☉山東省鄒城市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李現(xiàn)勇

激活學(xué)生思維的幾點(diǎn)感悟
——以“導(dǎo)數(shù)”情境教學(xué)為例

☉山東省鄒城市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李現(xiàn)勇

情境教學(xué)是指教師根據(jù)教學(xué)目的需要，從教學(xué)內(nèi)容出發(fā)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，通過(guò)體驗(yàn)情景、思考、質(zhì)疑，學(xué)生自覺(jué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題；在合作討論、感知努力和教師適時(shí)誘導(dǎo)、鼓勵(lì)下，解決問(wèn)題；在課堂練習(xí)應(yīng)用的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固與提升.本文以導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的情境創(chuàng)設(shè)為例加以說(shuō)明.

一、情境導(dǎo)入，引起“認(rèn)知沖突”

情境1對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)性，我們都非常熟悉，如指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；在底數(shù)小于1時(shí)，單調(diào)遞減.那么對(duì)于一個(gè)初等函數(shù)，如（fx）=x3-2x2-5x+1，我們?nèi)绾蝸?lái)判斷它的單調(diào)性？

一次函數(shù)（fx）=kx+b是我們非常熟悉的函數(shù)，其單調(diào)性可由k為確定：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

在這里斜率k起到了關(guān)鍵的作用.那么對(duì)于其他的函數(shù)，我們能否找到一條與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的直線，利用其斜率判斷該函數(shù)的單調(diào)性呢？

在這里學(xué)生自然想到了曲線的切線，如圖1和圖2所示.

圖1

圖2

由圖1和圖2我們不難發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)，則在該函數(shù)圖像上任一點(diǎn)的切線的斜率均大于0；若一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)，則在該函數(shù)圖像上任一點(diǎn)的切線斜率均小于0.

那么反向思考，欲判斷一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，若在該區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)（x0，f（x0）），如果我們能夠判斷在該點(diǎn)的切線斜率的正、負(fù)，是不是就可以判斷此函數(shù)的單調(diào)性了？

二、探索新知，啟發(fā)“感悟發(fā)現(xiàn)”

直線AB與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，相對(duì)于切線來(lái)說(shuō)，我們不妨稱之為割線，那么接下來(lái)我們看看切線與割線有什么關(guān)系？

如圖3，設(shè)切線與割線有一個(gè)公共點(diǎn)B，什么情況下割線就會(huì)變成切線呢？不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)A向點(diǎn)B靠近，即x1無(wú)限接近x2時(shí)，兩直線重合.

圖3

從而引出教材中的導(dǎo)數(shù)定義：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0及其附近有定義，當(dāng)自變量在x=x0附近改變量為Δx時(shí)，函數(shù)值也相應(yīng)地改變，即Δy=f（x0+ Δx）-f（x0）.

函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率，通常稱為f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0），即f′（x0）

情景3我們要想利用切線的斜率來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，只求函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線斜率能實(shí)現(xiàn)嗎？

例1求拋物線f（x）=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′（1）.

例2已知f（x）=x2，求f′（x）.

例3求函數(shù)f（x）=x2的單調(diào)區(qū)間.

解析：由例2知，f′（x）=2x.

當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0.

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）.

三、應(yīng)用拓展，鼓勵(lì)“質(zhì)疑問(wèn)難”

教材例題節(jié)選：

例4求拋物線y=x2在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率.

解析：由例1可知，拋物線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率是2.

情景4如果已知條件所給的點(diǎn)（a，b）不在函數(shù)曲線f（x）上呢？即求曲線過(guò)某一點(diǎn)的切線，如何處理？生：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，f（x0）），可求得切線的斜為k=f′（x0）.①

又因?yàn)榍悬c(diǎn)也在切線上，可得

聯(lián)立式①②，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線斜率及方程.

由例3可知，拋物線在點(diǎn)（x0）處的切線斜率為2x0.

故切點(diǎn)為（2，4），（3，9），

所以切線方程為y=4x-4，y=6x-9.

四、規(guī)律發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)“自我反思”

某些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，在高中范圍內(nèi)是無(wú)法利用導(dǎo)數(shù)的定義求出，因此可利用歸納推理的辦法，由學(xué)生自行得出，從而使新知識(shí)的引入更順暢、自然.

例6已知函數(shù)f（x）=x3，求f′（x）.

由例2得（x2）′=2x，思考一下，有何規(guī)律？能否得到（xn）′=？

不難得出冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，即（xn）′=nxn-1.

由此引出其他基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則（略）.

解析：求導(dǎo)得f′（x）=x2-4x-5=（x+1）（x-5）.

令f′（x）=0，得x=-1，x=5.所以，

當(dāng)x＜-1或x＞5時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)-1＜x＜5時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（5，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，5）.

綜上，對(duì)于一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，如何讓學(xué)生接受起來(lái)更自然？毫無(wú)疑問(wèn)，從學(xué)生熟悉的知識(shí)入手是行之有效的策略.因此在新知識(shí)的學(xué)習(xí)之初，教師要善于從學(xué)生熟悉的角度創(chuàng)設(shè)情境，在問(wèn)題情境中，引發(fā)學(xué)生獨(dú)立探究、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生的合作討論、教師的適時(shí)誘導(dǎo)，學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)，形成師生和諧互動(dòng)的教學(xué)氛圍，使學(xué)生輕松、主動(dòng)的學(xué)習(xí)，使不同能力的學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，接受和諧文化環(huán)境陶冶，感受人文關(guān)懷，不斷提升自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)新、舊知識(shí)的過(guò)渡.本文以導(dǎo)數(shù)教學(xué)為例，從問(wèn)題情境設(shè)置的角度入手，層層遞進(jìn)，展開(kāi)新知識(shí)點(diǎn)的教學(xué).