☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級(jí)中學(xué) 沈金興

基于不同版本“導(dǎo)數(shù)概念”的比較研究
——以人教版和蘇教版的教科書為例

☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級(jí)中學(xué) 沈金興

一、問(wèn)題提出

自十多年前的課程改革開始，我國(guó)各省采用的高中數(shù)學(xué)教科書不再統(tǒng)一，于是除了人民教育出版社出版的教材（簡(jiǎn)稱人教版）外，還同時(shí)出現(xiàn)了江蘇教育出版社出版的教材（簡(jiǎn)稱蘇教版）及其他簡(jiǎn)稱湘教版、滬教版等各類教材.這些教材都是在教育部制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（簡(jiǎn)稱課標(biāo)）的要求下編寫的.雖然標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，但在具體內(nèi)容的編寫過(guò)程中還是會(huì)采用不同的方式，因?yàn)榫帉懻邔?duì)課標(biāo)的理解和編寫理念還是有所區(qū)別的，這就導(dǎo)致了某些知識(shí)點(diǎn)甚至是概念的表述會(huì)處理得不同.為了能在教學(xué)中更好地設(shè)計(jì)某個(gè)知識(shí)的傳授，可通過(guò)比較不同版本教科書中的處理方式，然后再取長(zhǎng)補(bǔ)短，作出最佳的選擇.筆者此次選取了人教A版（下稱人教版）與蘇教版這兩個(gè)版本的教材，就《選修2-2》中的1.1節(jié)“導(dǎo)數(shù)概念”的編寫作了一個(gè)比較，以觀察這兩個(gè)版本對(duì)“導(dǎo)數(shù)概念”是通過(guò)怎樣的例子來(lái)引入的？又是用何種方式來(lái)表征的？對(duì)一線教師的授課能帶來(lái)什么啟示？

二、課標(biāo)的要求

課標(biāo)首先對(duì)這一章作了大致的說(shuō)明：“導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，理解導(dǎo)數(shù)概念……通過(guò)該模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值.”［1］

而對(duì)具體內(nèi)容“導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義”的要求則更詳細(xì)：“①通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.②通過(guò)函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.”［1］

兩個(gè)版本都是嚴(yán)格按照課標(biāo)的要求來(lái)編寫，但在實(shí)際處理時(shí)，對(duì)實(shí)例的選擇和內(nèi)容先后順序的安排還是會(huì)不一樣的.下面以這兩個(gè)版本的教科書呈現(xiàn)的文本為基礎(chǔ)，從宏觀和微觀兩個(gè)層面建立框架來(lái)分析，以便清晰地考察兩個(gè)版本在同一內(nèi)容上的異同點(diǎn).

三、分析討論與比較

1.導(dǎo)數(shù)的起源簡(jiǎn)述

為了有利于理解這兩本教材在對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的引入和表征上的差異，有必要先對(duì)導(dǎo)數(shù)的起源有一個(gè)大概的了解.眾所周知，17世紀(jì)誕生了微積分，但導(dǎo)數(shù)的起源可追溯到更早的古希臘時(shí)期.它主要源于三個(gè)很古老的問(wèn)題：光學(xué)問(wèn)題中對(duì)于一般曲線的入射光是怎樣反射的？如何確定曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向？如何來(lái)求兩條相交的曲線所構(gòu)成的夾角？但要解決這三個(gè)不同問(wèn)題，歸根結(jié)蒂卻都需要先解決同一個(gè)問(wèn)題：那便是曲線的切線問(wèn)題.［2］

正是由于這三個(gè)古老問(wèn)題都迫切要求解決切線問(wèn)題，故該問(wèn)題成了17世紀(jì)上葉最核心也是最重要的問(wèn)題之一.而此問(wèn)題的解決就標(biāo)志著導(dǎo)數(shù)的誕生.由此可見，切線問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)有著密不可分的關(guān)系，要講授導(dǎo)數(shù)概念，一定繞不開曲線的切線問(wèn)題.

