☉江蘇省東臺中學(xué) 鄒施凱

基于“三維數(shù)學(xué)教育思想”的課堂教學(xué)實(shí)踐與思考
——二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題

☉江蘇省東臺中學(xué) 鄒施凱

一、寫在前面

2011年，筆者有幸參加江蘇人民教育家培養(yǎng)工程的學(xué)習(xí)研究活動，并借此機(jī)會豐富完善了我的“三維數(shù)學(xué)教育思想”（注：見江蘇教育出版社《著名特級教師教學(xué)思想錄》），并通過實(shí)踐的檢驗(yàn)和修正，進(jìn)一步指導(dǎo)我們的教學(xué)，如此循環(huán)往復(fù)，不斷提升.

“三維數(shù)學(xué)教育思想”主要從宏觀、中觀和微觀三個層面立體闡述了中學(xué)數(shù)學(xué)的教育觀.宏觀上，提出尋求數(shù)學(xué)教育觀中間地帶的三維道路；中觀上，提出構(gòu)建數(shù)學(xué)生態(tài)課堂的三維策略；微觀上，提出實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的三維細(xì)則：一是從教師角度的“三課教學(xué)法”，二是從學(xué)生角度出發(fā)的“三思學(xué)習(xí)法”，三是從解題研究角度出發(fā)的“三看解題法”.具體而言，“三課教學(xué)法”是指夯實(shí)課標(biāo)概念、拓展課標(biāo)例題、發(fā)散課標(biāo)問題，即上好數(shù)學(xué)課的前提是研究透徹課標(biāo)，把握好教學(xué)的方向；“三思學(xué)習(xí)法”是指建模的思想、辯證的思維、化歸的思路，即從數(shù)學(xué)思想方法的高度去理解數(shù)學(xué)、設(shè)計課堂；“三看解題法”是在具體的解題過程中，通過條件看特殊、結(jié)論看轉(zhuǎn)化、過程看溝通，靈活機(jī)動地去解決問題.

2016年11月，鹽城市教育局組織“讓學(xué)引思”暨江蘇省人民教育家培養(yǎng)工程培養(yǎng)對象的成果匯報活動，讓學(xué)引思的目的是構(gòu)建生本課堂，充分調(diào)動其自身內(nèi)在的積極因素，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，同時，通過教者的科學(xué)引導(dǎo)，引起學(xué)生的深入思考.史寧中教授曾說過：“課堂教學(xué)不在于教師講了多少，講得有多精彩，而在于通過教師的引導(dǎo)能引發(fā)學(xué)生思考.”筆者借此機(jī)會就“三維數(shù)學(xué)教育思想”下微觀層面上設(shè)計了一節(jié)關(guān)于“二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題”的專題探究課，希望能引起大家的思考與共鳴.

二、教學(xué)片段

（一）情境導(dǎo)入

師：二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，同學(xué)們一定很熟悉，它是函數(shù)問題的重點(diǎn)，也是高考命題反復(fù)涉及的熱點(diǎn)，下面請大家通過小組合作來解決問題1，希望能引發(fā)同學(xué)們的思考.

問題1求函數(shù)y=3x2-12x+5當(dāng)自變量在下列范圍內(nèi)取值時的最值.

圖1

圖2

圖3

圖4

生1（小組代表）：如圖（投影給出），二次函數(shù)y=3（x-2）2-7的大致草圖，其對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-7），且函數(shù)在（-∞，2］上是單調(diào)減函數(shù)，在［2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以四個問題的答案一目了然.

教學(xué)說明：本題是二次函數(shù)最值問題中最基本的，也是最常見的一種問題，即二次函數(shù)的對稱軸確定、自變量區(qū)間確定（俗稱“兩定型”），引導(dǎo)學(xué)生通過“三思學(xué)習(xí)法”中的建模的思想，畫出二次函數(shù)圖像，并取出對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的部分圖像，最值自然水落石出.設(shè)計此題的目的主要是引發(fā)學(xué)生的思考，為后續(xù)運(yùn)動變化狀態(tài)下的二次函數(shù)最值問題作鋪墊.

