☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 楊雪梅

巧思“辯”解回歸本質(zhì)

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 楊雪梅

解題教學(xué)的初衷是教會(huì)學(xué)生用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是越來(lái)越多的試題、不加思考的訓(xùn)練讓教學(xué)很少有時(shí)間思考我們的教學(xué)是否需要做到“回頭一瞥”！回顧近年來(lái)各地高考真題，我們不難發(fā)現(xiàn)不少優(yōu)秀試題都在呈現(xiàn)一種信息：盡可能選拔出思維出眾，而讓通過(guò)大量做題獲得熟練度而得到高分的學(xué)生不占優(yōu)勢(shì).現(xiàn)階段有一種不良的教學(xué)習(xí)慣：不少教師用大量解題訓(xùn)練替代思維訓(xùn)練，用教輔資料提供的答案給予學(xué)生，讓機(jī)械成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主流，讓思維漸漸鈍化.這種教學(xué)方式是要不得的.因此筆者以為回顧數(shù)學(xué)解題，教師更要教會(huì)學(xué)生巧思“辯”解，回顧本質(zhì).

一、返璞歸真，追尋本質(zhì)

基本知識(shí)和基本技能的考查總是以不同的方式呈現(xiàn)出來(lái)，有些能一眼看出想考查的是什么，有些則看著讓人有些摸不著頭腦.我們要一層一層撥開(kāi)迷霧，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)和考查的目標(biāo).

問(wèn)題1已知遞增數(shù)列｛a｝n，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，S7＞7，S9＜18，則a8的取值范圍是__________.

答案：1＜a8＜5.

744數(shù)列得a8＞a4＞1.從S9＜18，可得a5＜2，但無(wú)法將它和a8的范圍直接聯(lián)系起來(lái).”

不少初學(xué)者在等差數(shù)列里面，利用性質(zhì)和公式不斷地嘗試，都不能很快地得到結(jié)果.當(dāng)我們思路不清時(shí)，不如尋找該知識(shí)點(diǎn)最本源的一些東西，比如定義、定理等.

學(xué)生一看到這一組式子恍然大悟，原來(lái)考查的是運(yùn)用線性規(guī)劃求范圍.

給出基本問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生再思考：已知函數(shù)f（x）=ax2+ bx-1（a＞0）有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則a-b的取值范圍是__________.（答案：（-1，+∞））.

二、巧思過(guò)程，呈現(xiàn)本質(zhì)

學(xué)生做完題，總是有這樣的想法，做出來(lái)了就萬(wàn)事大吉了，一般不會(huì)再回頭去看看、研究研究，總是盯著那些自己做錯(cuò)的題目.而將錯(cuò)題訂正對(duì)了以后，也不關(guān)心為什么原來(lái)錯(cuò)了，后來(lái)訂正的方法是不是最好的呢，有沒(méi)有更好的呢？為什么這樣的方法是最適合這個(gè)問(wèn)題的？學(xué)生很少有這方面的想法，所以有很多題目雖然做過(guò)了，訂正過(guò)了，但是再做時(shí)還是會(huì)錯(cuò).學(xué)生也很困惑，不得其解.教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目過(guò)程的回顧，從回顧比較中得出最優(yōu)的方法，更重要的是得到題目的精髓，在這樣的細(xì)致回顧和研究中才能提升學(xué)生的能力.

問(wèn)題2已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（x＞0），g（x）=x3+（a-2e）x2+（a+e2）x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底），試討論函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析：這個(gè)題目是某綜合練習(xí)的最后一題的第二小題，大部分學(xué)生只進(jìn)行了部分的計(jì)算，在令H（x）=0后得到等式：lnx-x3+2ex2-e2x-ax=0，繼而學(xué)生選擇了不同的路徑來(lái)處理這個(gè)方程解的問(wèn)題.

圖1

圖2

學(xué)生丙的方法：采用變量分離，將lnx-x3+2ex2-e2xax=0整理成：a=-（x-e）2.

max

學(xué)生丁的方法：將lnx-x3+2ex2-e2x+ax=0整理成=（x-e）2+a，然后和學(xué)生乙采用兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù).令兩個(gè)函數(shù)μ（x）=和ν（x）=（x-e）2+ a.由于μ′（x）=則可以清楚地判斷出μ（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，μ（x）=μ（e）=.結(jié)合

max圖像2判斷出結(jié)果.

