周挽平

摘要：本文介紹在獨(dú)立院校中，如何在學(xué)生數(shù)理基礎(chǔ)差學(xué)時(shí)有限的條件下，講授靜電場高斯定理。我們建議盡量利用圖示法證明，簡化曲面積分的定義，以及適當(dāng)增加對(duì)稱性分析。

Abstract： This paper introduces how to teach the Gauss theorem of electrostatic field in the independent colleges， where the mathematica and physics of the students are weak. We propose to make use of the graphic method as far as possible， to simplify the definition of surface integrals， as well as to appropriately increase the symmetry analysis.

關(guān)鍵詞：獨(dú)立學(xué)院；靜電場高斯定理；圖示法

Key words： independent college；the Gauss Theorem of electrostatic field；graphic method

中圖分類號(hào)：O211.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）09-0193-03

1 靜電場高斯定理的教學(xué)要求與困難

大學(xué)物理是理工科必修的公共基礎(chǔ)課程。但由于獨(dú)立學(xué)院處于向職業(yè)教育轉(zhuǎn)型過程，許多學(xué)校的大學(xué)物理課程面臨課時(shí)減少的問題。另外高考人數(shù)逐漸減少，錄取率逐年提高。昔日的精英教育已經(jīng)變成大眾教育（湖北省2016年本科錄取率達(dá)到49%[1]，全國錄取率（包括高職?？疲╊A(yù)計(jì)超80%[2]）。獨(dú)立學(xué)院的新生基礎(chǔ)必然非常薄弱。如何使高考處于及格線附近的學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)掌握必要的物理知識(shí)，是大學(xué)物理教師必須面對(duì)的問題。本文嘗試在對(duì)大學(xué)物理中一個(gè)非常重要的章節(jié)-靜電的高斯定理進(jìn)行分析，討論如何實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)。

靜電的高斯定理的麥克斯韋四大電磁學(xué)方程之一[3]，結(jié)合麥克斯韋環(huán)路定理能唯一的確定電場的性質(zhì)。該定理在電磁理論中非常重要，它揭示靜電磁的基本性質(zhì)-有源性。對(duì)于理解整個(gè)麥克斯韋電磁理論是不可或缺的，在2006年頒布的《非物理類理工學(xué)科大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求》[4]中屬于A類。通過對(duì)靜電的高斯定理的學(xué)習(xí)，能加深學(xué)生對(duì)于場的物質(zhì)性的理解，也能了解物理學(xué)對(duì)場的研究方法。對(duì)后期學(xué)習(xí)磁場的高斯定理也有所幫助。現(xiàn)有的教學(xué)中，靜電的高斯定理一般安排2個(gè)學(xué)時(shí)。在2個(gè)學(xué)時(shí)內(nèi)需要教學(xué)目標(biāo)我們分為3個(gè)：①準(zhǔn)備階段（建立概念：電場線電通量（其中包含：勻強(qiáng)電通量、曲面電通量、閉合曲面電通量、單位法向量）電荷密度（球?qū)ΨQ、面對(duì)稱、柱對(duì)稱））；②靜電場高斯定理的證明階段，③應(yīng)用階段（分析適用條件，對(duì)稱性分析，舉例）。要在規(guī)定學(xué)時(shí)內(nèi)完成以上任務(wù)需要教師對(duì)教材非常熟悉，并且學(xué)生要較好的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)并精神高度集中。如果在教學(xué)中其中任意一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教師處理不當(dāng)或?qū)W生沒有跟上。則整節(jié)課教學(xué)效果必然大打折扣。另外該節(jié)課涉及預(yù)備的理論基礎(chǔ)為：矢量分析，曲面積分，庫侖定律。由于該知識(shí)點(diǎn)講授一般在大一下的期中之前，大部分高校的矢量分析與曲面積分沒有學(xué)習(xí)。這使靜電的高斯定理講授變得異常困難。