師：這位同學(xué)回答得很好！上述問題都是在給定對稱軸和給定區(qū)間的情況下求最值的，問題比較好解決，若把定區(qū)間改為動區(qū)間，我們?nèi)绾蝸硭伎即祟悊栴}呢？

問題2已知函數(shù)f（x）=x2+4x+3，x∈R，g（t）表示f（x）在［t，t+2］上的最大值，求g（t）.

生2：先畫出函數(shù)f（x）=x2+4x+3，x∈R的草圖，確定其對稱軸，然后對區(qū)間［t，t+2］和對稱軸之間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.

師：思路不錯！下面請大家分組合作，進(jìn)行探究.

生3（小組代表）：

圖5

圖6

圖7

圖8

解：因?yàn)閥=（x+2）2-1，所以函數(shù)對稱軸為直線x=-2，將動區(qū)間［t，t+2］從左向右移動，討論如下：

如圖5，當(dāng)t+2≤-2，即t≤-4時，g（t）=f（t）=t2+4t+3.

如圖6，當(dāng)t≤-2≤t+2且t較t+2遠(yuǎn)離x=-2，即-4≤t≤-3時，g（t）=f（t）=t2+4t+3.

如圖7，當(dāng)t≤-2≤t+2且t+2較t遠(yuǎn)離直線x=-2，即-3≤t≤-2時，g（t）=f（t+2）=t2+8t+15.

如圖8，當(dāng)-2≤t，即t≥-2時，g（t）=f（t+2）=t2+8t+15.

師：在這里，老師要說明一點(diǎn)，當(dāng)t=-3時，區(qū)間［t，t+ 2］兩端點(diǎn)關(guān)于x=-2對稱，同時取得最大值g（t）=f（t）=f（t+ 2）=0.

教學(xué)說明：在問題1的基礎(chǔ)上，問題2的設(shè)計體現(xiàn)了動與靜的完美結(jié)合，從“三思學(xué)習(xí)法”的角度去理解，也是一種辯證的思維，在二次函數(shù)對稱軸確定的基礎(chǔ)上，把運(yùn)動的區(qū)間辯證地看著靜止的狀態(tài)，分別就區(qū)間在對稱軸左側(cè)、跨對稱軸、對稱軸右側(cè)，將問題轉(zhuǎn)化為問題1的處理方法，達(dá)到化動為靜的目的，體現(xiàn)了化歸的思路.

師：同學(xué)們，處理二次函數(shù)最值問題的關(guān)鍵就是看對稱軸和取值范圍兩者的關(guān)系，剛才在問題2中是定“對稱軸”，動“區(qū)間”，接下來我們把動與靜的位置關(guān)系換一換，再進(jìn)行下面的探究.

問題3已知y=x2-2ax+a，x∈［-2，3］，求函數(shù)的值域.

教學(xué)說明：經(jīng)過大家的充分思考和一番討論、爭辯，小組代表發(fā)言如下：

生4：因?yàn)閥=（x-a）2+a-a2，所以函數(shù)對稱軸為直線x= a，討論如下：

圖9

圖10

圖11

圖12

如圖9，當(dāng)區(qū)間［-2，3］在對稱軸左側(cè)，即a≥3時，y∈［f（3），f（-2）］=［9-5a，4+5a］.

如圖10，當(dāng)-2≤a≤3且“-2”較“3”遠(yuǎn)離直線x=a，即≤a≤3時，y∈［f（a），f（-2）］=［a-a2，4+5a］.