學(xué)生評(píng)價(jià)：同學(xué)甲的方法最難實(shí)施下去，后三位同學(xué)雖然都得到了正確的結(jié)果，但是同學(xué)丁的方法最簡(jiǎn)潔，計(jì)算量最小.請(qǐng)學(xué)生思考：如果你是命題者，怎樣才能命制出我們研究的這道題目呢？

再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題也是通過(guò)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和包裝得到的，只要將這層層包裝打開(kāi)，就能看到問(wèn)題的本質(zhì)，其實(shí)它們也許很簡(jiǎn)單.我們要善于挖掘出命題者的真實(shí)意圖，這樣做題才能有針對(duì)性，才能化繁為簡(jiǎn)，從內(nèi)在提升學(xué)生的解題能力.

三、“辯”解計(jì)算，思考本質(zhì)

解析幾何問(wèn)題側(cè)重的是運(yùn)算能力的考查，但是運(yùn)算能力的考查也不是一味的死算，其中也必有算理和算法！筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中并未能找到恰當(dāng)?shù)乃憷硭惴?，而是一味的死算，?dǎo)致陷入計(jì)算的泥潭！下面是典型的一例：

圖3

圖4

分析：本題是一道非常優(yōu)秀的解析幾何小題.但是從學(xué)生思考的角度來(lái)看，很少有學(xué)生能思考問(wèn)題的本質(zhì).原因在哪里呢？我們不妨先看下標(biāo)準(zhǔn)答案提供的解答：

標(biāo)準(zhǔn)解答：設(shè)直線AF1斜率為k（k＞0），則直線AF1方程為y=k（x+），聯(lián)立橢圓x2+3y2=3，得

辨析：參看標(biāo)準(zhǔn)解答，我們不難發(fā)現(xiàn)，這樣的解答方式并不是我們想要的，也不可能在短短的應(yīng)試中完成的.究其原因：第一，解答過(guò)程違背了解析幾何求解的第一原則——“設(shè)而不求”，求點(diǎn)坐標(biāo)是解析幾何萬(wàn)不得已的方式，是問(wèn)題解決的大忌，如此煩瑣的運(yùn)算和呆板的算理，筆者認(rèn)為學(xué)生基本是放棄的.那么教師要引導(dǎo)學(xué)生思考本題考查的到底是什么呢？到底要在哪里體現(xiàn)解析幾何考查的本質(zhì)呢？讓我們靜心回想下橢圓中這兩條線段所呈現(xiàn)的關(guān)系？

師：拋開(kāi)這個(gè)問(wèn)題，我們回想下，橢圓本身具備何種對(duì)稱性？與過(guò)焦點(diǎn)的直線相交，這種對(duì)稱關(guān)系還具備嗎？

生：橢圓具備中心對(duì)稱和軸對(duì)稱，過(guò)焦點(diǎn)的直線具備了中心對(duì)稱的性質(zhì).哦！我發(fā)現(xiàn)了，只要利用中心對(duì)稱的性質(zhì)，如圖4，將線段BF2對(duì)稱到B1F1，問(wèn)題迎刃而解！

故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，±1）.

通過(guò)本題的分析與解，我們發(fā)現(xiàn)本題其實(shí)考查了橢圓中最基本的一個(gè)性質(zhì)——中心對(duì)稱性！可以這么說(shuō)，這是橢圓第一課時(shí)就向?qū)W生介紹，所有師生都非常熟悉的一個(gè)基本性質(zhì)，但是在問(wèn)題掩蓋的背后，還有多少學(xué)生能想到問(wèn)題所要考查的本質(zhì)呢？所以筆者以為，解題不能一味參看標(biāo)準(zhǔn)解答，要多思考問(wèn)題背后所呈現(xiàn)的教材中的基本知識(shí)和基本性質(zhì)，這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義所在！對(duì)教輔資料而言，筆者想說(shuō)盡信其不如無(wú)書！巧思“辯”解，回顧本質(zhì)，才是教學(xué)需要面向的！

1.董成勇.一類解析幾何問(wèn)題的解決［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（4）.

2.羅增儒.解題反思二則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬刊），2011（12）.

3.王志峰.從導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的一題多解中思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（2）.