǎng)學生的數(shù)感

20以內、百以內的數(shù)可以讓學生數(shù)一數(shù)，如數(shù)小棒、數(shù)小方塊，但是1000的認識，你讓孩子數(shù)1000，10000的認識以及后面要學習的的幾萬、幾十萬、幾百萬，整萬數(shù)的認識，這種數(shù)實物的方法已不適宜了。因此，要根據(jù)數(shù)的大小關系以及學生的年齡特征靈活采取不同的方法，可以是實物數(shù)數(shù)，構建數(shù)感，也可以是數(shù)形結合，發(fā)展數(shù)感。而“數(shù)形結合、發(fā)展數(shù)感”實踐的是一種數(shù)量間的相對大小關系。在這里重點是構建一種估計的方法，建立一個估量的標準（參照物）。例如，教學情境的創(chuàng)設，要符合不同年齡段學生的心理特點和認知規(guī)律，要根據(jù)不同的教學內容有所變化，創(chuàng)設的情境還應該賦予一定的時代氣息。情境的表現(xiàn)形式應該是多種多樣的，如問題情境、活動情境、故事情境、競爭情境等。對于低年級、中年級的學生，可以通過講故事、做實驗、模擬表演、直觀演示等形式創(chuàng)設情境；而對于高年級學生，則要側重創(chuàng)設有助于學生自主學習、合作交流的問題情境，用數(shù)學本身的魅力去吸引學生。

2. 在適度“數(shù)境”中培養(yǎng)學生數(shù)感

在數(shù)學悟境（以下簡稱“數(shù)境”）中培養(yǎng)學生數(shù)感，就是說要將數(shù)感的培養(yǎng)置于適度的數(shù)境中。語境、語感、數(shù)境、數(shù)感，數(shù)境可以從兩方面來理解，第一個是數(shù)的應用環(huán)境，而不是直接的認識數(shù)，而是置于一定的生活情境中，第二個語文老師都非常清楚，字詞的認識肯定是要放于句子中的，那么我們數(shù)的認識，肯定放在一個數(shù)的范圍中，比如教學《萬以內數(shù)的認識》，就先出示1000到10000，讓學生讀一讀、看一看，談一談有什么感覺，就是在整體感知以后再去認識某一個數(shù)，所以這就是我們對數(shù)境的理解，其實數(shù)感的培養(yǎng)置于數(shù)境中能夠更好地讓學生對數(shù)有一種感覺。

3. 在數(shù)的認識實踐中培養(yǎng)學生數(shù)感

讀數(shù)同樣能夠讓孩子讀出一種數(shù)的感覺，這應該是我們在數(shù)的教學過程中可以去追求的一個方向。

新《數(shù)學課程標準》中指出：“在第一學段的教學中，要引導學生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數(shù)的意義，體會數(shù)用來表示和交流的作用，初步建立數(shù)感?！睌?shù)感不是通過傳授而能得到培養(yǎng)的，更重要的是讓學生自己去感知、發(fā)現(xiàn)，知道在學習生活中處處有數(shù)的存在，很多問題需要用數(shù)學的思想和方法去解決，從而學習用數(shù)來概括、表達自己對事物的認識，在此過程中培養(yǎng)學生數(shù)感。能把數(shù)的概念與它們所表示的實際含義建立起聯(lián)系，是理解數(shù)的標志，也是建立數(shù)感的表現(xiàn)。因此在“數(shù)的認識”的教學中，教師要充分利用學生身邊的數(shù)學素材，努力喚醒學生已有的生活經(jīng)驗，并向兒童展示數(shù)的概念的現(xiàn)實來源和實際應用，以幫助學生把握數(shù)概念的實質，真正理解數(shù)的意義，建立良好的數(shù)感。例如教學克、千克的認識時，讓學生尋找并掂量1克與1千克的物體，尋找哪些物體分別用“克”“千克”作單位。像一分硬幣重1克，4粒黃豆大約重1克，兩袋鹽重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、藥片、黃金等細小物品用“克”作單位，體重、菜、水果等用“千克”作單位；在教學長度單位時，可通過讓學生到操場上跑跑、測測、量量，讓學生感受50米、100米、500米的距離……這些數(shù)據(jù)、單位都來自于生活實際，學生很容易理解、接受，它不僅可以培養(yǎng)學生“親近數(shù)學”的行為，而且可以提高學生對數(shù)的敏銳程度，形成對數(shù)的良好直覺，建立數(shù)感。

數(shù)感是一種內隱的、非結構的程序性知識，他不是與生俱來的，數(shù)感的形成也不是一蹴而就的，而是在學習過程中逐步體驗和建立起來的，需要長時間潛移默化的滲透和培養(yǎng)。作為教師，要努力鉆研新教材，結合有關內容，尋找各種著眼點，用多種方法加強培養(yǎng)學生的數(shù)感，在實際教學過程中需要結合具體的教學內容有意識設計具體目標，提供有助于培養(yǎng)學生數(shù)感的情境、有利于發(fā)展學生數(shù)感的評價方式，以促進學生數(shù)感的建立和數(shù)學素養(yǎng)的提高。

（作者單位：湖南省長沙市開福區(qū)第一小學）