2.導(dǎo)數(shù)概念在兩個(gè)版本中的編寫比較

（1）宏觀層面：導(dǎo)數(shù)概念的呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)內(nèi)容比較.

先從宏觀層面來(lái)考察人教版與蘇教版在導(dǎo)數(shù)概念引出方面的情況.人教版安排了3小節(jié)，蘇教版安排了2小節(jié)，具體呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)內(nèi)容見表1.

表1 宏觀層面：呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的結(jié)構(gòu)順序

從宏觀角度來(lái)觀察兩個(gè)版本，顯然在導(dǎo)數(shù)概念呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)框架方面都遵循了課標(biāo)的要求：通過(guò)大量實(shí)例來(lái)引入平均變化率，再到瞬時(shí)變化率，最后得出導(dǎo)數(shù)概念.所以其編寫的整體思路大致一樣：都是從特殊例子再到一般化，且在導(dǎo)函數(shù)概念的表征上也類似：先給出函數(shù)f（x）在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，再“點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)”得到導(dǎo)函數(shù)，也都沒有從極限的“ε-δ”語(yǔ)言定義和嚴(yán)格的連續(xù)性定義來(lái)描述，而是從實(shí)例與切線斜率出發(fā)，由形到數(shù)讓學(xué)生直觀形象地感受“以直代曲”的微積分思想后就立即得出概念，而這也符合中學(xué)生的認(rèn)知水平.

當(dāng)然，所不同的就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義安排的順序有區(qū)別.人教版是先給出f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)概念，然后再說(shuō)明它的幾何意義就是x=x0處的切線斜率；蘇教版是先理解曲線上某一點(diǎn)處切線概念，然后從切線斜率、瞬時(shí)速度等歸納出f（x）在x=x0處的概念.就這個(gè)編排順序的不同反映了編寫者們對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的不同傳授角度.人教版的編者是嚴(yán)格按課標(biāo)要求的順序來(lái)寫的：先知道在x=x0處的導(dǎo)數(shù)概念，再進(jìn)一步從函數(shù)圖像去直觀理解該概念的意義，從而加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).但蘇教版的編者卻對(duì)調(diào)了課標(biāo)中安排的順序，打了一個(gè)“時(shí)間差”，這說(shuō)明了蘇教版編者的不同視角，他們以歷史發(fā)生原理為依據(jù)［2］，認(rèn)為講授導(dǎo)數(shù)就應(yīng)該遵循歷史上發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的時(shí)間順序，即數(shù)學(xué)家們是先弄清楚了曲線的切線問(wèn)題后才得到導(dǎo)數(shù)的.這就體現(xiàn)了兩版本的編寫者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的不同理念.

（2）微觀層面：導(dǎo)數(shù)概念的引入與表征比較.

①導(dǎo)數(shù)概念的引入比較.

從微觀層面觀察，人教版與蘇教版在導(dǎo)數(shù)概念引出之前的具體細(xì)節(jié)處理上還是有些不同.雖然都遵循課標(biāo)的要求：從日常生活中的例子來(lái)引入，以突出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，但對(duì)實(shí)例的選擇是各不相同的.人教版選擇了氣球的膨脹率和運(yùn)動(dòng)員高臺(tái)跳水來(lái)引出平均變化率，然后一直圍繞著這兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明瞬時(shí)變化率；而蘇教版則選擇了日常生活中“天氣熱得太快了”這個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明氣溫“陡增”的數(shù)學(xué)意義，繼而又例舉了嬰兒周歲的體重變化與虹吸管容器中水的變化量來(lái)說(shuō)明，然后又用了數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)、一次函數(shù)來(lái)計(jì)算平均變化率.

