☉湖北省黃石市第六中學(xué) 李 娟

數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)落實問題的本質(zhì)

☉湖北省黃石市第六中學(xué) 李 娟

解題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項重要內(nèi)容，高考也通過解題來考查學(xué)生的綜合能力及核心素養(yǎng)，進而選拔優(yōu)質(zhì)生源.解題教學(xué)是我們每位數(shù)學(xué)教師都面臨的一項重要課題.解題教學(xué)是否到位，會直接影響到學(xué)生知識與經(jīng)驗的積累、思維能力的提升、解題能力的培養(yǎng)等等.那么應(yīng)如何進行課堂解題教學(xué)？怎么才能實現(xiàn)解題教學(xué)效果最大化？筆者認為，抓住問題本質(zhì)的教學(xué)是最有效的解題教學(xué)方式.下面以引例及其變式予以說明.

引例如圖1所示，在棱長均為2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，點M是側(cè)棱AA1的中點，點P，Q分別是側(cè)面BCC1B1和底面ABC內(nèi)的動點，且A1P平行于平面BCM，PQ垂直于平面BCM，則點Q的軌跡長度為_________.

圖1

此類動態(tài)立體幾何問題活躍在近年各省市的高考試題中，“動態(tài)”的點、線、面元素，給靜態(tài)的立體幾何問題賦予了新的活力，題意更加新穎，也使得問題的形式更加靈活，有效地考查了學(xué)生的空間想象能力.那么此類動態(tài)問題的命題視角在哪里？在問題的解答中我們應(yīng)采取什么樣的策略？

“動中尋定”是處理動態(tài)幾何問題的重要策略，這也是命題人的初衷.點P為平面BCC1B1內(nèi)的動點，且A1P平行于平面BCM，所以A1P在與平面BCM平行的平面內(nèi)，因此構(gòu)造平面A1EF與平面BCM平行（如圖2所示）.由題意易知，E，F(xiàn)分別為棱BB1與CC1的中點.從而先確定點P在線段EF上.

接下來的問題是如何確定點Q的軌跡.先尋找特殊位置，取BC的中點N，連接MN，當PQ與MN相交時，設(shè)交點為T，此時點Q落在AN上，只要確定點Q在AN上的位置，即可確定點Q的軌跡.

從幾何體中移出四邊形A1ANP，如圖3所示.

一、思路、方法要符合命題者的意圖

圖2

圖3

在△ABC中，過點Q作BC的平行線RS，分別交AB，AC于點R，S，即RS即為點Q的軌跡.由△ARS∽△ABC，得RS=

評析：尋找動點的特殊位置、空間問題平行化，進而利用平面幾何知識求解，是處理本題的重要策略.

二、問題探究的過程中要形成解題經(jīng)驗

正確的解題方法與思路能夠讓學(xué)生形成解題經(jīng)驗，進而提升學(xué)生的解題能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

變式1如圖4所示，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，點E和F分別是棱BC與CC1的中點，點P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（）.

圖4

解析：如圖5所示，取B1C1的中點M，取BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN，由正方體的性質(zhì)可得MN∥EF，A1M∥AE，所以平面A1MN∥平面AEF，即點P位于線段MN上.

圖5

在△A1MN中，有

所以當點P位于M，N時，A1P最大.

故正確選項為B.

評析：點P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的一動點點，但A1P∥平面AEF，所以A1P在與平面AEF平行的平面內(nèi)，因此準確構(gòu)造出平面A1MN是問題順利求解的關(guān)鍵.

變式2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P1，P2分別為線段AB，BD1（不包括端點）上的動點，且線段P1P2∥平面A1ADD1，則四面體P1P2AB1的體積的最大值是（）.

解析：如圖6所示，過點P2作P2O⊥底面于O，所以O(shè)P2∥DD1，且點O在線段BD上，連接OP1.

因為P1P2∥平面A1ADD1，所以平面P1P2O∥平面A1ADD1，

所以O(shè)P1∥平面A1ADD1，OP1∥AD.

又因為P1P2?平面ABD1，所以P1P2∥AD1，

所以P1P2⊥AB.

在Rt△ABD1中（如圖7所示），易知AB=1，AD1=，BD1=，所以tanB=.設(shè)BP1=x，則P1P2=x，AP1= 1-x，所以S=·x（1-x）.

△AP1P2

圖6

圖7

故正確選項為A.

評析：因為動線P1P2平行于平面A1ADD1，則P1P2在與平面A1ADD1平行的一面內(nèi)，因此找到這個平面，使問題順利求解.

通過上述深入本質(zhì)的解題教學(xué)，學(xué)生很自然地將所學(xué)到的解題方法遷移到同種類型的問題中，從這個角度來講，深入本質(zhì)的解題教學(xué)至關(guān)重要.

三、解題后的反思要形成解答一類問題的通法

正確的解題方法，不僅能夠解決該題，還能夠?qū)⑵溥w移，解決同類型的試題，進而形成解決一類問題的一種通法.

（1）尋找不變量——以不變應(yīng)萬變.若動線與已知面平行，則動線在與已知平面平行的定面內(nèi).另外若定線與動線垂直，則動線在與定線垂直的定面內(nèi)，找到這些定面即可使問題順利求解.

（2）尋找直線段——化曲為直求最值.在處理與折線段有關(guān)的最值問題時，“化曲為直”是行之有效的策略.

（3）尋找特殊位置——化一般為特殊.幾何體中的某種關(guān)系，若在一般情況下成立，則特殊情況中一定成立，因此可從特殊情況入手尋找問題的求解思路.

（4）尋找平面圖形——空間問題平面化.空間幾何體都是由平面圖形構(gòu)成的，在處理某些問題時，熟悉平面幾何的相關(guān)性質(zhì)，方可準確找到問題的切入點.

只要抓住上述幾個要點，即可找迅速找到解答動態(tài)立體幾何問題的求解思路.

滿足了上述幾點，對試題的講解才能揭示問題的本質(zhì)，使學(xué)生形成系統(tǒng)的方法，進而有效提升其分析問題與解決問題的能力，實現(xiàn)會一題而通一類.否則，只能是就題論題，停留在試題的表面，無法實現(xiàn)學(xué)生解題能力的有效提升.