但是拋開理論上的繁瑣，靜電的高斯定理的幾何圖像特別清晰。如果適當(dāng)?shù)姆艞壚碚摰膰?yán)謹(jǐn)性，可以使大部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生掌握高斯定理，并能提高他們的學(xué)習(xí)信心。對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生，可以通過啟發(fā)式教學(xué)引導(dǎo)自學(xué)更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。我們認(rèn)為對(duì)于不需要電磁理論的專業(yè)，這樣安排是合理的。對(duì)于電子通訊等專業(yè)，學(xué)生在大三要學(xué)習(xí)后繼課程《電磁場與電磁波》。那時(shí)學(xué)生的理論基礎(chǔ)也足夠來學(xué)習(xí)那門新課程。本文以下分為三個(gè)部分，第2部分討論高斯定理的預(yù)備知識(shí)講解和證明。第3部分為討論高斯定理應(yīng)用講解。第4部分為討論的總結(jié)。

2 靜電場高斯定理的準(zhǔn)備和證明

靜電場高斯定理證明一般從引入電場線的概念開始，而這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是學(xué)生高中非常熟悉的，因此我們一般快速帶過。主要是復(fù)習(xí)電場線分布與場強(qiáng)關(guān)系，讓學(xué)生通過圖片回顧下幾種典型電荷分布的電場線。然后介紹電通量的幾何概念-“穿過曲面的電場線的數(shù)量”。這里和最終的表述不同，我們希望通過逐步的講解，深化學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解。首先以勻強(qiáng)電場為例，引入電通量的定義式。當(dāng)電場與平面垂直，面積越大，場強(qiáng)越強(qiáng)電場線越密，通量越多。因此定義Φe=N=E ┴ S。當(dāng)電場與平面存在夾角，則引導(dǎo)學(xué)生通過投影法，或矢量分解法得到Φe=EScosθ。強(qiáng)調(diào)夾角與通量正負(fù)的關(guān)系為后面封閉曲面做準(zhǔn)備。雖然處理方法普通，但我們一般在這個(gè)地方花較多時(shí)間，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生。這樣的引入可以加深學(xué)生對(duì)通量的理解。

對(duì)于非勻強(qiáng)場的通量的計(jì)算，簡單的介紹思想就可以了。由于通量對(duì)應(yīng)電場線數(shù)量。任意曲面的通量，可以分解為無數(shù)面積元通量之和。這里的定義涉及曲面積分，對(duì)于大一的學(xué)生來說數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還無法處理或計(jì)算。我們通常以一個(gè)x-y平面上矩形區(qū)域?yàn)槔榻B通量的計(jì)算。這是通常的2重積分，也是在大學(xué)物理課程中學(xué)生能計(jì)算比較復(fù)雜的非勻強(qiáng)場通量的問題。通過這個(gè)具體的例子，學(xué)生的理解會(huì)更加深刻。對(duì)于閉合曲面，我們規(guī)定傳出的通量為正，得到電通量的幾何意義：穿出曲面與穿入曲面電場線的數(shù)量差。非勻強(qiáng)場的通量涉及數(shù)學(xué)較多，因此以教師講解為主。對(duì)于一般的曲面積分則可以引導(dǎo)基礎(chǔ)較強(qiáng)的學(xué)生思考通過投影法如何寫成定積分的表達(dá)式。

靜電場的高斯定理適用條件，可以通過選擇題、判斷題來得到。順便考察學(xué)生對(duì)定理的理解。

3 靜電場的高斯定理的應(yīng)用

靜電場的高斯定理的求解電場的局限性很大，講解高斯定理的應(yīng)用是為加深學(xué)生對(duì)高斯定理的理解。而這里的講解也是分為①用靜電場的高斯定理求解電場條件；②對(duì)稱性分析；③具體計(jì)算。

首先是要給出高斯定理的求解電場的條件：只有存在某個(gè)高斯面過帶求場點(diǎn)，滿足：①電場垂直高斯面并大小不變，或者②電場與高斯面處處平行。滿足這個(gè)條件高斯定理可以簡化為ES┴=。電場的求解就可以由積分方程化簡為簡單的代數(shù)計(jì)算了。在這里要強(qiáng)調(diào)：S┴可以是高斯面的一部分，Qin是高斯面內(nèi)的電荷。我們可以通過設(shè)問“什么樣的電荷分布滿足以上條件呢？”我們引入對(duì)稱性分析。

