王博

【摘要】對高中數(shù)學(xué)知識體系進行分析可知，函數(shù)部分內(nèi)容既是學(xué)習(xí)中的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的“攔路虎”。函數(shù)知識較為復(fù)雜、多變，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生只有掌握正確的解讀思路和方法才能有效解決不同形式的函數(shù)問題。數(shù)形結(jié)合思想作為一種將函數(shù)知識與幾何知識緊密結(jié)合起來的教學(xué)思想被學(xué)生廣泛的應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)解題中。本文圍繞數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題中的有效方式進行分析，以期為其他同學(xué)高效運用數(shù)形結(jié)合思想成功解題提供參考和幫助。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想 高中 數(shù)學(xué) 解題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0132-02

無論課程怎樣改革、變化，函數(shù)知識與幾何相結(jié)合的內(nèi)容一直都是高考試卷重點考查的內(nèi)容。對于作為高中生的我們來說，對這部分知識的掌握情況直接影響高考數(shù)學(xué)成績。所以，在解題過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想具有非常重要的意義。因此，在高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)注意加強對數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，為其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅實的基礎(chǔ)。

一、在高中數(shù)學(xué)解題中運用數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)形結(jié)合方法是一種能夠讓復(fù)雜的問題簡單化、讓抽象的問題具體化的解題方法，其思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生若想提升自己應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力，就需要在解題中先做到聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想，逐步理解數(shù)形結(jié)合思想、運用數(shù)形結(jié)合思想，直到掌握數(shù)形結(jié)合思想。

高中數(shù)學(xué)的理論知識主要可以分成三個部分：其一，“數(shù)”方面的知識，包括實數(shù)、代數(shù)式、方程、方程組、不等式、不等式組、函數(shù)等內(nèi)容；其二，“形”方面的知識，包括平面幾何、立體幾何等內(nèi)容；其三，“數(shù)形結(jié)合”方面的知識，如解析幾何等內(nèi)容。

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，最為常見的三種方式是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”、“形”與“數(shù)”的互變。

（一）以“數(shù)”化“形”

“數(shù)”和“形”存在著對應(yīng)關(guān)系，一些數(shù)量較為抽象，我們難以充分把握，而“形”較為形象、直觀，可以有效的調(diào)動形象思維，在高中解題中發(fā)揮出重要作用。所以，我們在解題過程中可以將“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來，借助圖形來解決“數(shù)”的問題。我們可以從給出問題中識別出滿足問題目標(biāo)的某種熟識的“模式”，即“數(shù)”與“形”的特定關(guān)系或特定結(jié)構(gòu)。這類將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成圖的問題，并借助對圖的分析、推理最后獲得正確結(jié)果的方法就是圖形分析法。圖形分析法的應(yīng)用通常有三種方式：運用平面幾何知識、運用立體幾何知識、運用解析幾何知識實現(xiàn)以“數(shù)”化“形”（圖1）。利用以“數(shù)”化“形”來解決數(shù)學(xué)問題的基本思路是，首先，明確題目中給出的條件和最終希望得到的結(jié)果，從題目給出的已知條件或結(jié)論出發(fā)，通過觀察分析，明確其與以往所學(xué)的基本公式、定理或圖形表達式相似或不相似，然后，根據(jù)以往所學(xué)知識繪制出與題目相適合的圖形，最后，借助所繪制圖形的性質(zhì)、幾何意義等，結(jié)合題目最終希望得到的結(jié)果來解題。

無論課程怎樣改革、變化，函數(shù)知識與幾何相結(jié)合的內(nèi)容一直都是高考試卷重點考查的內(nèi)容。對于作為高中生的我們來說，對這部分知識的掌握情況直接影響高考數(shù)學(xué)成績。所以，在解題過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想具有非常重要的意義。因此，在高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)注意加強對數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，為其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定堅實的基礎(chǔ)。

一、在高中數(shù)學(xué)解題中運用數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)形結(jié)合方法是一種能夠讓復(fù)雜的問題簡單化、讓抽象的問題具體化的解題方法，其思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生若想提升自己應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力，就需要在解題中先做到聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想，逐步理解數(shù)形結(jié)合思想、運用數(shù)形結(jié)合思想，直到掌握數(shù)形結(jié)合思想。

高中數(shù)學(xué)的理論知識主要可以分成三個部分：其一，“數(shù)”方面的知識，包括實數(shù)、代數(shù)式、方程、方程組、不等式、不等式組、函數(shù)等內(nèi)容；其二，“形”方面的知識，包括平面幾何、立體幾何等內(nèi)容；其三，“數(shù)形結(jié)合”方面的知識，如解析幾何等內(nèi)容。

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，最為常見的三種方式是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”、“形”與“數(shù)”的互變。

