☉浙江省湖州二中 費 凡 沈 恒

思教材，辨概念，觀素養(yǎng)
——《三角函數(shù)的誘導公式》課例研究

☉浙江省湖州二中 費 凡［1］沈 恒［2］

近期，筆者參加了一次教師專業(yè)技能交流活動，課題為人教A版《必修4》1.3《三角函數(shù)的誘導公式》第一課時.本課內(nèi)容單一、形式枯燥，筆者不禁在思考：《三角函數(shù)的誘導公式》這節(jié)課的內(nèi)容能讓學生除了公式的應用之外還能學到什么？將新知的學習能否上升到更高的層面？通過本課的演繹，產(chǎn)生點滴想法，與讀者交流.

《三角函數(shù)的誘導公式》這一節(jié)課的教學重點在于如何讓學生學會將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到銳角的三角函數(shù)，而讓學生自己體會這個轉(zhuǎn)化的過程則是本節(jié)課的一個難點.剛進入高中的學生對于抽象的數(shù)學問題較難理解，所以如何讓學生能夠?qū)⒊橄蟮摹㈦y以理解的數(shù)學問題，用具體、形象的數(shù)學模型進行拆解分析是本堂課的一個難點.

在思考本課設計時，筆者參考了不少相關(guān)教學設計，發(fā)現(xiàn)大部分設計對于問題情境的切入簡單而直接，起到了引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生探究欲望的作用，但在形式上過于單一，或者問題過于零碎、牽強，對三角函數(shù)誘導公式的數(shù)學本質(zhì)揭示得不夠貼切，故不禁思索：

（1）一個好的引入可以成功引起學生的學習興趣，本課應該選取一個怎么樣的適當切口，既能符合學生的認知程度，又能很自然地引導學生發(fā)現(xiàn)探究的方向？

（2）學生的探究活動應該如何進行？

（3）數(shù)學的學習需要一定數(shù)量與難度的習題來鞏固，而在課堂上何處放置例題，放置什么樣難度的習題則是一個考驗，因為過量的練習會讓一節(jié)本該是概念式教學的課程變形成解題式教學的模式，這也是新教師經(jīng)常容易會犯的錯誤，但是如果練習的量太少，則無法起到示范引領的作用.

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（之后就簡稱為“課標”）要求：借助三角函數(shù)定義或單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式［1］.根據(jù)“課標”要求，筆者深受啟發(fā)，知識的獲得和內(nèi)化必須符合學生的認知規(guī)律，并借助學生已有的經(jīng)驗對知識進行自主性地構(gòu)建，故類比對數(shù)教學中的換底公式的引入，“如何計算出每個對數(shù)的具體數(shù)值”，引起學生現(xiàn)有認知的不足，然后提出了一個將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化到自然對數(shù)和常用對數(shù)再通過查表的方式計算對數(shù)值的想法，從而將換底公式進行合理導入.基于這節(jié)課，筆者想到了三角函數(shù)誘導公式的切入口也在于轉(zhuǎn)化，那么如何將學生的思維引導到“轉(zhuǎn)化”三角函數(shù)值上就成為這節(jié)課一個極好的導入方向.因此，筆者在課堂教學過程中運用了一定教學策略，通過讓學生自己發(fā)現(xiàn)自身現(xiàn)有三角知識體系上的不足展開探究，幫助學生打開知識的大門，引導學生利用數(shù)學建模的思想解決問題，總結(jié)結(jié)論，促使教材內(nèi)容活化，升華學生對抽象知識的掌握、理解能力，筆者設計了如下教學：

一、過程簡錄

1.創(chuàng)設情境，形成沖突，激發(fā)欲望

師：在之前一周的學習中，我們已經(jīng)對三角函數(shù)有了初步的了解，相比初中所學習的內(nèi)容，我們做了哪些改進？

生：將角從0°～360°推廣到了任意角，將銳角的三角函數(shù)推廣到了任意角的三角函數(shù).