通常的高斯定理的應(yīng)用主要是求球?qū)ΨQ、柱對(duì)稱、面對(duì)稱三種電荷分布下的電場。受到學(xué)時(shí)的限制，一般的教材在對(duì)稱性的分析上用的時(shí)間很少，沒有給出球?qū)ΨQ、柱對(duì)稱、面對(duì)稱的定義，并且電場的分布和方向一般是直接給出的[5，6]。失去了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，也使學(xué)生缺少對(duì)稱性這方面的鍛煉。首先我們給出電荷球?qū)ΨQ、柱對(duì)稱、面對(duì)稱的定義。球?qū)ΨQ是指電荷分布相對(duì)某個(gè)球的任意直徑有旋轉(zhuǎn)不變性。例如：均勻帶電的球體球面滿足球?qū)ΨQ。柱對(duì)稱是指電荷分布相對(duì)某個(gè)軸具有旋轉(zhuǎn)不變性，并且相對(duì)軸的方向有平移不變性。例如：無限長均勻帶電的圓柱體圓柱面。面對(duì)稱是指電荷分布沿某個(gè)平面上任意方向平移不變。例如無限大均勻帶電的平面。通過這些定義提出課外思考：有沒有非均勻的帶電體滿足以上的條件，并求出電場的表達(dá)式。

由電荷對(duì)稱得到電場分布對(duì)學(xué)生來說是比較困難的。我們認(rèn)為通過圖像來表達(dá)會(huì)更加容易。學(xué)生的理解也更加深刻。對(duì)于柱對(duì)稱的無線長均勻帶電直線（圖2）。由于對(duì)稱點(diǎn)上在待求場點(diǎn)的垂直電場相互抵消，合場強(qiáng)垂直直線。電場空間分布可以繞直線旋轉(zhuǎn)得到。因此電場大小只與距離有關(guān)。

對(duì)于球?qū)ΨQ和面對(duì)稱。先分析均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強(qiáng)（圖3），由于對(duì)稱點(diǎn)上在待求場點(diǎn)的垂直電場相互抵消，合場沿著軸線。

球?qū)ΨQ或面對(duì)稱的電荷總是可以分解為無限個(gè)均勻帶電同軸圓環(huán)（圖4），合場沿著軸線。因此，球?qū)ΨQ電荷電場必然沿著半徑方向。電場空間分布可以通過旋轉(zhuǎn)得到，因此電場大小只與距離有關(guān)。而面對(duì)稱的電荷的電場必然垂直平面。

在具體計(jì)算場強(qiáng)時(shí)候，我們認(rèn)為應(yīng)該避免直接利用抽象的曲面積分求解。在推導(dǎo)過程中要強(qiáng)調(diào)的要點(diǎn)是曲面必須是閉合曲面。特別在柱對(duì)稱和面對(duì)稱中，強(qiáng)調(diào)高斯面應(yīng)該包含柱體的底面和側(cè)面。在具體講解中另一個(gè)學(xué)生容易出現(xiàn)問題的地方就是高斯面包圍電荷的計(jì)算。我們?cè)谧鳂I(yè)和考試中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能正確寫出球體球殼體積，因此在課堂上計(jì)算更加復(fù)雜的非均勻分布的電荷電場的求解效果也不會(huì)好。相應(yīng)的問題可以留在習(xí)題課上深入討論或者作為學(xué)有余力的同學(xué)作為課外練習(xí)。

4 討論與總結(jié)