（一）以“數(shù)”化“形”

“數(shù)”和“形”存在著對應(yīng)關(guān)系，一些數(shù)量較為抽象，我們難以充分把握，而“形”較為形象、直觀，可以有效的調(diào)動形象思維，在高中解題中發(fā)揮出重要作用。所以，我們在解題過程中可以將“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來，借助圖形來解決“數(shù)”的問題。我們可以從給出問題中識別出滿足問題目標(biāo)的某種熟識的“模式”，即“數(shù)”與“形”的特定關(guān)系或特定結(jié)構(gòu)。這類將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成圖的問題，并借助對圖的分析、推理最后獲得正確結(jié)果的方法就是圖形分析法。圖形分析法的應(yīng)用通常有三種方式：運用平面幾何知識、運用立體幾何知識、運用解析幾何知識實現(xiàn)以“數(shù)”化“形”（圖1）。利用以“數(shù)”化“形”來解決數(shù)學(xué)問題的基本思路是，首先，明確題目中給出的條件和最終希望得到的結(jié)果，從題目給出的已知條件或結(jié)論出發(fā)，通過觀察分析，明確其與以往所學(xué)的基本公式、定理或圖形表達式相似或不相似，然后，根據(jù)以往所學(xué)知識繪制出與題目相適合的圖形，最后，借助所繪制圖形的性質(zhì)、幾何意義等，結(jié)合題目最終希望得到的結(jié)果來解題。

（二）以“形”變“數(shù)”

盡管“形”較為形象、直觀，但其在定量方面仍需要借助“數(shù)”來運算，尤其是針對復(fù)雜、難懂的“形”而言，既需要將“形”數(shù)字化，也需要仔細(xì)觀察“形”的幾何特性，從而獲得題中隱藏的條件，再借助“形”的特性或幾何意義，將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的形式，開始運算。利用以“形”變“數(shù)”來解決數(shù)學(xué)問題的基本思路是，首先，明確題目給出的條件和最終希望得到的結(jié)果，通過觀察分析所給的條件和最終希望得到的結(jié)果的特點、性質(zhì)，認(rèn)識到所給條件或最終結(jié)果在“形”中的幾何意義，然后，利用所學(xué)知識將題目中給出的圖形用代數(shù)的形式表達出來，結(jié)合已知條件與最終結(jié)論的聯(lián)系，充分利用相關(guān)的代數(shù)公式或定理等解題。

（三）“形”與“數(shù)”的互變

圖形與代數(shù)的互變具體是指在一些數(shù)學(xué)問題中，只依賴以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”已經(jīng)難以有效的解決問題，這時，就需要通過將“形”與“數(shù)”進行相互變換來解決問題，學(xué)生不僅需要考慮到從直觀的圖形轉(zhuǎn)化為嚴(yán)密的代數(shù)，而且還需要考慮到從嚴(yán)密的代數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形。解決這種問題常常需要兼顧題目給出的已知條件和最終獲得的結(jié)論，然后通過認(rèn)真分析明確題目中“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化?；舅悸肥?，見“形”想“數(shù)”、看“數(shù)”思“形”，即將以“數(shù)”化“形”和以“形”變“數(shù)”有機結(jié)合起來，靈活的使用。