師：好！在上周的學習中，我們打破了以往銳角、直角、鈍角的角的體系，將其推廣到了任意角的范疇，并將三角函數(shù)的領域也拓寬到了任意角的三角函數(shù)，但是在推廣后同學們有沒有遇到什么問題？

生：對于部分銳角的三角函數(shù)值能夠熟練應用，但是一旦推廣到了任意角的三角函數(shù)，有些數(shù)值就很難快速去判斷、解決.

師：對！部分銳角的三角函數(shù)值大家很熟悉，但是將其推廣到任意角的三角函數(shù)后，求其值就變得較難操作了，如果現(xiàn)在要解決這四個角的三角函數(shù)值，有什么辦法嗎？

生1：可以借助計算器、電腦.

生2：可以通過三角函數(shù)線，利用幾何知識求解.

師：非常好！老師學習的時候沒有電腦、計算器，靠著一本小寶典《中學數(shù)學用表》，通過查表來解決.

生：“小寶典”里有0°到90°內(nèi)的所有角的三角函數(shù)值，那這本“小寶典”還是不夠用.

師：好！同學們觀察非常仔細，“小寶典”內(nèi)的角貌似不夠用.為什么“小寶典”內(nèi)只有銳角的三角函數(shù)值，是真得不夠用嗎？

生：應該可以將任意角的三角函數(shù)都轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)！

師：很好！本課我們一起探究如何將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù).

2.生成問題，形成探究，助推生長

在課堂教學中學生對所探究問題的回答往往在不經(jīng)意中出現(xiàn)一些亮點，這正是他們深入思考后的頓悟和創(chuàng)新意識的萌芽，而教師要善于捕捉智慧的火花，形成探究生長點，然學生思維之花盡情綻放［2］.

師：先回憶上節(jié)課是如何定義任意角的三角函數(shù)的.

生：任意角的三角函數(shù)是以角為變量，角的終邊與單位圓交點的坐標為函數(shù)值的函數(shù).

師：好！根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，研究三角函數(shù)的值從圖像上來看有什么啟發(fā)？

生1：只需要研究角的終邊就可以了.

生2：還知道角之間每相差2π的整數(shù)倍，其終邊就是相同的.

生3：終邊相同的角的三角函數(shù)值相同.

師：是的.將大家的表述小結(jié)一下，用數(shù)學的語言來

師：盡管不能一下子將這四個角的三角函數(shù)值的問題都解決，但是我們在應用這組公式解決問題的同時是否能感受到這組公式的魅力，這組公式暗示了什么呢？

生：可以將任意角的三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為［0，2π］內(nèi)角的三角函數(shù)求值問題.

3.思考問題，尋求特征，精準切入

師：好！盡管角的范圍非常的廣，但實際上“當角的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈時，同名的三角函數(shù)值是周而復始的，那么當角的終邊旋轉(zhuǎn)整數(shù)圈時我們能尋找到一定的規(guī)律，那如果只旋轉(zhuǎn)半圈是不是也會有相應的結(jié)論呢？

探究1：若角的終邊只旋轉(zhuǎn)半圈，那么旋轉(zhuǎn)前后的兩個角的三角函數(shù)有什么關(guān)系？

師：探究的關(guān)鍵在于研究角的終邊，那么結(jié)合所學知識，大家有什么好的研究方法.

生：我們可以利用三角函數(shù)線進行探究.

師：好，結(jié)合三角函數(shù)線探究.如圖1所示，設α角的終邊OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°到OP1這個位置，則以OP1為終邊的角與角α的三角函數(shù)有何關(guān)系呢？

圖1

（給予充足時間讓同學們畫圖、討論）

生：通過圖形的對稱性發(fā)現(xiàn)兩個角的正弦線和余弦線具有相等或互為相反數(shù)的關(guān)系.