如圖11，當(dāng)-2≤a≤3且“3”較“-2”遠(yuǎn)離直線x=a，即-2≤a≤1

2時，y∈［f（a），f（3）］=［a-a2，9-5a］.如圖12，當(dāng)a≤-2，y∈［f（-2），f（3）］=［4+5a，9-5a］.生5：最后要把所有結(jié)果歸納一下，

教學(xué)說明：盡管本題的對稱軸是運(yùn)動變化的，但我們可以運(yùn)用辯證的思維把它看成是靜止的，反過來把靜止的區(qū)間［-2，3］看成從左向右不斷移動的，把問題化歸為問題2中的處理方法，分類討論，各個擊破.

師：剛才大家分析的是假定對稱軸確定而自變量取值范圍不確定情況下的二次函數(shù)最值問題，如果這兩者都在運(yùn)動，我們又有何良策呢？

問題4求函數(shù)y=-x（x-a）在x∈［-1，a］上的最大值.

生6：先確定它的對稱軸，再結(jié)合區(qū)間分類進(jìn)行討論.

又x∈［-1，a］，所以a＞-1，同上分析，將對稱軸看成靜止的，讓區(qū)間從左向右移動，只要分如下三種情況討論：

圖13

圖14

又a＞-1，則-1＜a≤0時，ymax=f（a）=0.

圖15

教學(xué)說明：當(dāng)對稱軸和區(qū)間都在運(yùn)動時，我們可以先把對稱軸視為靜止?fàn)顟B(tài)，讓區(qū)間從左至右，分別確定在對稱軸左側(cè)、跨對稱軸、對稱軸右側(cè)三種情況討論，把問題辯證地看成一定一動型來研究，達(dá)到化歸的目的.

師：從“兩定型”到“一定一動型”，再到“兩動型”，大家經(jīng)歷了一個由簡單到復(fù)雜，由靜止到運(yùn)動的探究過程，一定有很多體會與想法，把它說出來，與大家一起分享吧！

生11：解決此類問題要先把對稱軸確定下來.

生12：運(yùn)動型問題其實(shí)并不難，只要我們善于動腦，把一定一動問題看成“一定”+“另一定”；把兩動看成“一定”+“一動”，最終回歸到兩定問題，體現(xiàn)了化歸的思路.

生13：運(yùn)動的問題可以靜止地去看，任何事物都是辯證的.

師：實(shí)際上只要題目給出二次函數(shù)的圖像和區(qū)間，無論是確定的數(shù)字，還是不確定的字母，我們都可以以“一瞬間的靜止”來處理它，剛才幾位同學(xué)歸納得都很好！感受也很深刻，能辯證地看待和思考問題，這就是人生的最大收獲！

三、教學(xué)反思

1.研透課標(biāo)，對照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求夯實(shí)課標(biāo)概念、拓展課標(biāo)例題、發(fā)散課標(biāo)問題

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計，要充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能夠體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，尋求結(jié)果和解決問題的過程.本節(jié)課的教學(xué)體現(xiàn)了課標(biāo)的基本要求，詮釋了課標(biāo)的內(nèi)涵，反映出教者對課程標(biāo)準(zhǔn)的深刻理解，以求二次函數(shù)最值為思路對問題進(jìn)行了由靜態(tài)到動態(tài)的有效探究.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，從“靜止+靜止”（確定的二次函數(shù)和確定的區(qū)間）開始研究函數(shù)的最值，到“靜止+動態(tài)”（確定的二次函數(shù)和動態(tài)的區(qū)間）下求函數(shù)最值，再到“動態(tài)+靜止”（動態(tài)的函數(shù)圖像和確定的區(qū)間）下求函數(shù)最值，最后到“動態(tài)+動態(tài)”（動態(tài)的函數(shù)和動態(tài)的區(qū)間）下求函數(shù)的最值，問題在層層深入的過程中逐步展開，對課本例題進(jìn)行了有效的拓展與變式，通過教者對學(xué)生的讓學(xué)與引思，引領(lǐng)學(xué)生主動合作與探究，有效詮釋了課程標(biāo)準(zhǔn)“以生為本”的理念，為學(xué)生的思維發(fā)展架起梯、搭起橋，引發(fā)了學(xué)生深入的思考，充分挖掘了學(xué)生的思維潛能，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和探索能力的提升，讓學(xué)生在經(jīng)歷問題探究的過程中體會了由特殊到一般、轉(zhuǎn)化、建模、分類等數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生樂在其中，不知不覺中學(xué)會了解決問題的方法，提升了解決問題的能力.