二、在高中數(shù)學(xué)解題中運用數(shù)形結(jié)合思想的有效策略

（一）數(shù)形結(jié)合思想在解題方面的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想包括“以形輔數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個部分，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用大致可以分為兩種形式：其一，利用“形”的生動形和直觀性來表示“數(shù)”之間的聯(lián)系，例如，借助函數(shù)的圖像直觀的反映出函數(shù)的性質(zhì)；其二，利用“數(shù)”的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性展示“形”的某些屬性，例如，利用曲線的方程清晰的展現(xiàn)出曲線的幾何性質(zhì)。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合法能夠利用幾何圖形對函數(shù)參數(shù)問題的解題思路進行建構(gòu)，對于一些簡單的問題，通過觀察幾何圖形就能夠獲得正確的答案。以函數(shù)參數(shù)問題為例，針對函數(shù)f（x）=4x-x2+a，對其幾何圖形進行觀察發(fā)現(xiàn)有四處與x軸相交，在求解其a值時，利用數(shù)形結(jié)合法能夠快速、準(zhǔn)確的求出a值。通過仔細(xì)觀察函數(shù)f（x）=4x-x2+a的圖形發(fā)現(xiàn)，其是基于二次函數(shù)經(jīng)過翻折、豎直平移得到的，所以在求解的過程中只需要對函數(shù)進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成4x-x2=-a的形式，然后在直角坐標(biāo)系中分別繪制函數(shù)y=4x-x2和y=-a的圖形，將y=-a的圖形進行平移，觀察y=4x-x2圖形與y=-a平移后的圖形，在明確二者之間交點個數(shù)的情況下，根據(jù)參數(shù)取值范圍需要同時滿足交點連線位置的原則，確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)形結(jié)合思想實質(zhì)上是實現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)語言與具象圖像的有機結(jié)合，推動代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化，讓代數(shù)問題幾何化，又使幾何問題代數(shù)化。又如，在解決函數(shù)值域問題時，針對“求函數(shù)f（x）=的值域”這道題，教師可以先指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目給出的已知條件畫出對應(yīng)的圖像，然后觀察圖像，將其轉(zhuǎn)化為求斜率范圍的問題（圖2），可以在圖像上設(shè)動點P（cosx，sinx），定點A（2，0），通過計算PA的斜率能夠更為輕松的解決問題，得出的結(jié)果為[-，0]。因此，在利用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：其一，應(yīng)當(dāng)清晰的了解一些數(shù)學(xué)概念、運算的幾何意義以及圖像的代數(shù)特征等，不僅需要分析數(shù)學(xué)題目中條件和結(jié)論的幾何意義，也需要分析其代數(shù)意義；其二，在參數(shù)的設(shè)置和利用上應(yīng)當(dāng)保持合理性，以數(shù)推形，以形思數(shù)，實現(xiàn)數(shù)形的有效轉(zhuǎn)化；其三，保證參數(shù)取值范圍的正確性。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在簡化解題思路方面的應(yīng)用

高中開設(shè)數(shù)學(xué)課程不只是為了讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)理論知識，而是希望學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)提高自身數(shù)學(xué)思維能力、問題分析能力以及創(chuàng)新能力等。然而，我們中的大多數(shù)并沒有明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要意義，僅僅只是將其當(dāng)作一項任務(wù)來完成，這與學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的本意嚴(yán)重不符。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生常常需要運用大量復(fù)雜的公示進行數(shù)學(xué)理論推理，或者做出證明步驟。在這樣機械的解題中，很容易產(chǎn)生厭煩的感覺。但是事實上，公式只是解題的一種方法，是一種解決問題的工具。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)明確數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的本質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合思想理清自己的思維結(jié)構(gòu)和解題思路，進而對思維結(jié)構(gòu)進行創(chuàng)新和優(yōu)化，使解題思路得到充分簡化最終達到能夠輕松解決數(shù)學(xué)問題的目的。

三、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)課程是高中學(xué)習(xí)過程中較為重要的一部分，其內(nèi)容的邏輯性和實踐性比較強，若是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中未掌握其中的規(guī)律，就會覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大，逐漸喪失學(xué)習(xí)興趣，最后變成學(xué)困生。為了有針對性的改善函數(shù)問題解決難的現(xiàn)狀，學(xué)生應(yīng)當(dāng)善于運用數(shù)形結(jié)合思想，掌握利用數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問題的最佳方式，為更快、更準(zhǔn)的解決數(shù)學(xué)問題奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]何玉蘭.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].考試周刊，2015，（32）.

（二）以“形”變“數(shù)”

盡管“形”較為形象、直觀，但其在定量方面仍需要借助“數(shù)”來運算，尤其是針對復(fù)雜、難懂的“形”而言，既需要將“形”數(shù)字化，也需要仔細(xì)觀察“形”的幾何特性，從而獲得題中隱藏的條件，再借助“形”的特性或幾何意義，將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的形式，開始運算。利用以“形”變“數(shù)”來解決數(shù)學(xué)問題的基本思路是，首先，明確題目給出的條件和最終希望得到的結(jié)果，通過觀察分析所給的條件和最終希望得到的結(jié)果的特點、性質(zhì)，認(rèn)識到所給條件或最終結(jié)果在“形”中的幾何意義，然后，利用所學(xué)知識將題目中給出的圖形用代數(shù)的形式表達出來，結(jié)合已知條件與最終結(jié)論的聯(lián)系，充分利用相關(guān)的代數(shù)公式或定理等解題。

（三）“形”與“數(shù)”的互變

圖形與代數(shù)的互變具體是指在一些數(shù)學(xué)問題中，只依賴以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”已經(jīng)難以有效的解決問題，這時，就需要通過將“形”與“數(shù)”進行相互變換來解決問題，學(xué)生不僅需要考慮到從直觀的圖形轉(zhuǎn)化為嚴(yán)密的代數(shù)，而且還需要考慮到從嚴(yán)密的代數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的圖形。解決這種問題常常需要兼顧題目給出的已知條件和最終獲得的結(jié)論，然后通過認(rèn)真分析明確題目中“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化?；舅悸肥?，見“形”想“數(shù)”、看“數(shù)”思“形”，即將以“數(shù)”化“形”和以“形”變“數(shù)”有機結(jié)合起來，靈活的使用。

