☉江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) 陸昌榮

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題
——以“解三角形”教學(xué)為例說(shuō)明

☉江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) 陸昌榮

問(wèn)題教學(xué)法是目前教學(xué)中教師普遍采用的有效方法，但問(wèn)題的設(shè)置要立足于教材、遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.筆者以解三角形教學(xué)為例，就問(wèn)題情景的設(shè)置提出幾點(diǎn)思考，供參考.

一、要立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)，一定要緊扣課題，立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，切記不要故弄玄虛，偏離主題，要有利于激發(fā)學(xué)生思維的積極性，要直接有利于當(dāng)時(shí)所研究的課題的解決，既要考慮教學(xué)內(nèi)容，又要考慮學(xué)生的差異，注意向?qū)W生提示設(shè)問(wèn)的角度和方法.

師：我們知道一個(gè)三角形有三條邊、三個(gè)角，如果給我們其中的某些邊或角，讓我們來(lái)求其他邊和角或面積的過(guò)程，就是解三角形.

問(wèn)題1：如果給我們一個(gè)直角三角形，我們?nèi)绾蝸?lái)求其邊或角？

生：利用勾股定理或三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解.

問(wèn)題2：如果是銳角或鈍角三角形呢？

生：我們可以通過(guò)作輔助線，將其分割成直角三角形求解，如圖1和圖2.

圖1

圖2

師：非常好！我們發(fā)現(xiàn)的這一規(guī)律，是一個(gè)非常重要的定理——正弦定理……

通過(guò)上述問(wèn)題的引導(dǎo)，學(xué)生不僅得出了解三角形的重要工具：正弦定理，還得出了面積公式，可謂一舉多得.

二、要啟發(fā)引導(dǎo)，保持思維的持續(xù)性

教師的啟發(fā)要遵循學(xué)生思維的規(guī)律，因勢(shì)利導(dǎo)、步步釋疑，切不可不顧學(xué)生的心理狀態(tài)和思維狀態(tài)，超前引路.

問(wèn)題3：通過(guò)上面的探究，我們得出了正弦定理.那么什么條件下可以應(yīng)用正弦定理？如何應(yīng)用？

生1：給出兩邊及一邊的對(duì)角或給出兩角及一邊.

生4：根據(jù)比例性質(zhì)，還可以得出a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

……

問(wèn)題4：正弦定理與三角形的邊、角有關(guān)，那么以前我們學(xué)過(guò)哪些三角形的相關(guān)性質(zhì)？如果利用這些性質(zhì)？

生5：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

生6：三角形的內(nèi)角和等于π.

生7：三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.

問(wèn)題5：在如圖3所示的三角形中，你能發(fā)現(xiàn)哪些角的關(guān)系？

生8：A+B+C=π，∠ADC=B+∠BAD，∠ADB=C+∠CAD，∠ADB+∠ADC=π.

圖3

例3在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）.

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

圖4

又sin∠BDA=sin∠ADC，BD=CD，所以∠DAC=90°，所以∠BAC=120°.

在△ABC中，由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC，得BC2=48+12+24=84，BC=2

解法2：如圖5，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE，CE，易知四邊形ABEC為平行四邊形，所以BE= 2

圖5

在△ABC中，由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠BAC，得BC2=48+12+24=84，BC=2

三、要注意問(wèn)題的關(guān)聯(lián)性

要不斷向?qū)W生提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要提出帶有導(dǎo)向性、難度適宜、啟發(fā)性的問(wèn)題.其實(shí)，問(wèn)題并不在多少，而在于是否具有啟發(fā)性，是否是關(guān)鍵性的問(wèn)題，是否能夠觸及問(wèn)題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考.

問(wèn)題6：如果已知所給的是一個(gè)三角形的兩邊及它們的夾角，如果求其他的邊和角？例如給出a，c和角B，如何求b.

生：還得利用分割法，將其分割為兩直角三角形求解，如圖6和圖7.

圖6

圖7

在Rt△ACD中，AD=csinB，CD=BC-BD=a-ccosB.

在△ACD中，由勾股定理得

b2=AD2+CD2=（csinB）2+（a-ccosB）2=c2sin2B+a2-2accosB+c2cos2B=a2+c2-2accosB.

問(wèn)題7：如果給出的是a，b和角C，如何求c？

c2=a2+b2-2abcosC.

師：觀察我們得出的這兩個(gè)答案，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：a2=b2+c2-2bccosA.

師：這就是解三角形的又一重要工具——余弦定理……

如果給出三邊，如何求夾角？

圖8

（1）求sin∠BAD；

（2）求BD，AC的長(zhǎng)

通過(guò)上述問(wèn)題展示的過(guò)程，我們不難發(fā)現(xiàn)，新知識(shí)的引入都是在問(wèn)題的引導(dǎo)下自然生成，新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程都是學(xué)生自主探究的結(jié)果.這樣的探究不僅使學(xué)生掌握如何應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)定理，也明了定理的來(lái)源.另外，在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所給的不同條件，如何選擇應(yīng)用兩個(gè)定理解題，以及三條邊、三個(gè)角，這6個(gè)量中是否給出其中的三個(gè)條件，就能求出其他的條件呢？給出兩邊和其中一邊的對(duì)角，是否一定能構(gòu)成三角形？如果能構(gòu)成，三角形是否唯一？等等.