湖北省襄州一中(441104)

高群安●

運用三次函數(shù)零點個數(shù)的判定定理快捷解決高考綜合題

湖北省襄州一中(441104)

高群安●

設有三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4(b2-3ac).

①當Δ≤0時,若a>0,則f′(x)≥0;若a<0,則f′(x)≤0,所以f(x)在(-∞,+∞)是單調(diào)函數(shù).由圖象直觀可知函數(shù)f(x)有唯一零點.

(其中Δ=4(b2-3ac),x1,x2是f′(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根)

本文以2014年，2015年高考的三道壓軸題為例，說明定理在解題中的應用.

例1 (2014年高考課標2文科21壓軸題)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.

(1)求a；

(2)證明：當k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

解 (1)因為曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.所以f′(0)=1?a=1.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,“曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點” 等價于“ 函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2即g(x)=x3-3x2+(1-k)x+4只有一個零點”.k<1,設1-k=3m，則m>0,只須證明“ 函數(shù)g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個零點”即可.g′(x)=3x2-6x+3m，Δ=36-4×3×3m=36(1-m).

當m≥1時，Δ≤0，由“定理”知：函數(shù)g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個零點；

當00，設g′(x)=3(x2-2x+m)=0的兩根為x1,x2則x1+x2=2,x1x2=m.因為g(x)=x3-3x2+3mx+4=(x-1)(x2-2x+m)+2(m-1)x+m+4，

g(x1)g(x2)=[2(m-1)x1+m+4][2(m-1)x2+m+4]

=4(m-1)2x1x2+2(m-1)(m+4)(x1+x2)+(m+4)2=4(m-1)2m+4(m-1)(m+4)+(m+4)2

=m(4m2-3m+24)>0.由“定理”知：函數(shù)g(x)=x3-3x2+3mx+4(m>0)只有一個零點.

綜上知當k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

評注 本題難度很大，主要考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的計算；考查推理論證能力和創(chuàng)新意識；考查數(shù)形結合的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想，函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想.

在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化，構造函數(shù)，利用判定定理就參數(shù)的范圍分類討論，巧設參數(shù)，簡化運算，體現(xiàn)了明確的目標意識.

例2 (2014年高考北京卷文科壓軸題) 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.

(1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值；

(2)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；

(3)問過點A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？(只需寫出結論)

(3)過點A(-1,2)存在三條直線與曲線y=f(x)相切；過點B(2,10)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切；過點C(0,2)存在一條直線與曲線y=f(x)相切.

評注 能夠快速解答第(2)問的關鍵是運用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和三次函數(shù)有三個零點的判定定理；第(3)問運用函數(shù)圖象的對稱性及(2)的結論得“過點A(-1,2)存在三條直線與曲線y=f(x)相切”；畫草圖，利用直覺思維得“過點B(2,10)存在兩條直線與曲線y=f(x)相切；過點C(0,2)存在一條直線與曲線y=f(x)相切”.

本題難度較大，主要考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值的方法；考查了運算求解能力和推理論證能力.

例3 (2015年高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)試討論f(x)的單調(diào)性；

思路 (1)可利用導數(shù)分類討論解決；

(2)可利用必要條件求出c的值再做充分性驗證或利用充要條件解決.

利用導函數(shù)的圖象(如圖)可得：

a=0時，f′(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增；

評注 本解法根據(jù)題設，運用“定理”，等價轉(zhuǎn)化，比較系數(shù)得答案.

可見，運用“定理”解決有關問題，能優(yōu)化解題過程，精簡解題程序，提高解題效率！

設圓C半徑為R，則PT2=PC2-R2,∴PC2-R2=2MN2.

G632

B

1008-0333(2017)07-0019-02