二、在高中數(shù)學(xué)解題中運用數(shù)形結(jié)合思想的有效策略

（一）數(shù)形結(jié)合思想在解題方面的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想包括“以形輔數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個部分，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用大致可以分為兩種形式：其一，利用“形”的生動形和直觀性來表示“數(shù)”之間的聯(lián)系，例如，借助函數(shù)的圖像直觀的反映出函數(shù)的性質(zhì)；其二，利用“數(shù)”的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性展示“形”的某些屬性，例如，利用曲線的方程清晰的展現(xiàn)出曲線的幾何性質(zhì)。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合法能夠利用幾何圖形對函數(shù)參數(shù)問題的解題思路進行建構(gòu)，對于一些簡單的問題，通過觀察幾何圖形就能夠獲得正確的答案。以函數(shù)參數(shù)問題為例，針對函數(shù)f（x）=4x-x2+a，對其幾何圖形進行觀察發(fā)現(xiàn)有四處與x軸相交，在求解其a值時，利用數(shù)形結(jié)合法能夠快速、準(zhǔn)確的求出a值。通過仔細(xì)觀察函數(shù)f（x）=4x-x2+a的圖形發(fā)現(xiàn)，其是基于二次函數(shù)經(jīng)過翻折、豎直平移得到的，所以在求解的過程中只需要對函數(shù)進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成4x-x2=-a的形式，然后在直角坐標(biāo)系中分別繪制函數(shù)y=4x-x2和y=-a的圖形，將y=-a的圖形進行平移，觀察y=4x-x2圖形與y=-a平移后的圖形，在明確二者之間交點個數(shù)的情況下，根據(jù)參數(shù)取值范圍需要同時滿足交點連線位置的原則，確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)形結(jié)合思想實質(zhì)上是實現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)語言與具象圖像的有機結(jié)合，推動代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化，讓代數(shù)問題幾何化，又使幾何問題代數(shù)化。又如，在解決函數(shù)值域問題時，針對“求函數(shù)f（x）=的值域”這道題，教師可以先指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目給出的已知條件畫出對應(yīng)的圖像，然后觀察圖像，將其轉(zhuǎn)化為求斜率范圍的問題（圖2），可以在圖像上設(shè)動點P（cosx，sinx），定點A（2，0），通過計算PA的斜率能夠更為輕松的解決問題，得出的結(jié)果為[-，0]。因此，在利用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：其一，應(yīng)當(dāng)清晰的了解一些數(shù)學(xué)概念、運算的幾何意義以及圖像的代數(shù)特征等，不僅需要分析數(shù)學(xué)題目中條件和結(jié)論的幾何意義，也需要分析其代數(shù)意義；其二，在參數(shù)的設(shè)置和利用上應(yīng)當(dāng)保持合理性，以數(shù)推形，以形思數(shù)，實現(xiàn)數(shù)形的有效轉(zhuǎn)化；其三，保證參數(shù)取值范圍的正確性。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在簡化解題思路方面的應(yīng)用

高中開設(shè)數(shù)學(xué)課程不只是為了讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)理論知識，而是希望學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)提高自身數(shù)學(xué)思維能力、問題分析能力以及創(chuàng)新能力等。然而，我們中的大多數(shù)并沒有明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要意義，僅僅只是將其當(dāng)作一項任務(wù)來完成，這與學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的本意嚴(yán)重不符。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生常常需要運用大量復(fù)雜的公示進行數(shù)學(xué)理論推理，或者做出證明步驟。在這樣機械的解題中，很容易產(chǎn)生厭煩的感覺。但是事實上，公式只是解題的一種方法，是一種解決問題的工具。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)明確數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的本質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合思想理清自己的思維結(jié)構(gòu)和解題思路，進而對思維結(jié)構(gòu)進行創(chuàng)新和優(yōu)化，使解題思路得到充分簡化最終達到能夠輕松解決數(shù)學(xué)問題的目的。

三、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)課程是高中學(xué)習(xí)過程中較為重要的一部分，其內(nèi)容的邏輯性和實踐性比較強，若是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中未掌握其中的規(guī)律，就會覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大，逐漸喪失學(xué)習(xí)興趣，最后變成學(xué)困生。為了有針對性的改善函數(shù)問題解決難的現(xiàn)狀，學(xué)生應(yīng)當(dāng)善于運用數(shù)形結(jié)合思想，掌握利用數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問題的最佳方式，為更快、更準(zhǔn)的解決數(shù)學(xué)問題奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]何玉蘭.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].考試周刊，2015，（32）.