第一節(jié)的實(shí)例是為了得出x=x0處的概念而作鋪墊的.人教版只用了生活中的實(shí)例，沒有數(shù)學(xué)本身的例子，給人的印象是導(dǎo)數(shù)就是為了解決生活中的實(shí)例而誕生的，并沒有數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在需求，有點(diǎn)“去數(shù)學(xué)化”的嫌疑，這樣會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生誤解，因?yàn)闅v史事實(shí)并非如此.相比較蘇教版則要處理得全面些.既有生活中的例子，也有數(shù)學(xué)本身的例子，兩者兼顧，讓學(xué)生明白導(dǎo)數(shù)既是解決實(shí)際生活中的需要也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需求而誕生并完善起來(lái)的，這樣也更符合課標(biāo)中“通過(guò)大量實(shí)例”的要求.

②導(dǎo)數(shù)概念的表征比較.

人教版對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的得出分了三步.第一步是由瞬時(shí)變化率得出y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)：f′（x0）第二步借助信息技術(shù)演示圖1中PPn的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生理解在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)P處的切線PT的斜率k，第三步才給出描述性的導(dǎo)數(shù)概念：當(dāng)x=x0時(shí)，f′（x0）是一個(gè)確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）便是x的一個(gè)函數(shù)，稱它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)），記作y′，即f′（x）=y′=

圖1

蘇教版在得出導(dǎo)數(shù)概念時(shí)也分了三步.第一步是詳細(xì)講述曲線上一點(diǎn)處的切線.先把點(diǎn)P附近的曲線可視為直線，如圖2，引出“以直代曲”的思想；然后探究過(guò)曲線上一點(diǎn)P的割線如何通過(guò)逼近最后得到切線，教材上安排了一個(gè)動(dòng)畫鏈接，如圖3；最后給出切線斜率的描述性定義：當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)P（x，（fx））處的切線斜率.第二步又通過(guò)瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度給出了函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=（fx）在區(qū)間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），若Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱（fx）在x=x0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0），隨后指出f′（x）0的幾何意義就是曲線y=（fx）在點(diǎn)P（x0，（fx）0）處的切線斜率.第三步才給出導(dǎo)數(shù)概念：若（fx）對(duì)于區(qū)間（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則（fx）在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為（fx）的導(dǎo)函數(shù)，記作f（′x）.［4］

圖2

圖3

從微觀角度看，除了都通過(guò)信息技術(shù)來(lái)幾何直觀地說(shuō)明“以直代曲”的極限思想外，兩版本對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的表征處理得明顯不同.首先人教版已采用了高等數(shù)學(xué)里的導(dǎo)數(shù)表示形式，用高度抽象的符號(hào)“”來(lái)表述，盡管沒有嚴(yán)格解釋“”的數(shù)學(xué)意義，但已解釋了“趨近于0的極限”這個(gè)含義；而蘇教版一直沒有出現(xiàn)“”這個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，并一直用文字表達(dá)“無(wú)限趨近于0”.其次人教版是通過(guò)“映射說(shuō)”的角度來(lái)定義f（′x）是一個(gè)函數(shù)；而蘇教版是從“變量說(shuō)”角度來(lái)定義f（′x）是一個(gè)函數(shù).最后在導(dǎo)數(shù)概念得出前的條件也不一樣，人教版處理得比較模糊，只是用“從求函數(shù)（fx）在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，…”；而蘇教版則借鑒了高等數(shù)學(xué)中的表示：“若（fx）對(duì)于區(qū)間（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo).”

筆者作為一線教師，認(rèn)為這兩個(gè)版本對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的表征各有優(yōu)缺點(diǎn).人教版采用極限的符號(hào)“”還是可取的，因?yàn)樽鳛楦咧猩?，適當(dāng)介紹一下高度抽象的符號(hào)還是有必要的，再說(shuō)既然兩版本都沒有用“ε-δ”語(yǔ)言來(lái)嚴(yán)格說(shuō)明極限的數(shù)學(xué)意義，那又有何必總用通俗化的語(yǔ)言“無(wú)限趨近于0”去描述呢？還不如直截了當(dāng)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示.但在導(dǎo)數(shù)給出前的條件還是蘇教版處理得清晰，通過(guò)“區(qū)間（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)”來(lái)得出.至于是用“映射說(shuō)”還是“變量說(shuō)”去解釋導(dǎo)函數(shù)，關(guān)系并不大，因?yàn)閷W(xué)生都已學(xué)過(guò)，都能理解.

