薛紅利

【摘要】平面向量作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，解決某些數(shù)學(xué)問題時往往也能避繁就簡，事半功倍.本文主要研究用平面向量加減法和數(shù)量積的幾何意義進行解題.

【關(guān)鍵詞】平面向量；幾何意義；解題

平面向量作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，既有坐標表示，又有幾何表示.對學(xué)生來說平面向量的坐標表示更容易接受和理解，但對平面向量運算的幾何意義的應(yīng)用往往感到比較生疏，而幾何意義又是平面向量的精華之處，它包括平面向量加減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義，所以，若能合理靈活地運用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則，以及平面向量數(shù)量積的幾何意義，解決某些數(shù)學(xué)問題時往往也能避繁就簡，事半功倍.

一、用平面向量加減法的幾何意義解題

平面向量加減法的幾何意義就是指平行四邊形法則（或三角形法則）：向量a+b和a-b就是以向量a和b為鄰邊的平行四邊形的對角線.

案例1若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，則a與b的夾角為（）.

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解方法（一）

設(shè)a與b夾角為θ，（2a+b）·b=2a·b+b2=2|a||b|cosθ+|b|2=（2cosθ+1）|a|2=0cosθ=-12.

∵0≤θ≤π∴θ=2π3，故選C.

方法（二）

如圖，

OA=2a，OB=b，OC=2a+b.

∵|a|=|b|，

∴|AC|=|OB|=|b|，|OA|=2|a|=2|b|.

∵（2a+b）·b=0，∴∠BOC=90°，

∴Rt△BOC中，∠OCB=30°∴∠COA=30°，

∴∠BOA=90°+30°=120°.

評析：方法一是基于代數(shù)意義，方法二是借助圖形，通過兩種方法的對比發(fā)現(xiàn)，利用向量問題考查學(xué)生的運算求解能力，不是簡單的“繁”、“難”運算，而是通過試題巧妙地設(shè)計考查考生利用數(shù)學(xué)思維方法推理運算的能力，考生需要利用向量的數(shù)與形特征，再根據(jù)試題的具體條件，合理確定運算目標、設(shè)計運算途徑.通過以上例題使學(xué)生充分體會到向量幾何意義的運用，特別是向量與平行四邊形、三角形等幾何圖形相結(jié)合會使問題簡單化.同時，方法二也能使學(xué)生更深刻地體會數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想.

二、用平面向量數(shù)量積的幾何意義

評析：如果不用向量數(shù)量積的幾何意義同樣也可以得到正解，但可能稍顯麻煩，用幾何意義來解則更加簡捷，求兩向量數(shù)量積時，利用其幾何意義是將問題轉(zhuǎn)化為共線向量的數(shù)量積，只需計算長度即可，達到事半功倍的效果.

正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說，“形少數(shù)時難入微，數(shù)缺形時難直觀”，在解題過程中，通過應(yīng)用平面向量的幾何意義，不僅能發(fā)現(xiàn)新的解題思路，而且能提高學(xué)生的思維能力.新課程高考逐漸從“平穩(wěn)過渡”變到“平穩(wěn)發(fā)展”，要想讓學(xué)生適應(yīng)新課程下的高考，需要在平時教學(xué)中重視學(xué)生基本能力的培養(yǎng)、思維深刻性和敏捷性的訓(xùn)練，滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想，幫助學(xué)生樹立解決向量問題的信心.

【參考文獻】

[1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2009.

[2]秦德生.高考與大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)考點大全與真題解析[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2014.