師：用數(shù)學語言如何表述？

4.適時點撥，嚴控方向，加強調(diào)控

問題1：這組公式的作用是什么？

生：它們可以將第三象限角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值求解.

問題2：在通過探究得到這組公式的推導過程中，思考成功的關(guān)鍵在于哪里？

生1：發(fā)現(xiàn)了一組全等的三角形.

生2：終邊是關(guān)于原點對稱的.

師：非常好！通過探討我們發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論的產(chǎn)生的本質(zhì)在于終邊的對稱關(guān)系，那之前探索的方向是終邊旋轉(zhuǎn)多少圈的問題，經(jīng)過這次探究的改進，我們研究的方向就是研究終邊的一個對稱關(guān)系，那同學們想一想，對稱關(guān)系除了關(guān)于原點對稱以外，還有哪些對稱關(guān)系呢？

生：關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸對稱.

師：接下來分為兩個小組，請同學們分別來探究下，終邊關(guān)于x軸對稱和關(guān)于y軸對稱分別能得到哪些結(jié)論？（分小組合作探究，詳細過程不贅述）

5.回顧過程，反思行為，揭示本質(zhì)

師：由此可以得到四組公式，通過這四組公式，我們可以將四個象限的角的三角函數(shù)都轉(zhuǎn)化成第一象限角的三角函數(shù)，這個過程可以看作一個角的誘導變換的過程，所以將這四個公式命名為三角函數(shù)的誘導公式.回顧整個探究的過程，誘導公式的得到其實反映的本質(zhì)就是終邊的對稱關(guān)系，即在形的方面表現(xiàn)的是角的終邊的對稱性，在數(shù)的方面則就是今天得到的三角函數(shù)的誘導公式，這也進一步說明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學學習過程中的重要性，如圖2.

圖2

二、教學反思

《三角函數(shù)誘導公式》是本章節(jié)中具備承上啟下作用的重要內(nèi)容.它既從定義的角度研究了終邊具備一定關(guān)系的角之間的三角函數(shù)值關(guān)系，更從思想認知的深層次上體會了轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，回顧本節(jié)課有幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié).

1.回顧復習，多元切入

2.合理設計，生生探究

本課重點研究了前四組誘導公式，其中公式的探究過程以生生探究為主實現(xiàn)，這里筆者以學案形式設計了一系列“圖形”為基本的探究，讓學生從三角函數(shù)線的角度探究、合作、交流，每一組學生代表清晰地表述了各公式的推導、理解過程.

3.關(guān)注本質(zhì)，巧妙記憶

《誘導公式》一課的常態(tài)教學往往是對公式的死記硬背，但筆者卻站在系統(tǒng)的高度優(yōu)化了這種記憶方式：其一，回顧公式與對應圖形，從數(shù)形結(jié)合的角度體會“形”——終邊關(guān)系，“數(shù)”——誘導公式，將學習從知識技能層面上升到思想層面；其二，請多位學生觀察四組12個公式特征，通過思考總結(jié)出“函數(shù)名不變，符號看象限”的優(yōu)化記憶方式.

4.核心素養(yǎng)，靜待花開

2016年《普通高中數(shù)學課程標準》（內(nèi)部）討論稿中提出了數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)，對一線教學而言，在教學中如何讓核心素養(yǎng)落地成為教師關(guān)注、思考的重心.在《三角函數(shù)誘導公式》一課中，公式的推導過程正是體現(xiàn)了“數(shù)學抽象”這一素養(yǎng)如何落地，一個“代數(shù)”公式用一種“幾何”手段完美詮釋；筆者對學生每一句表述的修正、每一個符號的交流恰讓“邏輯推理”素養(yǎng)嚴密落地；對例題、訓練的實踐，并在這過程中優(yōu)化學生解決方案體現(xiàn)了程序化思想問題、形成一絲不茍的“數(shù)學運算”素養(yǎng).