四、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

（1）兩版本在宏觀層面的呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)上具有相似性.

從宏觀視角看，兩版本都按課標(biāo)的要求來(lái)執(zhí)行，呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)路徑相似：在概念引入前安排大量實(shí)例，并由平均變化率再到瞬時(shí)變化率.編排理念都是從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.函數(shù)f（x）在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)也都與切線的斜率相聯(lián)系，并都借用信息技術(shù)通過(guò)幾何直觀來(lái)刻畫“以直代曲”的導(dǎo)數(shù)思想及幾何意義.

（2）兩版本在微觀層面的細(xì)節(jié)處理上具有差異性.

人教版在實(shí)例的選擇上是更傾向于實(shí)際生活，而蘇教版除生活實(shí)例外還兼顧數(shù)學(xué)本身的例子；人教版是先有f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)概念后再理解其切線斜率的幾何意義，而蘇教版則直接先引出切線斜率作為數(shù)學(xué)實(shí)例之一，再歸納出f（x）在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)概念，這樣處理更符合數(shù)學(xué)史上導(dǎo)數(shù)的歷史發(fā)生順序；而兩版本在導(dǎo)數(shù)概念表征的處理上也具有差異性.

2.教學(xué)建議

經(jīng)過(guò)上述的分析討論得出的相關(guān)結(jié)論，就可以得到一些教學(xué)啟示.作為一線教師，在備課時(shí)就能各取所長(zhǎng)，把兩版本的優(yōu)點(diǎn)集中起來(lái)，從而設(shè)計(jì)出更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教案.

（1）導(dǎo)數(shù)概念的引入可兼顧生活化與數(shù)學(xué)化.

由于人教版的導(dǎo)數(shù)概念引入更多地側(cè)重于生活化例子，缺少數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展需要的例子，因而可借鑒蘇教版的處理方式，既有貼近學(xué)生日常生活的例子，也可加入純數(shù)學(xué)中的例子，使兩者相得益彰.

（2）導(dǎo)數(shù)概念的表征可兼顧通俗化與符號(hào)化.

對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的表征形式可綜合兩版本的表述，即先用蘇教版易理解的通俗化語(yǔ)言：“函數(shù)y=（fx）在區(qū)間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），”接下來(lái)把“無(wú)限趨近于0”改變成人教版采用的符號(hào)“來(lái)表示，這樣取長(zhǎng)補(bǔ)短后，既有通俗化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言又有高度抽象的符號(hào)化語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美與形式美.

（3）曲線的切線問(wèn)題在導(dǎo)數(shù)概念前后引入皆可.

不管蘇教版把切線安排在導(dǎo)數(shù)概念前，作為引入的例子來(lái)介紹，還是人教版作為導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)說(shuō)明，都有道理，可以說(shuō)“仁者見仁，智者見智”，所以如何處理可由教師決定.不過(guò)筆者認(rèn)為，從HPM視角看，基于歷史順序的編排可能更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)［2］，即像蘇教版那樣，把解決曲線的切線問(wèn)題作為導(dǎo)數(shù)概念的引入.

總之，研究同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在不同版本教科書中的處理方式，目的就是要比較出各自的優(yōu)缺點(diǎn)，然后揚(yáng)長(zhǎng)避短，吸取各自之精華，博采眾長(zhǎng)，從而使該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)更合理、更科學(xué)，也更適合學(xué)生的學(xué)習(xí).

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2006.

2.汪曉勤.數(shù)學(xué)文化透視［M］.上海：科學(xué)技術(shù)出版社，2013，1.

3.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)（選修2-2）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)（選修2-2）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.