2.構(gòu)建模型，引領(lǐng)學(xué)生在思想方法的指引下學(xué)習(xí)建模的思想、辯證的思維、化歸的思路

從微觀的角度來分析，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，關(guān)鍵要抓住三個點(diǎn)予以比較，即拋物線的頂點(diǎn)和區(qū)間的兩個端點(diǎn).無論是對稱軸和區(qū)間確定與否，首先應(yīng)該求出二次函數(shù)的對稱軸并畫出其對稱軸和簡易的拋物線，建立比較大小的數(shù)學(xué)模型，即建模的思想，然后通過所給區(qū)間與對稱軸之間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類討論，無論對稱軸是確定的直線還是不確定的用字母表示的直線，我們都必須先把它安排“確定”下來，作為“不變”的量，用辯證的思維去思考問題，并最終將問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的“靜止+靜止”（函數(shù)確定、范圍確定）類問題上來.

特別地，在問題2中，f（x）=x2+4x+3，x∈R在區(qū)間［t，t+ 2］上的最大值，其中t≤-2≤t+2時，其最大值是f（t）還是f（t+2），就要看和這兩個值誰離直線x=-2較遠(yuǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的建模思想化動為靜的轉(zhuǎn)化思想，更體現(xiàn)了一種辯證的思維方式.在分類的基礎(chǔ)上，將問題化歸至靜態(tài)情形下，并通過對圖像的觀察來比較大小，實(shí)現(xiàn)了問題的化歸.

3.尊重學(xué)生，讓其在探究問題的過程中學(xué)會條件看特殊、結(jié)論看轉(zhuǎn)化、過程看溝通

縱觀本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生由熟悉的問題探究到陌生的問題，由靜態(tài)的問題逐步研究到動態(tài)的問題，整個學(xué)習(xí)的過程基本上都在學(xué)生小組合作探究下完成的，教者始終尊重學(xué)生的意見，使每位學(xué)生的潛能都得到最大可能的發(fā)揮，讓不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所獲，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.課堂上，教者深度詮釋了“讓學(xué)引思”的教學(xué)理念，在層層深入的4個問題中，始終讓“思”于生、讓“議”于生、讓“講”于生、讓“問”于生，使學(xué)生有足夠的時間和空間經(jīng)歷建模、觀察、計算、表述等活動，教者在活動過程中恰到好處的“點(diǎn)睛”、“生疑”更是讓學(xué)生的思維豁然開朗.

從解題的角度來分析，二次函數(shù)的對稱軸是特殊的，若是用字母表示直線，我們可以理解為它處于運(yùn)動狀態(tài)，是不確定的，但我們也可以理解為它已經(jīng)確定了，先把它看著特殊的直線給定下來，這就是一種條件看特殊；對于給定的區(qū)間，無論是數(shù)字區(qū)間，還是字母區(qū)間，我們也可以在分類的基礎(chǔ)上把區(qū)間內(nèi)的這部分拋物線看成是靜止的、特殊的，在基于這種辯證理解的基礎(chǔ)上，去探尋最值，去把最值問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和頂點(diǎn)函數(shù)值之間的大小比較問題，這樣的處理凸顯了“三看解題法的內(nèi)涵”，使解決問題的思路清晰自然，題目的結(jié)果水到渠成，從而使問題得以順利解決.所以，不管是動態(tài)的問題還是靜態(tài)的問題，主要是在這個解決問題的過程中作好溝通，把動態(tài)的問題向靜態(tài)轉(zhuǎn)化，把陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，才是解決問題的關(guān)鍵.