靜電場高斯定理的幾何圖像非常清晰。通過我們的講授學(xué)生基本能夠掌握定理的內(nèi)容。

但是提到有源場的概念，學(xué)生又會(huì)比較迷糊。這由于學(xué)生第一次接觸靜電場是有源場的概念，我們認(rèn)為很有必要說明有源場的意義加深他們的印象。通過展示圖5的電場線，我們指出有源場的概念在中學(xué)中就已經(jīng)提出并要求學(xué)生給出：電場線從正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷，這也是靜電場高斯定理定性的描述。靜電場高斯定理定量的結(jié)果是給出，從正電荷產(chǎn)生或在負(fù)電荷終止的電場線的數(shù)量與電荷量成正比。我們?cè)偻ㄟ^將正電荷-電場線-負(fù)電荷與水源-水流-出口類比，表明電荷是電場線的源和閭，這也是電場是有源場的含義。

在靜電場高斯定理中我們可以補(bǔ)充一點(diǎn)近代物理的知識(shí)來提高學(xué)生的興趣、擴(kuò)大他們的視野。靜電場高斯定理是由庫侖定律推導(dǎo)而來，它們兩個(gè)本質(zhì)上是源于光子的靜質(zhì)量為零。與靜電場類似，引力也是平方反比力。牛頓引力可以證明是滿足高斯定理，引力的源是物質(zhì)的質(zhì)量?，F(xiàn)代物理認(rèn)為引力子的靜質(zhì)量為零。最近發(fā)現(xiàn)的引力波[7]波速為光速正是引力子的質(zhì)量為零的要求。如果某種粒子的靜質(zhì)量不為零，對(duì)應(yīng)場不滿足高斯定理，場本身可以產(chǎn)生或吸收?qǐng)鼍€。例如：湯川秀樹當(dāng)年寓言的介子[8]。

靜電場高斯定理在靜電學(xué)中與許多知識(shí)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)。比如：①電場疊加原理；②靜電平衡電荷分布，電場分布；③求電容電場；④積分法求典型帶電體的電勢；⑤類比建立磁通量概念。其中①是為了分析電場對(duì)稱性以便用該定理求電場，所以在準(zhǔn)備時(shí)，最好在前一節(jié)課就得到均勻帶電圓環(huán)和直線的電場。對(duì)于②⑤，主要是對(duì)定理的理解，通過以上的教學(xué)，學(xué)生完全可以接受。對(duì)于③④，可以作為靜電場高斯定理應(yīng)用的延續(xù)。如果教學(xué)時(shí)間充足可以精講。也可以簡單的套用本節(jié)的結(jié)論來精簡課堂，例如用電場疊加原理求平行板電容電場。

我們認(rèn)為勻強(qiáng)電場通量的計(jì)算，通量的幾何意義，以及靜電場高斯定理的幾何意義，是本節(jié)課的重點(diǎn)。難點(diǎn)是幾個(gè)應(yīng)用：面積元通量求和，高斯定理求電場，高斯定理求電荷?？紤]到學(xué)生的專注力與數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)較差，在本節(jié)課中應(yīng)強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)，既概念的建立。具體的應(yīng)用是為了增加學(xué)生的理解。我們?cè)诮o學(xué)生建立概念盡量結(jié)合圖像，并盡量用較短的詞句描述。

整個(gè)教學(xué)過程中我們用到圖示法，類比法，啟發(fā)式，討論法，將難點(diǎn)盡可能分多步驟解決，并繞開抽象的定義和計(jì)算。最終使大部分學(xué)生能理解并能應(yīng)用靜電場高斯定理。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅欣，張晨昕.今年我省本科實(shí)際錄取率約49%[N].楚天都市報(bào)，2016-8-15（2）.

[2]三晉直播.高招調(diào)查：2016年高考全國錄取率預(yù)計(jì)超80%[OL].http：//mt.sohu.com/20160603/n452679670.shtml， 2016-06-3.

[3]郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1997，19-24.

[4]教育部高等學(xué)校非物理類專業(yè)物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì).非物理類理工學(xué)科大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求[J].物理與工程，2006（05）：1-8.

[5]馬文蔚.物理學(xué)[M].五版. 北京：高等教育出版社，2006.

[6]屠慶銘.大學(xué)物理[M].二版.北京：高等教育出版社，2006.

[7]B. P. Abbott et al. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger[J]. Phys. Rev. Lett. 2016， 116， 061102.

[8]褚圣麟.原子物理學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1979，323-326.