三、過程感悟

葉圣陶先生說：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導.”因此在探究式教學過程中，教師通過創(chuàng)設情境，在教學內(nèi)容和學生已有認知之間創(chuàng)設一種“矛盾”，讓學生置身于一種探索問題的情境中，產(chǎn)生對新知識的渴望，從而引發(fā)其學習的興趣和欲望，而如何充分運用教材，從教材中獲得靈感設計問題的情境則是對一名教師的考究.筆者通過本堂課的實錄，細細回憶、反思：對于一節(jié)公開課、一節(jié)示范課，難在如何展現(xiàn)問題，難在如何讓學生主動投入其中，難在如何為學生開辟一條適合的學習之路.對于學生來說：教師要在課堂上關(guān)注學生的“經(jīng)驗”，關(guān)注學生的“問題”，關(guān)注學生的“活動”，關(guān)注學生的“再創(chuàng)造”.

相比以往，筆者認為本堂課的突破在于：

（1）“探索式”的引入.本堂課的引入不同于一般教學中，開門見山或者生活情境式的切入，而是在引發(fā)學生認知“矛盾”的同時給予學生探索的方向，讓學生自己在觀察、發(fā)現(xiàn)中感悟數(shù)學中“轉(zhuǎn)化”的魅力.波利亞就曾提出數(shù)學教與學的最佳動機原則，如果學習者缺乏活動的動機，就不會有所行動；相反，學習者能經(jīng)歷用已有知識無法解決的問題，就會激發(fā)其學習探究的興趣，讓其主動投身于學習中［3］.

（2）回歸數(shù)形結(jié)合的“本質(zhì)”.“課標”指出：高中數(shù)學課堂應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)；應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，而本節(jié)課《三角函數(shù)的誘導公式》中，在逐步對問題展開探索的過程中，教師先是探索了終邊繞整圈和繞半圈的情況，發(fā)現(xiàn)了公式一和公式二，在此之后進行歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)生成公式的本質(zhì)在于終邊的對稱性，進而以終邊不同的對稱情況逐一進行探索，終得到了四組誘導公式.回顧生成誘導公式的探究過程，實際上誘導公式就是角的終邊對稱關(guān)系的另一種表現(xiàn)形式，即在形的方面表現(xiàn)出來的是角的終邊的對稱性，而在數(shù)的方面表現(xiàn)出來的就是三角函數(shù)的誘導公式.而本節(jié)課在逐步探究，解決問題的過程中就讓學生感知到了“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，讓學生感受到了數(shù)學的美.

（3）培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學語言.“課標”指出：“數(shù)學語言具有精確、簡約、形式化等特點，能否恰當?shù)剡\用數(shù)學語言及自然語言進行表達與交流也是評價的重要內(nèi)容.數(shù)學的建構(gòu)過程就是用數(shù)學語言刻畫研究對象或問題的過程.”本節(jié)課就是要將終邊對稱性的自然語言用“三角函數(shù)”這一數(shù)學語言進行刻畫，在學習如何表述的過程中一定程度上也是對學習內(nèi)容的內(nèi)化和鞏固，利于形成自然、合理、流暢的教學過程，產(chǎn)生簡約有效的教學效果［4］.

在應試教學為主導的今天，筆者嘗試著回歸數(shù)學教學的本質(zhì)，追尋如何把數(shù)學概念演繹得清晰、易懂，如何把概念的外延、內(nèi)涵滲透到學生認知結(jié)構(gòu)中，通過概念教學的“前世”、“今生”豐富學生的數(shù)學素養(yǎng)，靜待花開.

1.中華人名共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.方志平.高中數(shù)學探究式教學問題的探究引導［J］.中學數(shù)學教學參考：上旬，2016（7）.

3.王克亮.從教材中尋找創(chuàng)設問題情境的靈感［J］.中學數(shù)學教學參考：上旬，2016（3）.

4.沈恒.采菊東籬下悠然見南山——課堂教學行走在“兩極”之間［J］.中學數(shù)學（上），2016（5）.